Excerpt
$ 78] Metrinės sąvokos 709 Tada sa (a - B) (4-4) " Įstatę / ir 7 reikšmes į gautą nelygybę, turėsime "NCB (4-8 (4-8) PA a - Ee - SG B+6-9> 0, G: Da-D o GD (DG (2-4) I (4-a) r (4-0) +(6-8)> 0. Sutraukę panašius narius ir padauginę iš teigiamo skaičiaus …
In:
Excerpt
710 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. Taigi, vektorių [x] ir [8] kampas Z(ta. 1) [8]) =arc cos 2 o —arccos 0,5788. 2) Rasime trimatės tikrosios erdvės vektorių > > = =: = —- =z a=2i—3/ +6k ir b=4i43j kampo kosinusą: 2-44+(—3)-34+6-0 === COS Za, "- …
In:
Excerpt
$ 78] Metrinės sąvokos 711 Čia R(x-8) yra skaliarinės sandaugos (2-8) tikroji dalis. Aišku, kad R(a-B) 5—2V 7. 2) Parodysime, kad tos pačios nelygybės galioja trimatės tikrosios erdvės vektoriams > > Log“ 371 6k, 547157. Vektorių sumos modulis —> — …
In:
Excerpt
712 š2 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. $ 79. Vektorių oriogonalumas. Ortonormalinė bzzė Unitarinėje ir euklidinėje erdvėje labai svarbūs yra ortogonalin'ai vektoriai. Tokie vektoriai apibrėžiami analogiškai, kaip statmeni vek- toriai euklidinėje …
In:
Excerpt
$ 79) Vektorių ortogonalumas. Ortonormalinė bazė 713 Vektorių Gi> Uzs < -> A, Sistemą vadinsime ortogonalia, jeigu kiekvieni du šios sistemos vektoriai yra ortogonalūs. Įrodysime, kad ortogonalių vektorių sistema, jei tarp jų nėra nu- linio vektoriaus, …
In:
Excerpt
714 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. Nesunku matyti, kad pagal formulę (32) (G 2)= (4 -2)=(Ę-2)5 (K-2)= (E- 255 4 la, į* (G-2)= (6-2) 5 (Gm) = (E- 2.) Sudarome vektorių C—E ir padauginame jį skaliariškai iš visų aj, App 5, Sistemos vektorių: …
In:
Excerpt
$ 79] Vektorių ortogonalumas. Ortonormalinė bazė 715 Vadinasi, vektorių sistema e,, €5, ..., e, Yra ortonormalinė, jei 1, kai /= k, Gy p= | 0, kai įk. (33) Kiekvienoje unitarinėje (euklidinėje) erdvėje galime rasti ortogonalią bazę. Sukonstravę tokią bazę …
In:
Excerpt
716 “* Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk Toliau sudarysime e4, pasinaudoję w5 ir jau sudarytais vektoriais e, ir e,. Imame e3— 05 — ks 6> — kj 63. (37) Panašiai kaip ir anksčiau parenkame skaliarus /+5 ir Iz, tokius, kad £5 Le, ir e; | «,. …
In:
Excerpt
$ 79 Vektorių ortogonalumas. Ortonormalinė bazė 717 Ortonormalinė bazė labai patogi, nes išreikštų tokioje bazėje vek- torių skaliarinė sandauga išsireiškia jų koordinačių ir jų sujungtinių dydžių sandaugų sumomis. Unitarinėje erdvėje 800 imame ortonor- …
In:
Excerpt
718 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. Sekantį bazės elementą parenkame, pasinaudoję e;=*—į- Kad sį būtų ortogonalus Su s;, turi galioti lygybė 1 1 0=(e'-£4)=(x—1-1) = — ži Ža == Om“ =Y3 6x— 1). V ueije Vrs Trečią bazės elementą parenkame, paėmę e; …
In:
Excerpt
$ 79) Vektorių ortogonalumas. Ortonormalinė bazė TA95 arba Įstatome šių skaliarų reikšmes į 55) — hi (E1 > £> ) + — lol -2)) = (42 - e;) — I525 iš Čia 1 -— „2 5 Is =V5 Jeos- Ep a L 0 Emi 0=(e5-6,)= (2 61) — 555 vadinasi, 1 Aa 3 ių V3 [eei-nar-"hp ag p 0 š …
In:
Excerpt
720 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. Norėdami sunormuoti vektorių 4, randame jo modulį =WV7 (2042 — 3042 + 125 —7). 20V7 Mūsų surasta erdvės LU ortonormalinė bazė yra | I, V3 €ex—1), V5 (62 —6x 11), VT 00 —302—12x—1) | Patariame skaitytojui …
In:
Excerpt
$ 80] Izomorfizmas. Ortogonulinės sistemos 721 Pasirenkame erdvėje 80 ortonormalinę bazę fe = fe,s 695 a]; 8+—> [8]= [245 655 ---; 6,)- Nesunku įsitikinti, kad vektorių n ax-4-bB— ž. (aa, > - bbp) ep k=1 atitiks vektorius-eilutė a[2]+-5[8] = [aa, + b6;, …
In:
Excerpt
$ 85] Bet kokių transformacijų išdėstymas ir išskaidymas 759 1 teorema. Umitarinėje arba euklidinėje erdvėje kiekvieną tiesinę transformaciją galima vienareikšmiškai išreikšti dviejų transformacijų suma, kurių viena yra sau Sujungtinė, o kita — įstrižai …
In:
Excerpt
760 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Kiekvieną kompleksinę arba tikrą matricą A visada galima išdėstytž dviejų matricų S ir I suma: Ė A= SLI, kur S yra sau sujungtinė, o I— įstrižai hermitinė arba įstrižai simer- rinė …
In:
Excerpt
$ 85] Bet kokių transjormacijų išdėstymas ir: išskaidymas 761 Transformacija 0. (50) 2 teorema. Būtina ir pakankama sąlyga, kad sau sujungtinė transformacija būtų neneigiama (teigiama), yra, kad jos 21505 nUOSAJOS reikšmės būtų neneigiamos (teigiamos). …
In:
Excerpt
762 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Tegu dabar J, yra sau sujungtinė transformacija, kurios nuosa- vos reikšmės yra Lp Žo. I, ir I,> 0 (teigiamoms /„> 0), kai £--1, 2, ..., n. Nagrinėjamoje erdvėje pasircnkame …
In:
Excerpt
$ 85) Bet kokių transformacijų išdėstymas ir išskaidymas 763 Iš transformacijos C apibrėžimo matyti, kad jei transformacija 6; yra teigiama (/,— 0, kai k—1, 2, „.., m), tai matrica C yra neišsigi- musi ir Y//,> 0, k=1, 2, ..., m, t. y. C yra teigiama. …
In:
Excerpt
764 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk Šiuo neišsigimusios transformacijos < atveju C ir 04 yra nustatytos vienareikšmiai. Kai t„-= V I, bus tikrieji neneigiami skaičiai. Vadinasi, ep 91 = p (s1sl*)= Ra, (k=1, 2... n). …
In:
Excerpt
$.85]- Bet kokių transformacijų išdėstymas ir išskaidymas 765 aa V Iš pirmos lygčių (63) sistemos matome, kad tiesinės transformacijos C matrica ortonormalinėje bazėje fe! yra e AD OL 12 40 T= S > (64) OL 0-7 Ji neneigiama (;,> 0, kai £=—1, 2, „.., m). Iš …
In:
Excerpt
765 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdoėje [XVII sk. Pavyzdžiai. 1) Išreikšime tikrą transformaciją Al ai piL6 4 6 Dabar gauname, kad A=S+L, iš kur …
In:
Excerpt
$ 85] Bet kokių transformacijų išdėstymas ir išskaidymas 767 Imame transformacijos < sujungtinės transformacijos S/* matricą bazėje (e) 443 —2Ų 2-i A*=| 4 1—2 —3 21: 4—-i 3 ir sudarome naują matricą 4 2—i 2-1 H=Ž(41+44= 244 1 24i|=H*. 21: 24: 3 Ši matrica …
In:
Excerpt
768 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. 4) Išreikšime kompleksinę matricą aermitinės ir įstrižai hermitinės matricos suma. Taip pat išreikšime ją dviejų hermitinių matricų, vieneto ir menamojo vieneto i sandaugų suma. …
In:
Excerpt
XVIII SKYRIUS KVADRATINĖS FORMOS $ 86. Kvadratinės formos ir jų dvitiesinės formos Šiame skyriuje nagrinėsime 2 nežinomųjų *;; X25 ---> 3 kvadrati- nes (antro laipsnio) formas 4 3; Ais Xi Xš (1) j,k=1 arba > Gai (2) j,k=1 su koeficientais iš tikrųjų arba …
In:
Excerpt
$ 86] Kvadratinės formos ir jų duiliesinės formos 771 Galima nagrinėti formas, kurių matricų elementai yra iš bet kokio nulinės charakteristikos kūno B. Tuo atveju dažniausiai naudojamas kvadratinės formos pavidalas (1). Jei kūne T yra apibrėžta sujungti- …
In:
Excerpt
$ 76) I Transformacijų matricos normalinis pavidalas 697 Kadangi yra tik vienas vektorius, o dvi charakteringosios šaknys yra nuliai, tai reikia manyti, kad matrica A yra panaši į šią žordaninę matricą: 1 10 0 0. k. 040 AT aaa 00 0 0 Iš tikrųjų, matricos …
In:
Excerpt
698 Polinominės matricos o ; [XV sk. Šios matricos charakteringasis polinomas ĮzE-Al=(z+2*(z—1)2. Surasime charakteringosios matrieos elementarinius daliklius. zE-A= 0 0 0 0 0 —4 z—-2 0 0 0 —8 1 > E25 —--31 - z—l —zZ 0 —1 0 0 0 zi 0 2-1 0 0 0 0 2542 0 0 0 …
In:
Excerpt
$ 76] Transjormacijų matricos normalinis pavidalas 699 21 > 00 gain 0 agi 0 0 0 LB ao 640 E AO 0 d 55 281 | d B 0 a 0 0 0 0 0-2 Kadangi paskutinė matrica yra pseudodiagonalinė, tai, iš jos suradę atskirų įstrižainės langelių elementarinius daliklius, …
In:
Excerpt
700 Polinominės matricos ||| [XV sk. pirmos ir trečios eilės, atitinkančius nuosavą scikšnię —2. Matrica A yra pa- naši į tokią žordaninę matricą: "1 Za 0 a in S - 0-4 ežio T An tiekusi D a (40 01 00 Ši matrica yra vienintelė žordaninė matrica, panaši į …
In: