Excerpt
Ž 392 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Tegu turime x-to laipsnio lygtį aga A S ar E (1) kur c„70. Parodysime, kad nežinomąjį > galima pakeisti taip, kad lygtis (1) bus pakeista to paties laipsnio kita lygtimi, kurios vyriau- sias …
In:
Excerpt
$ 42) š “| Antro laipsnio lygtys 393 = 4= a Pagal lygybę (3) padarę pakeitimą X=Z— L, turėsime antro laipsnio redukuotą lygtį 2 =—--4=0. (5b) Šią lygtį išsprendžiame, traukdami kvadratinę šaknį iš kompleksinio 2 skaičiaus 2 li Kadangi kvadratinė šaknis …
In:
Excerpt
394 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [1X sk. Pavyzdžiai. 1) Išspręsime kvadratinę lygtį su kompleksiniais koeficientais: x2—(2—41) x—(3 161) =0. Taikydami formulę (6), kai p= —24-4i ir 4= —(3+-6/), turime, kad x=1—A1+VŪU—U 7376 =1—-2i 1 V A …
In:
Excerpt
$ 43] Trečio laipsnio lygtys 2 395 Į antro laipsnio lygtį su tikraisiais koeficientais galime žiūrėti kaip į atskirą lygčių (5) ar (5a) atvejį, kai visų kompleksinių skaičių menamosios koordinatės yra nuliai. Pastebėsime, kad iš (6), (6a) ir (7) matyti, …
In:
Excerpt
396 . Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Šios lygties šaknys g S ą Ža a as »--4+V/5+b re IroĖ Kadangi u3 ir 23 įeina į lygtis (10) ir (11) simetriškai, tai galime, pavyzdžiui, paimti, kad Iš šių lygybių ištraukę kubines šaknis, gauname …
In:
Excerpt
422 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Iš šios teoremos galima padaryti labai daug išvadų apie komplek- sinių skaičių kūną, apie jo polinomų žiedą 8 [x], o taip pat ir apie tikrųjų skaičių kūną S ir jo polinomų žiedą S [x]. Išvada. …
In:
Excerpt
$ 45] Pagrindinė kompleksinių skaičių algebros teorema 423 „Žinoma, kelios šaknys, o dažnai ir visos, gali būti tikrieji skaičiai, t. y. tų šaknų menamosios koordinatės gali būti nuliai. Kyla klausimas, gal kiekvienas žiedo S [x] polinomas turi tik …
In:
Excerpt
424 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Palyginę f(a) ir f(a) išraiškas (pagal II skyrių) turėsime, kad f(a) =c— di. Sakykime, kad «a yra f(x) šaknis, atseit, f(0)=cL-di=0. Kadangi kompleksinis skaičius yra lygus O tik tada, kai jo koordina- …
In:
Excerpt
$:46] Dvinarės ir simetrinės lygtys 425 kur c4 C55 2-5 C; YIa visos jo tikrosios šaknys, o x24- ėx+a, (7=!/-:-1, /+-2, ..., s) visi pirminiai antro laipsnio polinomai ir n=k k + AS 2411-24, ai ZA Žinoma, antro laipsnio pirminiai polinomai yra gauti, …
In:
Excerpt
k i , 426 Polinomai su kompleksiniais koeficientais "IX sk. Paėmę bet kurią n-to laispsnio vieneto šaknį e, gauname (e4)Y"=e"a"=1-a=3. Taigi, =—1. Teorema įrodyta. Pritaikysime $ 8 apibrėžtų primityvių vieneto šaknų savybes lyg- čiai (63) spręsti. …
In:
Excerpt
$ 46] Dvinarės ir simetrinės lygtys 427 tyvios vieneto šaknies e, keliant ją laipsniu nuo 1 iki x. Taigi, lygties (64) visos šaknys yra EE el as anos eli …
In:
Excerpt
428 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Parinkime du tos sandaugos narius ež0' ir e“, kur /557, arba t> Zt,, arba abu indeksai skirtingi. Jeigu ss 0!= e, tai ei = WS, Bet e/-* yra lygties x+—1=—0 šaknis, o w::—: — lygties x— 1 =0 šaknis, o …
In:
Excerpt
5 46] Dvinarės ir simetrinės lygtys 429 nėra, nes tada visos vieneto šaknys, išskyrus vienetą, nėra tikros (turi pavidalą a 4-6i, kur 60). Kai » yra lyginis, tai, be tikrosios LM LTA A šaknies V a, yra dar ir kita tikroji šaknis — V a, nes —1 yra tada …
In:
Excerpt
430 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Sprendžiant įvairius klausimus, dažnai tenka spręsti 1-to laipsnio lygtis, kurių koeficientai yra tarp savęs surišti. Vienos iš charakterin- giausių tokių lygčių yra simetrinės, kurių kairės pusės …
In:
Excerpt
$ 46] Dvinarės ir simetrinės lygtys 431 J š p 1 ė Kadangi a; ir — yra polinomo f(x) šaknys, o L ir 4; — polinomo i ą g(x) šaknys, tai m-to laipsnio polinomai f(x) ir g(x) turi tas pa- čias šaknis, atseit, yra ekvivalentūs, todėl jie gali skirtis tik dau- …
In:
Excerpt
432 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. + x—1jx? . Jis turės šaknį 1 ir dalysis iš x—1. Padaliję f. (x) iš x—1, vėl gausime f; (x) ūpo simetrinį (2— 1) laipsnio polinomą. Dabar ištirsime polinomą f; (x), kai n nelyginis. Šiuo atveju po- …
In:
Excerpt
$ 46] Doinarės ir simetrinės lygtys 433 Įstatę šias binomų reikšmes į lygtį (72), gausime m-to laipsnio lygtį 6„3--b.AZ 11-66, =0. (75) Pakeitimais (74) galime visų simetrinių lygčių sprendimą suvesti ma- žiausia į dukart žemesnio laipsnio lygčių …
In:
Excerpt
372 Polinomai su keliais nežinomaisiais [VIII sk. Pavyzdys. Išreikšime s; pagrindiniais simetriniais polinomais, kai 7 —4. Pirmoji lygy- bė yra > S =0p Imdami formulėje (29) k=2, turime Ss, — 519, 120, =0, iš kur s, —1į — 205. Esant 4=3, iš tos pačios …
In:
Excerpt
$ 38] Rezultantas 373 Čia duosime kitą metodą, kuriuo nesunkiai galėsime nustatyti, ar du polinomai su vienu nežinomuoju turi bendrą šaknį ar ne. Pasi- remdami tuo metodu, galėsime nustatyti, kada dviejų nežinomųjų polinomai turi bendrą sprendinių …
In:
Excerpt
374 Polinomai su keliais nežinomaisiais [VIII sk. Į formulę (34) vietoj x įstatę polinomo g(x) šaknis B, B... Bb o į formulę (35) įstatę f(x) šaknis 24, 45, ..., 4, gauname £(6)=2, [T 6;— 2) ((=1, 253 m), (36) k=1 g(a)=0,[ Į (e4— 8) (HE ks n). (37) 3 j=1 …
In:
Excerpt
. * nis Giiiaalis— Aidai $ 38] Rezultantas 375 Dabar lengvai įrodysime formulę, analogišką formulei (39). Paėmę lygybėje (36) /=1, 2, ..., m, sudauginę gautas formules ir sandau- gą padauginę iš 5", turėsime, kad R(e: f)=6: TT 76) (40), j=1 Iš formulės …
In:
Excerpt
376 Polinomai su keliais nežinomaisiais [VIII sk. formulių (31) ir (32) sąlygoms. Vadinasi, polinomai f(x) ir g(x) turi | turėti bent vieną bendrą šaknį, jei tik jų rezultantas R(f, g) =0. Tuo atveju, kai polinomų f(x) ir g(x) vyriausių narių koeficientai …
In:
Excerpt
$ 38] Rezultanias 377 turi bendrų šaknų su polinomais a(2)= 2 1+2x4-2, g,(x)=1211, £s(x)=12412x—3, Pasinaudosime I pavyzdžiu. Čia a=1, b=0 ir c= —?, todėl R(/4 9)=33 4077 )-9* 1697 444 — 9273 — 27214. Skaičiuodami R(f; g,), turime imti > = —?2, ą=2. …
In:
Excerpt
378 Polinomai su keliais nežinomaisiais [VIII sk. kur f (x) ir g,(x) yra žiedo T[x] polinomai; f, (x) — žemesnio negu n-to laipsnio, o g,(x) žemesnio negu m-to laipsnio. Padauginę lygybę (44) iš g,(x), o lygybę (45) iš f, (x), turėsime: J) Ax) =4(5) A (x) …
In:
Excerpt
| $ 38] Rezultantas | 379 " Ši sistema savo nežinomųjų atžvilgiu yra homogeninė, todėl ji turės nenulinį sprendinį tik tada, kai jos koeficientų determinantas 0 0 0 0 00 4-1 G, 0 0 DE bo 0 0 Gą Gut da Gai Gp lų 6, LA 0 : 0 Gp G G4-> Gp tų 6; DA ia 0 0-0 …
In:
Excerpt
380 Polinomai su keliais nežinomaisiais S VIII sk: (nepriklausantį nuo a, ;; 2, > , < ag) narį, turėsime, kad jie abiem atvejais yra lygūs arb". Todėl ins Po a 0 > 20-20 0 2 Ua a, 0-0 8 10 L EL i) UA bi b, 0 0 0 0 5 akis 0 0 0:0 0-0 ži A Tokio pavidalo …
In:
Excerpt
Ė “ $ 38] 4 Rezultantas 381 Toks rezultantas, kurio a, ir 6„ gali būti ir nuliai, bus naudin- gas eliminavimo teorijai. Determinanto pavidalu išreikštas rezultantas yra daug paprastesnis ir su juo patogiau operuoti. Pavyzdžiai. 1) Išskaičiuosime …
In:
Excerpt
382 Polinomai su keliais nežinomaisiais [VIII sk. 3) Rasime, kuris iš šių dviejų polinomų 9 (1)=x3—4x27—3x118 ir 9,(x4)=2—3x*1+3x—9 turi kartotines šaknis. Jeigu polinomas turi kartotinę šaknį, tai tą pačią šaknį turi turėti ir jo išvestinė, o tada jų …
In:
Excerpt
ž $ 39] Diskriminanias ę 383 Įvesime bet kokio polinomų žiedo B[x], kur R yra nulio charak- teristikos kūnas, polinomo J) =2,5 a, „1 a x-a5 diskriminanto sąvoką. Tegu a„750 ir polinomo šaknys jo išsiskaidy- mo kūne R yra Cae bo SS Polinomo f(x) …
In:
Excerpt
sakiai $ 43] Trečio laipsnio lygtys 397 „aa > p > Ž d io i i M kuriai w479= — 3 Taip parinkę vieną 4 ir 2 reikšmę, visas šaknis gausime iš lygybių Uu=lo Up=ši Up Up = 55 Up ir U= 0 V —= SU VU —€2lg5 kur P "a a —iuši “LEI 22 až = 3 p p U3U> = Mg E1 Voš, = …
In: