Excerpt
$ 45] Pagrindinė kompleksinių skaičių algebros teorema 421 Šio polinomo koeficientai pagal polinomų sandaugos taisyklę bus simetriški polinomų f(x) ir f(x) koeficientų atžvilgiu, atseit, b;=a;04,+-34;.,4,> - UEOkŲ +4; ,4,+ ses +ad ,> T---Tų4čūj 1944; …
In:
Excerpt
$ 48] Šaknų apribojimas 447 si x laipsnį, surandame tokią reikšmę, kuriai visi skliaustuose esan= tieji nariai būtų teigiami. Tada, aišku, kad tai x reikšmei ir visoms didesnėms už ją reikšmėms polinomas bus teigiamas, atseit, šaknų neturės. Pavyzdžiai. …
In:
Excerpt
448 Polinomai su tikraisiais koeficientais E sk. Norėdami rasti toki skaičių c, pradžioje turime rasti visas poli- nomo f(x) išvestines. Suradę jas, patogiausia bus rasti c, nuosekliai einant nuo x-tos išvestinės iki paties polinomo. Paskutinė (m-ta) iš- …
In:
Excerpt
$ 48] ' Šaknų apribojimas i 449 Iš jos matome, kad ir f(2)—143 > 0, todėl 2 yra teigiamų šaknų viršutinė riba. Šiam polinomui anksčiau buvome radę viršutinę ribą 9, o dzbar gavome ją daug tiksliau. 2) Rasime polinomo (2) =x1— 255 — 3x2 — 155 —3 teigiamų …
In:
Excerpt
450 Polinomai su tikraisiais koeficientais . IX -Sk; Iš karto matyti, kad visos išvestinės ir pats polinomas, kai x—1, yra teigiami, nes kiekvieno šių polinomų koeficientų suma yra teigiama. Kadangi 4, (0) < 0, tai polinomas 4, (x) turi šaknį tarp 0 ir 1, …
In:
Excerpt
$ 49) Tikrųjų šaknų skaičius 451 Vienas paprasčiausių būdų Šturmo grandinei gauti yra polinomo ir jo išvestinės Euklido algoritmas. Juo gaunami Šturmo grandinės polinomai skiriasi tuo nuo Euklido algoritmu gautų liekanų, kad jos (liekanos) yra imamos su …
In:
Excerpt
452 Polinomai išų tikraisiais Skaefieientais IIX sk. Ketvirtoji sąlyga irgi galioja, nes polinomo f(x) ir jo išvestinės f'(x) bendras didžiausias daliklis yra vienetas, vadinasi, paskutinis Euklido algoritmo polinomas yra tikrasis skaičius, nekeičiąs …
In:
Excerpt
$ 49] Tikrųjų šaknų skaičius 453 mus daugiklius visada galėsime atmesti, nės jie neturi įtakos į ženklus. ir jų pakitimų skaičių. Nagrinėdami toliau polinomą, dalijame f(x) iš f, (x) ir liekaną, padalytą iš 4, paimtą su priešingu ženklu, pažymėsime f4 …
In:
Excerpt
454 Polinomai su tikraisiais koeficientais I5C-Sk: Gali pasitaikyti, kad kuris nors polinomas intervalo pradžioje arba intervalo gale virsta 0. Tada, kadangi polinomai yra tolydinės neži- nomojo funkcijos, galima visada intervalą taip susiaurinti, kad, …
In:
Excerpt
$ 49] Tikrųjų šaknų skaičius 455 Iš pavyzdžio matėme, jei Euklido algoritmu surastas Šturmo grandinės paskutinis polinomas yra konstanta, tai tas parodo, kad duotas polinomas neturi kartotinių šaknų. Jeigu Euklido algoritmu skaičiuodami polinomus rastume, …
In:
Excerpt
456 Polinomai su tikraisiais koeficientais [X sk. x fm 1 (4) Jm (x) Im+i O) Ža) c—e Ž- 3ž — 1 E ia > : 0 = c+s + = — 1 Iš lentelių matome, kad, kai tarpinis grandinės polinomas lygus nu- liui, vidiniame intervalo taške, Šturmo grandinės ženklų pakitimų …
In:
Excerpt
$ 49] Tikrųjų šaknų skalčius 457 o kai tarpinis grandinės polinomas vidiniame intervalo taške neturi šak- nies, tai ženklų pakitimų skaičius nepasikeičia. Ženklų pakitimų skaičius, einant nuo mažesnių nežinomojo reikšmių į didesnes, gali tik sumažėti ir …
In:
Excerpt
458 Polinomai su tikraisiais koeficientais Eš sk. Šturmo -teorema ne tik padeda rasti šaknų skaičių bet kokiame intervale, bet ir tas šaknis atskirti, t. y. rasti tokius intervalus, ku- riuose tėra tik po vieną tikrąją šaknį. Sakykime, kad nustatėme …
In:
Excerpt
384 * Polinomai su keliais nežinomaisiais [VIII sk. Akivaizdu, kad n(n—1) E J) ED L 61) „> k> j> l Palyginę šią formulę su diskriminanto išraiška (48), gauname tokį rezultanto ir diskriminanto ryšį: n(n—1) 2 R(f, £)=(—1) a„d„ (52) arba n(n-1) d„=(—1) > …
In:
Excerpt
$ 39) Diskriminantas 385 Sudauginę ir sutraukę panašius narius, vietoje polinomų 9, (x) ir e, (x) gausi-" me atitinkamai polinomus 25 250 | AO) — Ar V Az ir 6.05) =53—8; Šie polinomai yra pavidalo (56), todėl jiems tinka formulė (57). Pritaikę ją …
In:
Excerpt
386 Polinomai su keliais nežinomaisiais ĮVIII sk. , Duosime dar vieną polinomo f(x) diskriminanto pavidalą. Prisi- mename Vandermondo determinantą . 1 1 Sai! Ai a; +.) 2, Lao A BG ION e 14 ss n=k> i2l | gn-1 a57i Laiko Sakykime, kad formulės (58) …
In:
Excerpt
T lis Ki g Aa * $ 40] Nežinomųjų „eliminavimas 387 Rasime polinomo g,(x) šaknų vienodų laipsnių sumas S Sp» Sg> Są, Išreikš- tas pagrindiniais simetriniais polinomais c,= — 2 9, = L Ia $ 37 paskutiniame uždavinyje randame, kad : , Ž S = 955 5 = Si — 205, …
In:
Excerpt
Su > Polinomai su keliais nežinomaisiais [VIII sk. Tegu turime du žiedo T [x, y] polinomus, sutvarkytus vieno ne- žinomojo, sakykime y, mažėjančiais laipsniais: jAC2 y) Zi CLU + fa (y 11 20 215 + AV == Jo(x), | ee = E OY aka Ya 6)y 8003): J Tegu …
In:
Excerpt
$ 40] ž Nežinomųjų eliminavimas 389 atsiuikti tik tada, kai arba abiejų polinomų vyriausiųjų narių koefi- cientai yra nuliai, arba kai polinomai f(a, y) ir g(e, y) turi bendrą šaknį. Pirmuoju atveju J.(4) =0 ir g„(a)=0, (65) o antruoju, jei polinomų f(a, …
In:
Excerpt
390 Polinomai su keliais nežinomaisiais Ž [VIII sk. Eliminavę nežinomąjį x, gauname sistemos rezultantą a AB F(3)—|. 2y—3 51 0 |=26+17+0y—-3*5+1)+ 0 Dre4 X +(2y—3) Gy +206 +1)=( +-1)(12y*— 15y +3)=36+1)G6— I) (4y— I). 1 Nė viena jo šaknis, nei 1, nei — 1, …
In:
Excerpt
IX SKYRIUS POLINOMAI SU KOMPLEKSINIAIS KOEFICIENTAIS S 41. Algebrinis lygčių sprendimas Iki šiol kalbėjome apie polinomų (lygčių) šaknis, bet nenagrinėjome būdų, kaip tas šaknis rasti. Šiame ir sekančiuose skyriuose parodysi- me, kaip tas šaknis rasti. …
In:
Excerpt
Ž 392 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Tegu turime x-to laipsnio lygtį aga A S ar E (1) kur c„70. Parodysime, kad nežinomąjį > galima pakeisti taip, kad lygtis (1) bus pakeista to paties laipsnio kita lygtimi, kurios vyriau- sias …
In:
Excerpt
$ 42) š “| Antro laipsnio lygtys 393 = 4= a Pagal lygybę (3) padarę pakeitimą X=Z— L, turėsime antro laipsnio redukuotą lygtį 2 =—--4=0. (5b) Šią lygtį išsprendžiame, traukdami kvadratinę šaknį iš kompleksinio 2 skaičiaus 2 li Kadangi kvadratinė šaknis …
In:
Excerpt
394 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [1X sk. Pavyzdžiai. 1) Išspręsime kvadratinę lygtį su kompleksiniais koeficientais: x2—(2—41) x—(3 161) =0. Taikydami formulę (6), kai p= —24-4i ir 4= —(3+-6/), turime, kad x=1—A1+VŪU—U 7376 =1—-2i 1 V A …
In:
Excerpt
$ 43] Trečio laipsnio lygtys 2 395 Į antro laipsnio lygtį su tikraisiais koeficientais galime žiūrėti kaip į atskirą lygčių (5) ar (5a) atvejį, kai visų kompleksinių skaičių menamosios koordinatės yra nuliai. Pastebėsime, kad iš (6), (6a) ir (7) matyti, …
In:
Excerpt
396 . Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Šios lygties šaknys g S ą Ža a as »--4+V/5+b re IroĖ Kadangi u3 ir 23 įeina į lygtis (10) ir (11) simetriškai, tai galime, pavyzdžiui, paimti, kad Iš šių lygybių ištraukę kubines šaknis, gauname …
In:
Excerpt
422 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Iš šios teoremos galima padaryti labai daug išvadų apie komplek- sinių skaičių kūną, apie jo polinomų žiedą 8 [x], o taip pat ir apie tikrųjų skaičių kūną S ir jo polinomų žiedą S [x]. Išvada. …
In:
Excerpt
$ 45] Pagrindinė kompleksinių skaičių algebros teorema 423 „Žinoma, kelios šaknys, o dažnai ir visos, gali būti tikrieji skaičiai, t. y. tų šaknų menamosios koordinatės gali būti nuliai. Kyla klausimas, gal kiekvienas žiedo S [x] polinomas turi tik …
In:
Excerpt
424 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Palyginę f(a) ir f(a) išraiškas (pagal II skyrių) turėsime, kad f(a) =c— di. Sakykime, kad «a yra f(x) šaknis, atseit, f(0)=cL-di=0. Kadangi kompleksinis skaičius yra lygus O tik tada, kai jo koordina- …
In:
Excerpt
$:46] Dvinarės ir simetrinės lygtys 425 kur c4 C55 2-5 C; YIa visos jo tikrosios šaknys, o x24- ėx+a, (7=!/-:-1, /+-2, ..., s) visi pirminiai antro laipsnio polinomai ir n=k k + AS 2411-24, ai ZA Žinoma, antro laipsnio pirminiai polinomai yra gauti, …
In: