Excerpt
$ 15] n-tos eilės determinantai 135 ir atvirkščiai. Savybės įrodysime tik eilutėms arba kolonoms, 0 dės- nius formuluosime eilutėms ir kolonoms. II. Determinanto ženklas pasikeis, jei dvi j0 eilutes (kolonas) sukei- sime vietomis. ; Sukeitus dvi …
In:
Excerpt
136 Determinantai [IV sk. liai, paverčia visus narius stai todėl ir toks determinantas yra ly- gus nuliui. IV. Dererminantas, kurio dvi eilutės (kolonos) vienodos, lygus nuliui. Ši savybė yra III savybės išvada, nes determinanto |A| su lygio- mis …
In:
Excerpt
S 15) n-tos eilės determinantai Tegu turime 137 Zi ia 4, A 425 GAC 05, S a.+b. . Til a: 5 a; 0ip GO (PJ Cn 2.2 S, (A Ji išskleidę, gausime "as S d dA | Šo ( 1) Šia, TA j9 ia (25, + ri Uka sea Dada 012 1 7-1 J 1 Mas a A 1 2, 3 r b. La iš ja) kia, aa“ …
In:
Excerpt
138 Determinantai [IV sk. dome sudarytą determinantą į sumą dviejų determinantų. Tada ant- ram determinantui pritaikę V savybę, gauname: An Ap ln Antras determinantas turi dvi Gy LA AS GO An Uro S 223 š 2 , LAA š Gjį ar laą 4;j2 i la> a An P las, Lą [| 2, …
In:
Excerpt
$ 15] n-tos eilės determinantai 139 a15 — 3015 — Žas L 45 (—4> 3-—9-2 (ke) as — aj — Ža 044 Sai) Įvedę šį apibrėžimą, įrodysime svarbią determinantų savybę. VIII. Dererminantas yra lygus nuliui, Jei kuri nors jo eilutė (kolona) yra kitų eilučių (kolonų) …
In:
Excerpt
140 Determinantai „HN sk. 2) Determinantas a4+b k c4+d 1 2 bc | dia 1 c+d m a4b || dra 7 ba A kur a, b, c, d, k, I, m ir n yra bet kokie skaičiai, yra lygus nuliui, nes, prie pirmos kolonos pridėję trečiąją ir iškėlę daugiklį a +54+c4+d, gauname, kad > …
In:
Excerpt
$ 16j Kramerio taisyklė 141 Čia elemento a,,(k=1,2, ---, x) daugikliai A=- 2 IN ia Ai 1k ( ) 23, Caa, E Bas Bas > B,=152, R-1, RTL... a o o, kaip ir anksčiau, reiškia perstatinio 8,, 84, +++, 8, netvarkų skaičių. Panagrinėsime, kas yra elemento a,, …
In:
Excerpt
142 Determinantai [IV sk. eilės determinantą, tai gausime elemento a;, mincrą, kurį žymėsime M;,„ Taip iš determinanto Zil A aipi iki) Uikiai 67 Up 3 235 i lapų 2k | Gopii VE |A|= nurodytu būdu išbraukę /-tą eilutę ir £-tą koloną, gauname to ele- mento …
In:
Excerpt
$ 16] Kramerio taisyklė 143 daugiklį A,,, perstatysime determinanto |A| kolonas taip, kad elemen- tas a,, ir visa K-ta kolona būtų pirmoje vietoje, o kitų kolonų tarpu- savio tvarka liktų tokia pat. Tai atlikę, gausime determinantą ir Ču Gia Ge ir Čia ak …
In:
Excerpt
144 Determinantai [IV sk. Kadangi k gali turėti reikšmes 2,3, ---, m, o kai 4=1, kaip matė- me, 4, = M, tai, kai 4=1,2, ---, nm, turime A„=(—-17+ž Map (17) Įstatę tas A,„ išraiškas į (15), turėsime Ai=anAn+ > A5----- 0, As T Ap = =2, M+ 05(—1Y*Ms+-245(— …
In:
Excerpt
$ 16] Kramerio taisyklė i 145 Norėdami determinantą išdėstyti ne pirma eilute, o bet kuria kita, sakysime j-ta eilute, turėsime tą eilutę atkelti į pirmosios vietą ir paskui išdėstyti jau mums žinomu būdu. Atkeldami 7-tą eilutę į pir- mos vietą taip, kad …
In:
Excerpt
146 Determinantai [IV sk. U> Cip G Au Gp G14 = —Gų| 23p Up Os4 |T 005 A, Ū33 Ūzų , Gj GU43 Gg4 A Gi3 Ū44 | Uu Gp Gi4 Uu Cup Ci3 —A5gi Ag Op Oz |PŪ4 | Ap Ūzp Ops > G Up Ga4 G Op Gaz į Tas determinantas, išdėstytas trečios kolonos elementais. yra …
In:
Excerpt
| 299 o Mairicos ir vektoriai [V sk. Sulyginę abiejų sandaugų atitinkamus narius, matome, kad jie sutampa. Kadangi abi sandaugos yra m2x7 matricos, tai galutinai gauname, kad B) i = A 2) = E G (38) Įrodėme, kad matricų daugyba yra asociatyvi. Pavyzdys. …
In:
Excerpt
“- $ 23] Matricų -daugyba 223 Įrodę, kad matricų daugyba asociatyvi, galėsime matricų daugybą išplėsti bet kuriam dauginamųjų skaičiui ir dauginant sandaugos na- rius jungti kaip tik norėsime. Daugindami matricas, turime prisiminti, kad negalima Keisti …
In:
Excerpt
294 Matricos ir vektoriai [V sk. Lygybės (42) dešinėje pusėje yra formulės (40) dešinėje pusėje esančios matricos j-tos eilutės K-tos kolonos elementas. Taigi, formu- lė (40) yra įrodyta. Įrodydami kairiosios daugybos distributyvumo dėsnį, pastebėsime, …
In:
Excerpt
$ 23] , Matricų daugyba 225 Matome, kad sandaugos rango negalima nustatyti, žinant tik dauginamųjų matric4 rangus, nes abiejų pavyzdžių dauginamųjų matricų rangai lygūs 1, o sandaugos rangas atitinkamai yra 1 ir O. Jis abiem atvejais nedidesnis už dau- …
In:
Excerpt
226 Matricos ir vektoriai [V sk. $ 24. Kvadratinių matricų algebra Šiame paragrafe nagrinėsime n-tos eilės kvadratines matricas. Jas žymėsime didžiosiomis lotyniškomis raidėmis be jokių indeksų. Praeitame paragrafe matėme, kad dviejų »2-tos eilės matricų …
In:
Excerpt
. | $ 24] Kvadratinių matricų algebra 227 Matėme, kad stačiakampės matricos patenkina abiejų daugybų distributyvumo dėsnius. Kadangi kvadratinės x-tos eilės matricas ga- lima ir sudėti, ir sudauginti, tai ir jos patenkina tuos dėsnius; 14 as Ba k …
In:
Excerpt
228 Matricos ir vektoriai [V sk. Šią transformaciją vienareikšmiai atitinka m-tos eilės matrica A. Ieš- kosime matricos A atvirkštinės matricos, pasinaudoję transformaci- jos (46) atvirkštine transformacija. Atvirkštinė transformacija keis nežinomuosius …
In:
Excerpt
G M $ 24] Kvadratinių matricų algebra 229 Šios transformacijos matricą žymėsime A-1: A An 4 Ap Am |A| |A| |A| |A| Ai Asp į Aps App [4] |Al |A |A| S Še nas SR aa ai Aka Au Aso 5 o Ak I (49) IE) |A| 1Aj Ain Am Akai „Ann |A| |Al |A| |A| Nesunku matyti, kad …
In:
Excerpt
230 Maitricos ir vektoriai , [V sk. Iš bendrosios žiedų + teorijos (III skyrių $ 11) aišku, kad neišsi- gimusios matricos A atvirkštinė matrica 4-1 yra vienintelė. Pastebėję, kad |A| yra skaliaras, matricos A-1 išraiškoje (49) ga- lime iškelti prieš …
In:
Excerpt
$ 24] Kvadratinių matricų algebra 231 [0] — nulinė matrica. Ši pirmos eilės kvadratinių matricų aibė yra izomorfinė skaliarų kūnui, nes jos elementai sudedami ir dauginami kaip skaliarai. Jei tokioms matricoms ir skaliarams nustatysime ati- tinkamybę [4] …
In:
Excerpt
232 Matricos ir vektoriai BV“ sk. Panagrinėsime atvirkštinės ir prijungtinės matricos determinantus. Iš tų matricų savybių, matricų sandaugos determinanto savybės ir lygybės (9) gauname: 1 E Ę |4|-|4-!)=|E|, Zl a ap |> 15 |Al145—1 |A|=|Ap=, GI) t. y. …
In:
Excerpt
S 24] Kuvadratinių matricų algebra 233 gausime vienintelį jos sprendinį IL 1E2O kurį vadinsime matricos A dešiniuoju dalnenių iš kad bendruoju atveju šie dalmenys skirtingi. Pavyzdžiai. 1) Matxicos 9.3 5 59 13 5 8 64) matricos B. Aišku, determinantas | A| …
In:
Excerpt
122 Determinantai Aso [IV sk. viršų, ir vėl, vienoje istrižainėje esančius elementus sudauginę, imame tas sandaugas su ženklu minus. Sudėję visus narius, gauname deter- minantą: , || p 2 41,0550353 +- 45,435013 -- 43,0,5055 7- 33' — Šu l50j5 — 211032453 — …
In:
Excerpt
$ 14] “) Trečios eilės determinantai 123 Pavyzdžiai. —13(—8)-(—4)—1-(—2):0—3-12( — 12) = 136, =3-(—4)-4+(—4)-:2.412.2.121 —4-(—4):2—2.2-3—4.27( —4)= —20. TS ŠTAS a Sie S + nes atitinkami nariai su 4 17 su — gauti pagal trikampių schemą: : | DAS NS X arba …
In:
Excerpt
ŠA “ TL MR £ A UIA Ržadiss ir Mal 124 Determinantai > [IV sk. Parodysime, kaip trečios eilės determinantą išreikšti antros eilės determinantais. Formulės (62) dešinės pusės narius sugrupuojame po du pagal pirmos eilutės elementus. Iš narių, turinčių a, …
In:
Excerpt
en $ 14] Trečios eilės determinantai 125 Pavyzdžiai. 1) Išskaičiuokime determinantą, išdėstę jį pirmos kolonos elementais; 2 —1 0 1 —3 3170 —l 0 i Lina E = 4 —2 4 —2 4 1 —3 1 —2 4 =2-2-Ž(-441. 22 Čia pirmoji sandauga turi ženklą plius, nes indeksų suma …
In:
Excerpt
126 Determinantai [IV sk. III savybę įrodome, išdėstę trečios eilės determinantą ta kolona arba eilute, kurios visi elementai lygūs 0, nes O ir antros eilės deter- minantų sandaugų suma yra lygi nuliui. IV savybę lengvai įrodysime, išdėstę determinantą …
In:
Excerpt
S 14] " Trečios eilės determinantai 127 2) Išspręsime sistemą > 947x, + 841x, + 255x, = 257, 324x, — 128x, + 779x, = 782, 161x, > 183x5 > 140x, = 141. Šią sistemą sprendžiant, labai nepatogu determinantus skleisti scheminiais būdais arba išdėstyti juos …
In: