Excerpt
$ 76] Transformacijų matricos normalinis pavidalas 691 žordaninis langelis jokioje bazėje išsiskaidyti paprastesniais langeliais negali. Keičiant bazę, gali pasikeisti tik jo pavidalas, pavyzdžiui, vie- netai, esantieji virš vyriausios įstrižainės, gali …
In:
Excerpt
692 Polinominės matricos š [XV sk. Kadangi kiekvieną charakteringosios matricos pirmo laipsnio dau- giklį > — I atitinka pirmos eilės žordaninis langelis (vienas elementas) ir, atvirkščiai, kiekvieną vieno elemento langelį atitinka tik pirmo laipsnio …
In:
Excerpt
$ 761 Transformacijų matricos normalinis pavidalas 693 2) Transformacijai “)J, kurios matrica bazėje (6) yra | 5 G JI B=| —2 1 1Į, A aa rasime bazę, kurioje ta forma turės žordaninio pavidalo matricą. Matricos B charakteringoji matrica : B — R E B= 22110 …
In:
Excerpt
694 Polinominės matricos [XV sk. Transformavę tą vektorių transformacija 3, turėsime [5 21 „=[e1 „B=B 221226 —1]=2lzs 15 Toliau ieškosime antro bazės vektoriaus e3. Jo koordinatės pagal matricos B; pavidalą turi patenkinti matricinę lygų [e,] B (2 E— B)= …
In:
Excerpt
$ 76] Transformacijų matricos normalinis pavidalas 695 tam tikroje bazėje, kurią pažymėsime įsi, bus sudėta iš dviejų žordaninių angelių; vieno pirmos eilės, o kito antros, atseit, ji bus „tokia: 210 A=[|0 i 1|. 001 Tą pačią išvadą galima gauti ir iš …
In:
Excerpt
696 Polinominės matricos [XV sk. Įstatę 4) —=2, /1— —15 /5—= 1 į aukščiau parašytą sistemą, gauname jos bendrąjį sprendinį »1= —1—75 1-9: Parinkę y;= — I, y, = 1, gauname y, =1. Todėl E) —= B, — 65 T 003. Dabar galime parinkti jr pirmąjį vektorių e,. …
In:
Excerpt
$ 83] "Sau sujungtinės transformacijos ; 747 Vadinasi, sau sujungtinės transformacijos Keičia vektorių ilgius — „,iš- tempia“ ar „suspaudžia“ pačią erdvę įvairiomis kryptimis. Jei kurios nors nuosavos reikšmės J, ar s; yra nuliai, tai ta kryptimi vektorių …
In:
Excerpt
+ r 748 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. 3 teorema. Unirarinės ar euklidinės erdvės įstrižai simetrinės transformacijos charakteringosios šaknys yra nuliai arba grynai menamieji dydžiai. Įrodymas. Jei / yra įstrižai …
In:
Excerpt
> 13 841 Unitarinės ir ortogonalinės transformacijos 749 5 teorema. Euklidinėje erdvėje yra tokia ortonormalinė bazė, kurioje įstrižai simetrinės transformacijos matrica yra pseudodiagonalinė. Visi pirmos eilės langeliai yra nuliai, o antros eilės …
In:
Excerpt
750 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir, euklidinėje erdvėje (XVII sk. . Daugindami lygybes (37) ir (38) iš abiejų pusių atitinkamai iš ir O, gausime, kad *U=UU*=€, OO0=00'=C. (39) Šios lygybės gal apibrėžti unitarines arba ortogonalines transfor- …
In:
Excerpt
$ 841 i Unitarinės ir ortogonalinės transformacijos, į KTS į "Iš šios lygybės matome, kad vektorius (01 -04* — €) turi oūti nuli- nis, nes E yra bet koks vektorius. Kadangi 1 taip pat bet koks vek- torius, tai transformacija WWų1*—€=0 ir uu: — G. …
In:
Excerpt
A MMS T uo aa ės 752 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Suprastinę ją iš 2, gausime lygybę (40), vadinasi, transformacija 94 yra unitarinė. Euklidinėje erdvėje paėmę tiesinę transformaciją O ir vektorius E ir 1, pagal …
In:
Excerpt
$ 84] Unitarinės ir ortogonalinės transformacijos P ižiė" 753 Tada (E -101) = *1V1 T X2V2L- AV = (E). Vadinasi, 9; bus unitarinė arba ortogonalinė transformacija. Bet šios transformacijos kiekvieną ortonormalinę sistemą palieka ortonormaline, todėl ir …
In:
Excerpt
754 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Antra vertus, kai tiesinės transformacijos matrica turi pavidalą (42), ta transformacija pagal tą pačią $ 82 teoremą turi būti norma- linė, o jos sujungtinės transformacijos matrica …
In:
Excerpt
$ 84 Unitarinės ir ortogonalinės transformacijos 755 4 teorema. Euklidinėje erdvėje galima parinkti tokią ortonorma- linę bazę, kurioje ortogonalinė transformacija turės pseudodiagonalinį pavidalą —1 a 1 1 —1 D — ( - 7 +. (43) —1 0, 0, I 022 kur O, yra …
In:
Excerpt
756 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Unitarinė ir ortogonalinė transformacija nekeičia vektorių ilgių ir kitų erdvės metrinių dydžių. Kadangi jos kiekvieną ortonormalinę bazę keičia ortonormaline, atseit, pasuka visą …
In:
Excerpt
> $ 84] Unitarinės ir ortogonalinės. transformacijos. «751 Tą patį galime pasakyti ir apie formulės (36) įstrižai simetrinę met- ricą I. Vietoj jos gausime sl ON 0 =P k (364) O 0 Mi kur V yra unitarinė matrica. Pavyzdys. Ištirsime dvimačių ir trimačių …
In:
Excerpt
758 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. kuri atitinka nuosavą reikšmę, lygią 1. 3) Transformacijos O viena nuosava reikšmė yra 1, o kitos dvi — —1. Ši transformacija yra tiesiogiai ortogonalinė, nes jos matrica turi vieną …
In:
Excerpt
Ms p TS 770 "Kvadratinės formos [XVIII sk. Paimame vektorių Ę ir 1 išraišką bazėje [w - E=x,0,2-43051---- TX, 0, = 01 V 021 > > TI A ir laikome dvitiesinę formą p(E, 7) I rūšies tiesine funkcija abiejų vektorių atžvilgiu. Tada pagal $ 59 turėsime ę(Es 1)= …
In:
Excerpt
$ 86] Kvadratinės jormos ir jų dvitiesinės formos 773 Pažymėję naujoje bazėje ( < į dvitiesinės formos matricą A., turėsime 9 (E, = Iš]. 4; [nlž. (13) Įstatę formulių (12) reikšmes į (11) ir prisiminę žvaigždutinės opera- cijos savybes, turėsime ę(E m)= …
In:
Excerpt
T7Ą Kvadratinės formos [XVIII sk. Analogišką reikšmę simetrinėms formoms dvitiesinėms formoms (8) turi hermitinės formos, kurioms ę= (E, 1)= ę(1; E). (20) Iš formulės (10) seka, kad p — a (E 2 a), (21) Vadinasi, bazėje f03 hermitinės formos matrica yra …
In:
Excerpt
$ 86] 4 Kuadratinės formos ir jų dvitiesinės formos 775 Vadinasi, kvadratinės formos matrica | 3 --1 S= 3-1 —2|, Lk 2 4 todėl ją atitinkanti dvitiesinė forma Ji 9(6 M= lt > 45] S | v> |= 2 Yz = [x 3 —X55 Ix Xp --2X5 — X — 255 445] | y5 Y3 = dk —Xa91 TB Ya …
In:
Excerpt
775 Kvadratinės formos [XVIII sk. Parašysime tą dvitiesinę formą bazėje (s,, £3, €53, kai perėjimo iš bazės ie) į bazę ( 0 Pažymėsime dvitiesinę formą «(E, 7). Kadangi jos matrica bazėje (e) yra simetrinė, tai ir bazėje …
In:
Excerpt
$ 86] ė Kuvadratinės formos ir jų duitiesinės formos 777 Ši transformacija bus simetrinė, nes S1=(0907= (0-3 8'0'= 05071=4, ir jos simetrinė matrica bazėje 4 w ! bus S. = 05,01. Į matricą O galime žiūrėti, kaip į erdvės vektorių ortonormalinės bazės fw1 …
In:
Excerpt
778 Kvadratinės formos [XVIII sk. kur /,, 55 -..,/, yra matricos H nuosavi vektoriai. Šį hermitinės dvi- tiesinės formos pavidalą taip pat vadinsime diagonaliniu. Vadinasi, įrodėme ir teoremą: Kiekvieną kompleksinę hermitinę dvitiesinę formą p(E, 1) su …
In:
Excerpt
$ 87] š Simetrinės ir hermitinės formos 779 Galime parašyti kelias nesimetrines dvitiesines formas su sveikais teigia- mais koeficientais, iš kurių ši forma galėjo būti gauta: 9; (E 1)= 21 V1 144195 243925 95 (E M) = x191 31195 + *191 --2x3 925 9 (5 = 191 …
In:
Excerpt
780 Kvadratinės įormos [XVIII sk. kurią buvome gavę aukščiau, pasinaudoję tik kvadratinės formos si- metrine matrica. Paprastai formulė (30) tam tikslui beveik visai nenaudojama, nes skaičiavimas yra gana ilgas, o simetrinės matricos gavimas yra labai …
In:
Excerpt
$ 87] Simetrinės ir hermitinės formos 781 | i ž i g (1: = į[P6+1E1+0—96-—-0E—-)— 96 Lin, Er /m) + Tię(E— in, E — žm) L (35) Šiomis lygybėmis kai kurioms kvadratinėms formoms galima nustatyti ryšį tarp ę(E, m) ir ę(n, E). Panagrinėsime pavidalo (32) …
In:
Excerpt
782 Kvadratinės formos [XVIII sk. Tuo pačiu mes įrodėme, kad pavidalo (31) dvitiesinė forma bus tik tada hermitinė, kai jos kvadratinė forma visų vektorių atžvilgiu yra tikrasis skaičius. Mes toliau tirsime tik tokias pavidalo (2) arba (32) kvadratines …
In:
Excerpt
$ 88] Kvadratinių formų kanoninis pavidalas 783 Jei visi 2,,—=0, kur k=1,2,...,n, tai bent vienas a;jp, kur J7k, nėra lygus 0, nes kitaip forma būtų tapatingai lygi O ir jau turėtų kanoninį pavidalą. Jei a;, 770, tai pakeičiame koordinates, imdami X1=J;: …
In: