Excerpt
128 Determinantai j [IV sk. to iš pirmų eilučių elementų atimsime trečią eilutę, padaugintą iš 2, o iš antrų — trečią, padaugintą iš 3: 2 841 255 0 475 — 25 d,=|3 —128 779|=|0 —677 359, 1 183 140| 1 183 140 BA. 32 0255 22570. — 25 d,=|324 3 779|=|-—159 0 …
In:
Excerpt
$ 14] Trečios eilės determinantai 129 Iškšlę iš trečios kolonos daugiklį 2, gausime (žr. 127 psl.) EA 8 2 H d,= —100-2|234 11 3|=2-4= — 153600, 16-31 Sistemos sprendinys yra d d d. TT = 2 == = T Įstatę šias reikšmes į sistemos lygtis matome, kad —2, 1, 2 …
In:
Excerpt
130 š Determinantai [IV sk. Išdėstome šį determinantą trečios kolonos elementais ir iš antros eilės determi- nanto pirmos eilutės iškeliame daugiklį 2: , 444 4461 E Iš antros kolonos elementų atėmę atitinkamus pirmos kolonos elementus, gauname …
In:
Excerpt
S 15] n-tos eilės determinantai 131 Tegu turime kokį nors Kūną 5. Iš to kūno elementų sudarome n eilučių ir 2 kolonų lentelę Au 3 a. a; a „BS 21 622 22) (9) A 42 i Un "Tokią lentelę vadiname n-r0s eilės kvadratine matrica, o kūno 1 ele- mentus a;, — …
In:
Excerpt
132 Determinantai = UVS ir minus, jei jis yra nelyginis. Determinantą, parašytą pavidalu (13), vadiname išskleistu determinantu, o kiekvieną sumos dėmenį su jo ženklu vadiname determinanto nariu. . Išskleidę determinantą ir atlikę veiksmus, gauname tam …
In:
Excerpt
$ 15] n-tos eilės determinantai 133 Kai n= SK Ci A 431 determinanto Ci Ci2 43 09p 43, 233 44, 242 Oi Lis 055 05|=(— 1) 211 25505541-(— IL ai 055 0551 435 33 +(— 1) 050523 +-(— UL aps an 0554-(— 1)ž 215033 0551 +-(— 1)š 013 025 031 = Aj4 455 035 — Ci 225 …
In:
Excerpt
S 17] . Laplaso teorema 159 "Tačiau iš matricos A galime gauti ir žemesnės eilės determinantų; tereikia išbraukti kai kurias šios matricos eilutes ir tokį pat skaičių , kolonų, o iš likusių elementų, nesuardant jų tvarkos, sudaryti deter- „ minantą. Jeigu …
In:
Excerpt
160 3 Determinantai [IV sk. * Jeigu iš duotojo determinanto |A| (matricos A), sudarome mm-tos eilės minorą M, parinkdami 74, 755 73 > > > ; /„ €ilutes ir A,, k5, ką, +++, k„ kolonas, tai iš likusių 2 —m eilučių įa+15 Jao 75 0 J, ir 2—m kolonų kmi1> Rm+9> …
In:
Excerpt
$ 17] Laplaso teorema 161 Pavyzdžiui, penktos eilės determinanto Gi Ci2 Cip Gi4 Gi5 [AB |= A Ū3p OAz3 Ū34 G55 |5 Ė (30) trečios eilės minoro Aj Ang Ū54 Ms3=| G Az3 Gs4 |> Az, G53 Ū54 sudaryto iš antros, trečios ir penktos eilučių ir pirmos, trečios ir …
In:
Excerpt
162 Determinantai "IV. sk. kampe, taip pat išskirtas tomis pačiomis tiesėmis.) Sujungtinis mi- pe, taip p P j noras M“? yra ir minoro MC? adjunktas, nes (— 1)U+2+---+m)+0121---+m) — m(m4-1) i m(m-+1) (A K) i (SM Taigi, reikia įrodyti, kad kiekvienas …
In:
Excerpt
$ 179 Laplaso teorema 163 Kadangi sandaugos pirmieji indeksai yra natūralioje tvarkoje, tai, su- darę iš antrųjų indeksų perstatinį Bas Ba > Bm Bm Tetas Ym+2 15 Yao į kurį įeina visi skaičiai 1, 2, ---, m, ---, 2 po vieną kartą, leng- vai įsitikinsime, …
In:
Excerpt
164 Determinantai [IV sk. Pažymėsime | 4.„;| determinantą, gautą iš determinanto |A|, persta- čius jo eilutes ir kolonas taip, kaip aukščiau nusakyta. Tada ji ti: +: -+i,+kitk:- pr +k,-m(m+-1) |A(mi) | 2 |A|=(-1) Determinanto |A(„,| minoras M bus viršuje …
In:
Excerpt
$ 17] Laplaso teorema 165 minantų turėsime (") ir jie vienas nuo kito skirsis bent viena ei- lute.) Minėtus determinantus vadinsime matricos A„x„ m-tos (n-tos) arba aukščiausios eilės minorais. Grįšime prie determinanto |A|. Iš jo parenkame 72 eilučių, …
In:
Excerpt
166 Determinaniai [IV sk. L] Įrodėme, kad sandaugų sumoje yra m! narių, kurie visi yra skir- tingi, o kiekvienas jų atskirai sutampa su vienu išskleisto determinanto |A| nariu. Pats determinantas |A| taip pat turi 1! narių, kurie visi yra skirtingi, …
In:
Excerpt
$s 1 Laplaso teorema 167 - ; 3 Cu Gp a. a; 22 G25 2444245 2 (RT as 233 Ap Gas As, Ū53 tų G53 Gy 4 4 5 ab Gj Ūzp C> Ūą As G53 Ž ą Ui1 Gp 23 G55 2444345 ap Gai Az3 Ga Gas 251 C55 i a Gi 12 24 055 241445 ar RA Zz, G33 Au 045 25, 453 2, Giza 15 ž L 22 21 023 …
In:
Excerpt
168 Determinantai [IV sk. Stačiakampė matrica, sudaryta iš šio determinanto antros ir ketvirtos eilutės, yra A MO 3 OLABA5 6 a Taas5 E Todėl 52230 2 3 1 4.5 : 0 |A6)|= — —4 6|+ —1 —4 6|+ g 5 0 6 112489 29 80 220 2 ies A 054 žo | = 2 99 i 8 | - o 520 2 Ž i …
In:
Excerpt
$ 17] Laplaso teorema 169 Iš šio determinanto antros, trečios ir šeštos eilutės sudarome 3x6 matricą S S = B: eis (0) | 0 5 0:5 Šios matricos vienintelis trečios eilės minoras, neturintis nulinės kolonos, yra determinantas Žali ai 25 = 25 Pagal Laplaso …
In:
Excerpt
170 Determinantai [IV sk: Išdėstę šį determinantą trečios ir penktos eilutės elementais pagal Laplaso teoremą, zausime B 53 |49|= po SL E 1 a 84. 7'3 3014 Panaudoję Laplaso teoremą, įrodysime, kad x-tos eilės determi- nantų sandaugą galima parašyti m-tos …
In:
Excerpt
"5179 Laplaso teorema 171 Gi, Gar Ap Ain 0 0 0 0 a 233 05p a, 0 0 0 0 Ap Apo Ok „0 0 0 i ALB S Ani 2200 0 Č ls į |-| i 0 0 0 bi bi5 Dip bir i . 0-1 0 0 bu bp bar br, 0 0 1 0 bu bp Di JB 0-0 0 —1 ba bp Čai ta E Iš tikrųjų, išdėstę šį determinantą pagal …
In:
Excerpt
E sl , n-mačių vektorių erdvė Šios sistemos determinantas . l 2 15 —4 5:4 |=35, 1 2151 2 todėl pagal Kramerio taisyklę ši sistema turi vienintelį sprendinį === Vadinasi, vektoriai yra tiesiniai neprikiausomi. 2) Tegu skaliarų kūnas yra R. Paimkime penkių …
In:
Excerpt
198 : * Matricos ir vektoriai V sk2 2 teorema. Kiekviena vektorių sistema, į kurią įeina nulinis vek- torius, yra tiesiniai priklausoma. * Įrodymas. Tegu, pavyzdžiui, [15] = [0]. Paėmę bet kokį ska- liarų kūno elementą Ž 0, tokiai 2 vektorių sistemai …
In:
Excerpt
$ 21] "o n-mačių vektorių erdvė 199 Padaliję iš I;, turėsime 151=(—7)l1+(— 7) [«5]-- A [2;-,]-+- + I + (— Ža] (— > ) Ian o pažymėję (R FD (-2)- k ( = 25 2 J — 1, 751, DP gauname lygybę (18). Antra vertus, jei vektorius [«;] lygybėje (18) yra nulinis, tai …
In:
Excerpt
200 Matricos ir vektoriai [V sk. Kiekvienas vektorius [2,], [25], ---, [a,], patenkindamas tapatybę [2;]=0-[2;]4-0-[25]4----1-0-[0;,]+1-[4;]+ 4-0-[z;4,]1---- 1-0- [a] (7=1, 2, 7 siaD, 7), gali būti tiesiniai išreikštas 7 pirmaisiais vektoriais, todėl …
In:
Excerpt
$ 21] n-mačių vektorių erdvė 201 išreikšti tais 7 vektoriais. Jeigu mes jį iš sistemos pašalinsime, tai . naujoje sistemoje liks 7 tiesiniai nepriklausomų vektorių ir todėl jos rangas nepasikeis. Sakysime, kad [x;] yra vienas iš vektorių [«,], [z> j> +--, …
In:
Excerpt
202 Matricos ir vektoriai [V sk. | Jeigu turime dvi sistemas [a,]; [5], ia [e]; i (21) [8]; [851 +--> 18. (22) [2;]= 5 Lp [8,7 (/=1, 2, ---, m), k=1 tai sistema (21) yra sistemos (22) tiesinė kombinacija. Tegu turime trečią sistemą a)> [rs] > [TH (23) …
In:
Excerpt
$ 21] PS n-mačių vektorių erdvė 203 1 . 7 teorema. Ekvivalenčių sistemų rangai sutampa. i Įrodymas. Tegu sistemos (21) ir (22) ekvivalenčios ir jų ran- | gai atitinkamai lygūs 7, ir Tą. Iš sistemų ekvivalentumo turime, kad "sistemą (21) galima tiesiniai …
In:
Excerpt
204 “| Matricos ir vektoriai [V sk. Vadinsime juos vienetiniais vektoriais. Įrodysime, kad vienetinių vek- torių sistema turi rangą m, t. y. kad tie vektoriai yra tiesiniai ne- priklausomi. Parenkame kūno 8 elementus Ą; /, ---, J, taip, kad 4 [e,]-+--[e> …
In:
Excerpt
$ 21] n-mačių vektorių erdvė 205 mas visų galimų > koordinačių vektorių su skaliarų kūnu 1 sistema, i kurią toliau vadinsime erdve, turi rangą n. Bet kokių vektorių erdvė, jei jos rangas yra 1, vadinama n-mate erdve. Tokios erdvės 2 tiesiniai …
In:
Excerpt
206 Midricas Ar nebiorias IV 4 3 Tą patį vektorių, parinkę baze vektorius [1,]= 2, 0, 0, 0, 0], [> ] = [0, 3, Dž 01, [1)1= [0, 0, Ls 0, 0], m [m ]= [0, 0, 0, DE 0], 0, [5] = [0, 0, 0, V, 3], išreiš-iame taip: [469]=2 [m,]— [15] —2 [15] 49 [14] —2 Is]. 3) …
In:
Excerpt
122 $ 22) Mairicos rangas ir jo nustatymas 207 Dabar rasime tokius kompleksinius skaičius G1> G3, a5 ir a,, kad galiotų lygybė [40]=[37, 2—27, 4, DZ aN= ad =a [01] 45 [65] -- a; [05] + a; [064]. š Iš šios vektorinės lygties gauname tiesinių lygčių …
In: