Excerpt
194 Lebego integralas Suskaidykime segmentą [a, 5] į segmentus [xp-;, X] (k=1, -.., n) ir sudarykime sumą n > Ox (Xx — Xk-i) (1) k=l kur «į yra funkcijos f(x) svyravimas segmente [Xx-1, X;|. Iš šios sumos atmeskime tuos dėmenis, kuriuos atitinką segmentai …
Excerpt
196 Lebego integralas galima laikyti kiek norima mažu, nes 1 gali būti kiek norima didelis. Todėl taške x' funkcijos f (x) svyravimas yra > o „ Vadinasi, x'eF.. Iš čia ir išplaukia, jog DcF.. Iš (6) gauname: £ mF.zmD iM ž Kadangi 2 Žž F p-! tai E> F. ir, …
Excerpt
Išorinis ir vidinis matai 99 Iš išorinio mato apibrėžimo išplaukia, jog kiekvienam => 0 galime rasti baigtinę arba suskaičiuojamą intervalų sistemą (/,), padengiančią aibę I— A ir turinčią savybę 2. mI; /;— A 0= L I Tadėl m(I—A) < > mIy lų, m(I-I) < > mk …
Excerpt
100 Aibių matas kur 7 — bet koks padengiantis aibę A intervalas. Iš lemos turime, kad mA nepriklauso nuo intervalo I parinkimo. Be to, iš vidinio mato apibrėžimo iš- plaukia lygybė mA+m(I-A)=mI. Jei A — elementarinė aibė, priklausanti intervalui I, tai J— …
Excerpt
MA Išmatuojamos aibės į 101 Sakykime, / yra koks nors padengiąs aibę A intervalas. Iš vidinio mato apibrėžimo turime, jog aibė A yra išmatuojama tada ir tik tada, kai mI-—m(I-—- A)=m A, t. y. mA+m(I-— A)=m I. Iš čia matome, kad aibės Air /— A abi kartu …
Excerpt
102 Aibių matas Tuo būdu, remiantis 4.3 teorema, m;A …
Excerpt
N Išmatuojamos aibės 103 Iš čia ir iš (1) išplaukia: |mA-mE+m(I-A)-m(I- E)| …
Excerpt
"mr 104 Aibių matas“ (4) nelygybė teisinga abiem atvejais: ir kai sistema (/,| yra baigtinė, ir kai ji begalinė. Parodysime, kad E yra ieškomoji aibė. Pastebėsime, kad aibė S k> n padengia aibę 4— E, o aibė GEB I — aibę £— 4. Todėl AAECB+C ir pagal 4.1 …
Excerpt
106 Aibių matas 4 teorema. Jei išmatuojamos aibės A,, ..., A, kas dvi neturi bendrų elemen- tų, tai m o A m Ap. k=1 k=l Įrodymas. Ir šią teoremą įrodysime tik dviem aibėms. Bendrą atvejį iš čia gausime matematinės indukcijos metodu. Paėmę bet kokį => 0 ir …
Excerpt
Išmatuojamų aibių savybės 107 Iš abiejų pastarųjų nelygybių pagaliau turime, kad mA=mA,-+-mA,. Išvada. Jei aibės A ir B yra išmatuojamos ir ACB, tai m(B- A)=mB-mA. Įrodymas. Kadangi B= 4+(B- A)ir aibės A, B- A neturi bendrų elemen- tų, tai mB=mA+m (B- A). …
Excerpt
108 Aibių matas Kadangi aibė B= V Aš 1 TM yra išmatuojama, tai, pritaikius 5.1 teoremą, galime rasti tokią elementarinę aibę E, kad m(BAE) n todėl iš (1) ir (2), remiantis 4.1 teorema, turime: m (ANE) m Ar k=l (kai suma yra aprėžta aibė). Nusakyta šioje …
Excerpt
Išmatuojamų aibių savybės 109 Antra vertus, iš 4 ir 2 teoremų turime, kad kiekvienam m n n X m A,=M 2 A, 90 t. y. 0 m 3 A„=lim m A,, Ii kai seka yra monotoniškai didėjanti (ir aibių sekos riba yra aprėžta), i m r ru m A,, k=l L kai ji — mažėjanti. …
Excerpt
Dar apie vidinį ir išorinį matą 111 Įrodymas. Naudodamiesi išorinio mato apibrėžimu, galime rasti baigtinę arba suskaičiuojamą sistemą intervalų (7,) su savybėmis: SP I,, mA> S ml; — > . k k Praplėskime kiekvieną intervalą /;, jei jis nėra atviras, iki …
Excerpt
112 Aibių matas Pažymėję B = pa F. , k turime, kad BcCA. Iš 4.2 teoremos gauname: mAzZmB. Aibės F, kas dvi neturi bendrų taškų, tai, pritaikius 6.4 bei 6.6 teoremas, gauname: mA> S mF> S m Ap -z. k k Kadangi = yra bet koks, tai iš čia išplaukia reikiama …
Excerpt
114 Aibių matas Suskaičiuojamos sistemos atvirų aibių piūvis gali ir nebūti atvira aibė. Aibė vadinama G; tipo aibe, jei ji yra suskaičiuojamos sistemos atvirų aibių piūvis. Visos atviros aibės yra G5 tipo aibės. Visos G; tipo aibės yra išmatuo- jamos. Sį …
Excerpt
— Išmatuojamos ir neišmatuojamos aibės 115 Tačiau, nors visų išmatuojamų aibių sistemos ir visų aibių sistemos yra ekvivalenčios, egzistuoja aibės, neišmatuojamos Lebego prasme. 2 teorema. Egzistuoja neišmatuojamos aibės. Įrodymas. Suskirstykime segmento …
Excerpt
116 Aibių matas Vadinasi, x 0. Kadangi x+ …
Excerpt
Mato problema LL funkcijos 4, kuri būtų nusakyta visoms erdvės R* taškų aibėms ir būtų il- gio, ploto, tūrio apibendrinimas. Kokias sąlygas turėtų tenkinti ta funkcija? Pirma, ji turėtų būti neneigiama, 4 > 0. Antra, ji turėtų būti adityvinė: jei …
Excerpt
118 Aibių matas Lebego matas, nors jis egzistuoja ir ne visoms aibėms, šiandien yra visų bendrai priimtas. 12. Lebego— Styltjeso matas Lebego matą naudinga apibendrinti, atsisakant reikalavimo, kad viene- tinio segmento matas būtų lygus 1 ir kad matas …
Excerpt
120 Aibių matas 1) u4> 0 visoms AeL; 2) jei A,, A;,... yra sistemos L aibių seka ir kas dvi aibės neturi bendrų elementų, tai L > AB L Ar k=1 k=l (pilnasis adityvumas). Šitaip nusakytą aibės funkciją A vadiname matu. Trivialiai įrodoma,kad ir šiuo atveju …
Excerpt
Funkcija, jos rėžiai ir svyravimas 123 vadiname jos reikšmių aibės viršutinį (apatinį) rėžį. Aprėžtos iš viršaus funk- cijos viršutinis rėžis yra baigtinis; jei funkcija nėra aprėžta iš viršaus, tai jos viršutinis rėžis yra oo. Analogiškai, funkcijos …