Excerpt
164 Išmatuojamos iunkcijos 22 brėžinys iliustruoja aibę (x: f(x) …
Excerpt
Išmatuojamų funkcijų sąvoka ir paprasčiausios savybės 165 2 teorema. Kiekviena funkcija, apibrėžta nulinio mato aibėje, yra išma- tuojama. Įrodymas. Kiekvienas tokios aibės poaibis yra išmatuojamas. 3 teorema. Jei funkcija f(x) yra išmatuojama aibėje A, …
Excerpt
166 Išmatuojamos funkcijos 6 teorema. Jei išmatuojamoje aibėje funkcija įgyja tik vieną reikšmę (ku- ri gali būti ir + 00), tai ji yra išmatuojama toje aibėje. Įrodymas. Tarkime, kad f(x)=c aibėje A. Turime: Jei d 6 utosą-|+ Iš čia išplaukia teorema. Iš …
Excerpt
Išmatuojamų funkcijų algebriniai veiksmai 167 4. Kadangi 86, jei a I kai 20) Į Ls …
Excerpt
i Išmatuojamų iunkcijų riba. Paprastosios funkcijos 171 "teisingų pagal 1 lemą, arba betarpiškai iš lygybių (x: lim 7, (x) …
Excerpt
š *" Konvergavimas beveik visur ir pagal matą 173 9. Sakykime, f(x) — bet kokia išmatuojama funkcija. Įveskime dvi funkcijas E | [1 ji f(x)> 0, IBO E 0 0, jei f(x)> 0, m (6) ŠA IS Gr B O Šios funkcijos yra išmatuojamos ir neneigiamos, be. to, J0)=f* 6)-f“ …
Excerpt
I 7442 Išmatuojamos funkcijos Jei f(x) ir g (x) kuriame nors taške turi vienodo ženklo be galo dideles reikš- mes, tai f(x)—g (x) neturi prasmės. Todėl šie taškai, griežtai- kalbant, ne- priklausytų nė vienai iš tų aibių. Patogumo sumetimais susitarsime …
Excerpt
Konvergavimas beveik visur ir pagal matą 175 Aibė As yra, aišku, išmatuojama. Iš lygybės A-A;=A- IE Am Ž (4— A) 7 n=! gauname a m(A-A;) < 3. m(A- A? p). (2) n=l Pastebėsime, kad m (A— A")=0. Iš tikrųjų, jei x;€4— A", t. y. xgĖA", tai X„£4z visiems …
Excerpt
178 Išmatuojamos funkcijos Kadangi seka (/, (x); konverguoja į f(x) pagal matą, tai mūsų nelygybės dešinė pusė konverguoja į 0, kai 17—00. Iš čia gauname, kad mix : |, ()-8 6) |> -)—0, taigi (/, (x)) konverguoja pagal matą į g (x). „ Tarkime dabar, kad …
Excerpt
* Išmatuojamų funkcijų struktūra 181 skirtingų tik vienos iš aibių P, nes jei būtų kelių aibių be galo daug elementų, tai x, būtų visų tų aibių ribinis taškas ir dėl jų uždarumo turėtų visoms joms priklausyti. To būti negali, nes aibės F, kas dvi neturi …
Excerpt
182 Išmatuojamos funkcijos Įvertinsime aibės F matą. Turime: m(A-F)=m(A-B)+m(B-F) 9. m Bai — psi MB — pri š k=l Todėl m(B-F) < = 1T ; e £ Teorema įrodyta, kai mA < oo. 2. Tarkime dabar, kad aibės A matas yra begalinis. Pažymėkime I, seg- mentą, sudarytą …
Excerpt
Išmatuojamų funkcijų struktūra 183 To būti negali, nes aibės F., kas dvi neturi bendrų taškų. Taigi kokia bebūtų seka (x,x|, visi jos taškai su pakankamai dideliais indeksais priklauso vienai "iš tų aibių, sakykime F. Todėl xeF,, taigi xeF. Toliau, mF= Y …
Excerpt
""7T* 184 , Išmatuojamos funkcijos 3 lema. Sakykime, F, ir F, — dvi uždaros aibės erdvėje RS, neturinčios bendrų taškų, a ir b — du realieji skaičiai, …
Excerpt
Išmatuojamų funkcijų struktūra 185 Tęsdami šį procesą neaprėžtai, gausime seką tolydinių erdvėje RS funkci- jų Vo (A), Vi (A), V> (X), ... ir seką tolydinių aibėje F funkcijų g, (> ), 1 (A), 95 (X), | 9n+1 0)=9, (X) —-V, (2). (1) Jei 4,=SUp |9, (7)! > yeF …
Excerpt
Lždaviniai 187 Daugelis išmatuojamų Lebego prasme funkcijų savybių, kurias įrodėme ankstesniuose paragrafuose, buvo pagrįstos tik ta išmatuojamų Lebego prasme aibių savybe, kad visos jos sudaro c-algebrą. Visos tokios teoremos lieka tei- singos ir bendru …
Excerpt
188 Išmatuojamos funkcijos | ciją f (x), o funkcijų seka (g, (x) Į konverguoja pagal matą į funkciją g (2). Įrodykite, kad tada funkcijų sekos (c56)), £(|10)13, (fr O)+22 00 L (frb)zdl x)) konverguoja pagal matą atitinkamai į funkcijas cf (+), | f) |, …
Excerpt
VII skyrius LEBEGO INTEGRALAS 1. Rymano integralas O. Košy pasiūlė klasikinį integralo apibrėžimą ir įrodė jo egzistavimą tolydinėms funkcijoms. B. Rymanas praplėtė šį apibrėžimą ir ištyrė funkci- jų integruojamumo sąlygas. Matematinės analizės kursuose …
Excerpt
190 Lebego integralas Integruojamumo sąlygomis tirti dažnai įvedamos paprastesnės vadina- mosios Darbu! sumos. Jų idėja paprasta. Tiriamą funkciją f (x) aproksimuo- jame laiptuotomis funkcijomis, o jos integralinę sumą — tų laiptuotų funk- cijų …
Excerpt
Rymano integralas 191 Jei vietoj vieno taško pridėtume kelis naujus suskaidymo taškus, tai analogiš- kai įsitikintume, kad ir tada suma s; gali tik padidėti. Analogiškai įrodome, kad S, gali tik sumažėti. 4. Bet kuriems segmento [a, 5] suskaidymams T, ir …
Excerpt
192 ; Lebego integralas 1 teorema. Aprėžia funkcija f (x), apibrėžta segmente [a, bl, yra integruo- jama Rymano prasme tada ir tik tada, kai jos apatinis ir viršutinis Darbu integralai sutampa. Tuo atveju b I=I= | f(4) dx. Įrodymas. Būtinumas. Tarkime, …
Excerpt
"B Rymano integralas 193 2 teorema. Aprėžta funkcija f (x), apibrėžta segmente [a, b], yra integruo- jama Rymano prasme tada ir tik tada, kai suma Ž Ok (Xk — Xk-1); k kur sumuojama pagal visus suskaidymo segmentus [Xp 1, Xyl, 0 o;= M; — Mg yra funkcijos f …