Excerpt
34 Bendroji aibių teorija 2. Suskaičiuojama yra visų lyginių skaičių aibė 124108, 3. Suskaičiuojama ir aibė LDB 1 teorema. Iš kiekvienos begalinės aibės galima išskirti suskaičiuojamą poaibį. Įrodymas. Sakykime, turime begalinę aibę A. Imkime kurį nors …
Excerpt
Suskaičiuojamos aibės 35 Pradžioje imame elementus, kurių abiejų indeksų suma yra 2, po to tuos, kurių indeksų suma yra 3, toliau — suma 4, suma Sir t. t. Iš pasikartojančių elementų imsime tik po vieną elementą. Tuo būdu išsemsime visų aibių visus …
Excerpt
36 2 Bendroji aibių teorija Ji bus suskaičiuojama. Ir t. t. Tuo būdu, sandauga A, x 4, bus suskaičiuoja- mos sistemos suskaičiuojamų aibių suma A,x45= S (lai by), (a5,b;), (as, bp), k=! Remiantis 3 teorema, ji bus suskaičiuojama. Tarkime, kad teorema …
Excerpt
Keontinumo galios aibės o Įrodymas. Sakykime, P, yra aibė n-jo laipsnio polinomų su sveikais koefi- cientais ax a 11... Tax as, a, 0. Aišku, kad ši aibė yra ekvivalenti aibei (S-(0)xSx ... XS, ——— n dauginamųjų kur S yra visų sveikųjų skaičių aibė. …
Excerpt
Kontinumo galios aibės 39 bendras galas, dešinysis pirmojo ir kairysis antrojo. Jis bus taip pat dešinysis galas segmento Ap.j jp „i, y ir kairysis — segmento Aj; aaa AE šinysis Aj, į, go „igyr IT kairysis segmento Ais ja sig pik 00 ir t. t. Šiuo at- vėju …
Excerpt
40 Bendroji aibių teorija jai aibei 4, priskirkime visas trupmenas, kurios baigiasi vien tik skaitmenimis y, išskyrus trupmeną O, yyy -.. Aibė A, yra suskaičiuojama, nes visų skaičių pavidalo mg- aibė yra suskai- čiuojama. Tarp segmento [0, 1] skaičių ir …
Excerpt
Kontinumo galios aibės 2 4] jama. Kadangi aibė 4—B, yra begalinė, tai pagal 2 teoremą A—B, —(A—B,)+ +B,= 4. Iš šios teoremos ir iš 8.1 teoremos turime, kad kiekviena begalinė aibė turi jai ekvivalentų tikrinį poaibį. Baigtinės aibės šios savybės neturi, …
Excerpt
42 Bendroji aibių teorija nepalyginamai daugiau, negu algebrinių skaičių: visi realieji skaičiai, išskyrus suskaičiuojamą aibę, yra transcendentiniai. Nors beveik visi skaičiai yra transcendentiniai, bet įrodymas, kad kuris nors konkretus skaičius yra …
Excerpt
. Kontinumo galios aibės 48 Teorema įrodyta. Iš šios teoremos lengva gauti dar vieną įrodymą, kad visų realiųjų skai- čių aibė turi kontinumo galią. Iš tikrųjų, ši aibė yra suskaičiuojamos siste- mos kontinumo galios aibių suma [0, 1)+[-1, 0)+[1, 2)+[-2, …
Excerpt
44 Bendroji aibių teorija Pagal apibrėžimą sandauga A,x A;x A5;x ... yra sudaryta iš sekų (a,, a;, as, ...), kur a;, a5, a5, ... nepriklausomai vienas nuo kito perbėga atitinka- mų aibių A,, A;, A5, ... elementus. Sekos fa;,, a;, a;, ...V elementą a, pa- …
Excerpt
Kardinaliniai skaičiai . 45 9 teorema. Kontinumo galios aibių Aj, As, A5, , X3, ...) galime priskirti sveikų teigiamų skaičių seką m (X), m (X5), ma (X), mp (X5), mp (X> ), m5 (x1), m (Aa), m5 (X5), Mm5 (xa), Mi (Aa), --- Čia pradžioje imame narius, kurių …
Excerpt
46 Bendroji aibių teorija 2) « a, jei A nėra ekvivalenti B, bet yra ekvivalenti kuriam nors aibės B poaibiui. Lyginant dvi aibes A ir B pagal jų bei jų poaibių ekvivalentumą formaliai yra galimi šitokie atvejai. 1. Aibės A ir B yra ekvivalenčios. 2. Aibė …
Excerpt
Uždaviniai 147 lų sistemai (a,, 6) (k=1, ..., 1), kurių ilgių suma yra mažesnė už 8, būtų pa- tenkinta nelygybė > V(b)-f(0)| < L k=l Suskaidykime segmentą [a, b] taškais GD į dalis taip, kad c;—c; …
Excerpt
Uždaviniai 149 28. Jei funkcija tenkina « eilės Lipšico sąlygą, tai ji tenkina ir 8 eilės Lipšico są- lygą; čia O0 …
Excerpt
Kreivės sąvoka. Žordano kreivės 151 13 brėž. 14 brėž. Žordanas įrodė, kad uždara Žordano kreivė be kartotinių taškų dalija plokštumą į dvi dalis. Du taškus, priklausančius vienai daliai galima sujungti laužte, neperkertančia kreivės, o skirtingų dalių …
Excerpt
152 Kreivės Kadangi šią eilutę mažoruoja neaprėžtai mažėjanti progresija = 1 "2 2.4k > k=0 tai eilutė konverguoja tolygiai, jos suma f (x) yra tolydinė funkcija. Jos apytikrį vaizdą galima susidaryti iš 16 brėžinio, kur nubrėžti grafikai funkcijų . …
Excerpt
Kreivės sąvoka. Žordano kreivės 153 Jei k> n, tai < 4kx, > = < 46 > , nes 4—7-1 yra periodo 4-* kartotinis. Panagri- nėsime atvejį k yra tiesės atkarpa segmente /, ir jos kam- pinis koeficientas yra lygus + 1. Tokia ji yra ir segmente I„ 00, šis reiškinys …
Excerpt
154 Kreivės kraštinės ilgis 2—". Tuo būdu, didėjant rango numeriui, segmentų ir kvadratų kraštinės neaprėžtai mažėja. Kiekvienam n-jo rango segmentui priskirkime n-jo rango kvadratą su tuo pačiu numeriu. Remiantis šia atitinkamybe, galime kiekvienam …
Excerpt
156 Kreivės riboje vadinamąjį Sierpinskio „kilimą“. Ši aibė yra Kantoro linija. Iš tikrų- jų, Sierpinskio „kilimas“ yra monotoniškai mažėjančios kontinumų sekos piūvis, todėl pagal II sk. 13.7 teoremą jis yra kontinumas. Antra vertus, ši aibė neturi …
Excerpt
Kantoro ir Urisono kreivės 157 Abipus vienareikšmis ir abipus tolydinis aibės A atvaizdavimas į aibę Y yra vadinamas topologišku, jei atvirkštinis atvaizdavimas f“! yra tolydinis. Dvi aibės vadinamos Komeomorfinėmis, jei vieną iš jų galima topologiškai …
Excerpt
Ištiesinamos kreivės 159 S. Todėl laužčių ilgis LZ negalėtų konverguoti į S. Vadinasi, visoms įbrėžtoms laužtėms L 0) egzistuoja tokia laužtė, jog jos ilgis yra didesnis už S— 0 egzistuoja toks segmento [a,b] suskaidymas taškais al 10 0 02 (2) kad tą …
Excerpt
160 Kreivės 2 teorema. (1) kreivė yra ištiesinama tada ir tik tada, kai funkcijos x (t) ir y(t) turi baigtine variaciją segmente [a, bl. Įrodymas. Jei (1) kreivė yra ištiesinama, tai kiekvieną suskaidymą Hilis S atitinkančios laužtės ilgis L- 3 V(xtd-x …
Excerpt
Uždaviniai 161 dara aibė erdvėje RK. Įrodykite taip pat, kad kiekvienos atviros aibės G < R! pirmavaiz- dis f! (G) yra atvira aibė erdvėje R“. 4. Sakykime, turime erdvės R“ atvaizdavimą į plokštumą R*. Jei visų atvirų skritulių pirmavaizdžiai yra atviros …
Excerpt
VI skyrius IŠMATUOJAMOS FUNKCIJOS 1. Netiesioginiai skaičiai Klasikinėje matematinėje analizėje funkcijų reikšmės paprastai būna tik baigtiniai skaičiai. Dabar teks nagrinėti klasę funkcijų, kurios galės įgy- ti ir be galo dideles reikšmes: + co (žymėsime …
Excerpt
Išmatuojamų funkcijų sąvoka ir paprasčiausios savybės 163 0 p Ša a kad simboliai o0— 00, (—0)-(—- 0), 04+(-0), —0+00, Ža io - t g. Neturi prasmės. 2. Išmatuojamų funkcijų sąvoka ir paprasčiausios savybės Klasikinėje matematinėje analizėje paprastai …