Excerpt
124 ; Funkcijos ir M,> zM,.> z M, > Abi šios sekos turės baigtines arba begalines ribas 2 ir M. Parodysime, kad ribos nepriklauso nuo (1) sekos parinkimo. Sakykime, turime dar vieną seg- mentų seką Iž > Iž > Iž > ..., susitraukiančią į tašką x;. Imkime, …
Excerpt
126 Funkcijos Jei tolydumą Košy, Heinės ir Bero prasmėmis žymėsime atitinkamai C, H, B, tai mūsų teorema seks iš įrodytų teiginių ir schemos C—-H R K B Remdamiesi šia teorema, galime kalbėti tiesiog apie funkcijos f(x) toly- dumą taške x,, apibrėžiant jį …
Excerpt
128 Funkcijos f(x) yra tolydinė taške x;, todėl seka f 7 (x); konverguos į f (x,). Antra ver- tus, iš (1) turime, kad f (*,)> a > todėl f(x,)=a. Viršutinio rėžio atveju teorema įrodoma analogiškai. Teoremos sąlygos, kad aibė F'yra uždara ir aprėžta, yra …
Excerpt
Tolygus tolydumas 129 4. Tolygus tolydumas Jei funkcija / (x) yra apibrėžta ir tolydinė aibėje A, tai pagal apibrėžimą kiekvienam 0 ir kiekvienam x 0, kad visiems yeA, kurių atstumas nuo x mažesnis už O, teisinga nelygybė 70) - 7 6) | 0, kad visiems x€4 …
Excerpt
Trūkio kraštai 131 pinami: f (—0), f (--0). Jei į kairę nuo x, nėra aibės A taškų, tai laikoma, kad vis tiek funkcijos 7 (x) riba taške x, iš kairės f (x4—0) egzistuoja ir lygi J (Xo)- Analogiškai, jei į dešinę nuo x, nėra aibės A taškų, tai laikome, kad …
Excerpt
132 Funkcijos Trūkio taškai, kurie nėra pirmosios rūšies trūkio taškai, vadinami antro- sios rūšies trūkio taškais. Si terminologija nėra visų priimta. Kai kurie auto- riai prie antrosios rūšies trūkio taškų priskiria ir tuos pirmosios rūšies trūkio …
Excerpt
1 Monotoniškos funkcijos 133 y Y X 0 X 1 28 a 11 brėž. 12 brėž. 5. Dirichlė funkcija 1ž jei x racionalinis, T0)= Pa MO 0, jei x iracionalinis, kiekviename taške turi antrosios rūšies trūkio tašką. 6. Rymano funkcija f (x)= O, kai x yra iracionalinis …
Excerpt
4 Monotoniškos funkcijos 135 Įrodymas. Imkime skaičius y, 74, ---, V,„ nusakytus šitaip: Vo- 3, Ar 0. Tada iš lemos nelygybės gauname, kad . ns „ Tada E=E + E,+E, as i Pagal lemos išvadą kiekviena iš aibių E, yra baigtinė, todėl E yra arba baigtinė, arba …
Excerpt
136 Funkcijos Čia 4 s)= X U4+0)—/(4—0)1+7(x)-/ (x—0), Xk …
Excerpt
138 L Funkcijos T) -f(0)| < Va/ 6) | c; čia c — teigiama konstanta. Įrodymas. 1. Kadangi D, 6) + (1-1) + 8 (41) 1 < k=l < X. V) —-f 04) + X Ig) ga) I < VE/+Vėg, k=l k=l tai Vė(f+8) < VEf1Vėg. 2. Analogiškai įrodome, kad Va(/—g) < Vš/+ Vl g. 3. Remiantis 2 …
Excerpt
Baigtinės variacijos Iunkcijos 139 4. Kaip ir 3 atveju, turime: | D eZ 2 LC) 8 (sea) a) 8 (| < Si = S UE) SEO k=l! + Uk) 8-1) — 0-1) 8 5) 11 S Ž3 | (ek) 7 (Xk-1) ži Ig (x) -g (Xx-1)| < k=l < ŽV+Ž VB JE vi E 2 4 teorema. Jei funkcija f (x) apibrėžta …
Excerpt
140 Funkcijos Imkime dabar bet kokį segmento [a, 6] suskaidymą taškais a=Yy …
Excerpt
Baigtinės variacijos iunkcijos 141 Iš pilnos variacijos apibrėžimo turime, kad If0)-— 0) < VžV, todėl u(y)—u (X) =0. Teorema įrodyta. Išvada. Baigtinės variacijos funkcija turi tik baigtinę arba suskaičiuojamą aibę trūkio taškų, kurie visi yra pirmosios …
Excerpt
Baigtinės variacijos iunkcijos 143 v()=5, 6) FA, O), u (X)=5, (X) +, 0); čia A, (x) ir A, (x) yra nemažėjančios tolydinės funkcijos. Todėl J0O)= |š; 6), (x) E [A, (x) -h, (2). Pastebėję, kad 5 ()—s, )=s (X), tuo pačiu įrodome teoremą. Viena iš …
Excerpt
144 Funkcijos 8. Absoliučiai tolydinės iunkcijos Integralo teorijoje prireiks dar vienos funkcijų klasės — absoliučiai toly- dinių funkcijų. Sakysime, kad funkcija f(x), apibrėžta segmente [a, b], yra absoliučiai tolydinė tame segmente, jei kiekvienam < > …
Excerpt
Atsoliučiai tolydinės funkcijos 145 Kadangi pirmosios nelygybės kairė pusė lygi “o UV6)-/a)), (aps b,)eK; o antrosios > UbI-/(0I, (aj, bp)EKS tai > . 6-0 +57—> - k=! Vietoj funkcijos absoliutinių pokyčių, apibrėždami jos absoliutinį tolydu- mą, galime …
Excerpt
146 Funkcijos 3 teorema. Jei f(x) ir g (X) yra absoliučiai tolydinės segmente [a, b], tai absoliučiai tolydinės yra ir funkcijos f(x)+ £ (0), f0)—-g 6), J (X) g (A). Jei £(x)*0, tai ir 19 yra absoliučiai tolydinė. Įrodymas. Sumos ir skirtumo absoliutus …
Excerpt
Rymano ir Lebego integravimo būdai 197 yra apibrėžiamas tik funkcijoms, apibrėžtoms intervale. Tuo tarpu naudinga turėti integralo sąvoką funkcijoms, nusakytoms platesnėje aibių klasėje. Tai tik keletas priežasčių, kurios vertė ieškoti būdų integralo …
Excerpt
198 Lebego integralas TL ASS 23 brėž. tai sumos s ir S konverguoja į Lebego integralą (2). Taigi išmatuojamos aprėž- tos funkcijos yra integruojamos Lebego prasme. Gana paprastai Lebego inte- gralo apibrėžimas praplečiamas neaprėžtoms funkcijoms ir …
Excerpt
Paprastųjų funkcijų Lebego integralas 199 dami išmatuojamas funkcijas ir jų integralus — paprastųjų funkcijų integra- lais. Iš esmės tai bus tas pats integravimo procesas, kaip ir anksčiau išdėsty- tieji. 3. Paprastųjų funkcijų Lebego integralas …
Excerpt
200 Lebego integralas Ateičiai mums bus reikalingos kelios neneigiamų paprastųjų funkcijų in- tegralų savybės. Jas nusako 1—4 teoremos. 1 teorema. Jei c> 0 — baigtinė konstanta, o A — išmatuojama aibė, tai [ cdx=cmA. 4 Įrodymas tiesiogiai išplaukia iš …
Excerpt
Paprastųjų funkcijų Lebego integralas > 901 "ir, analogiškai, P mB,= M m A, B; š k=l tai [fo d+ Ja a AS gimBj= A k=l 2 l r r PD Ji > ) mA, B+) gi 3 m A, B= 1 (| I=1 k=l! E k = || D5 (/x+- 81) m A, B, = | (/6)+8 6) ) dx 12 A > || 1 išvada. Jei f(x) ir g …
Excerpt
202 Lebego integralas Įrodymas. Pažymėkime: E jei xEA,, jei XEA;, f(x)= [ 0, el EA; AB) f(x), jei XeA3. Funkcijos 7; (x) ir f; (x) yra neneigiamos paprastosios funkcijos, jų suma Ji 60-75 6)=/ G). Remiantis 3 teorema, [ro4x= | AOA4+| Aax. A S a Funkcija …
Excerpt
Bendras Lebego integralo apibrėžimas 203 funkcijų seka /, (x) (2=1, 2, ...), konverguojanti į f (x). Pagal 3.3 teoremos 1 išvadą | Allde < | Al)ax < | …