Excerpt
204 Lebego integralas Todėl, remiantis III sk. 6.8 teorema bei jos apibendrinimais, gauname: mA,-> mA, (5) kai n-> 00. Naudojantis (4) ir 3.1, 3,4 teoremomis bei 3.3 teoremos 2 išvada, gaunama: [Aod> [stdd=|- sla)ds-=m4,> A A A-A, Z | g(x)dx= Hm(A-— A, …
Excerpt
" Bendras Lebego integralo apibrėžimas 205 Todėl pagal pirmąją įrodymo dalį lim 1 f(x) dx > | g (x) dx. (7) A* "Aibėje 4— A* funkcija g (x)=0, vadinasi, [ e (x)dx=0. A-A* Iš (6), (7) ir pastarosios lygybės gauname (3). Lema pilnai įrodyta. Grįžkime prie …
Excerpt
Paprasčiausios integralo savybės 207 tai natūralu funkcijos / (x) integralu pavadinti integralų skirtumą [f c)dx- | £ G)dx, (8) A A o jei tik jis turi prasmę. O jis neturi prasmės tik vienu atveju, kai abu integralai yra begaliniai. Todėl funkcijos / (x) …
Excerpt
210 Lebego integralas Jei, pagaliau, c yra bet kuri neigiama konstanta, tai [ efoddx= - [ (-)f6)dx= (0) | F)dx= A A A =c | f(k)dx. Teorema įrodyta. 7 teorema (Cebyševo! nelygybė). Jei neneigiama funkcija f(x) yra in- tegruojama aibėje A, tai kiekvienai …
Excerpt
212 Lebego integralas - 9 teoremoje teigiama, kad kiekviena integruojama funkcija yra beveik visur baigtinė. Vadinasi, prireikus galime integruojamas funkcijas, įgyjančias begalines reikšmes, pakeisti baigtinėmis, nepakeisdami atitinkamų integralų. …
Excerpt
Paprasčiausios integralo savybės 213 Kadangi f; (x), f (6) ir —A(0) yra aibėje 4; neneigiamos funkcijos, tai pagal 4.1 teoremą | Addx= | fo) dr+ | (-A (3) dx. 4, 45 4; Remiantis 6 teorema, iš čia | fo)dx= | A) dx+ | A) dx. 4, 4, A, 12 teorema. Jei f (x) …
Excerpt
214 Lebego integralas Sakykime E — bet kuris išmatuojamas aibės A poaibis, kurio matas E mE …
Excerpt
216 Lebego integralas Antrasis integralas pagal 5.12 teoremos išvadą ir (3) …
Excerpt
Perėjimas prie ribos po integralo ženklu 217 konverguojančią į /, (2). Paprastųjų funkcijų Sn (x) == AS 2 (x) seka yra taip pat nemažėjanti, be to, IN (x) < Sn (x) 00, gauname as gn …
Excerpt
E » Ė Pilnasis adityvumas - 219 2 teorema. Jei aibė A yra suskaičiuojamos sistemos išmatuojamų aibių A, suma: ir aibės A, kas dvi neturi bendrų elementų, tai kiekvienai neneigiamai išma- tuojamai aibėje A funkcijai f(x) 2 [fd k=! Ap Įrodymas. Pažymėkime E …
Excerpt
1f Funkcija f(x) yra integruojama kiekviename intervale 5 š | jos integralas ESS 2n—1 f f(x)dx= —(2n+ |) (-577)+ 2n;1 220 Lebego i . 1 + Ei S Kadangi ao 2n-l 00 s [vole=X [| VOld=Y Ž=o, 0 nt 21 n=l 2n+1 tai funkcija f(x) nėra integruojama intervale (0, …
Excerpt
Lebego ir Rymano integralų palyginimas 291 Jei funkcija f(x) yra integruojama kiekvienoje iš aibių A, ir eilutė S [ Uf6)|dx k=l Ap konverguoja, tai f(x) yra integruojama aibėje A ir ! flas Y | r) ax. k =1 Ar Įrodymas. Pagal 2 teoremą | | dx S fule A k=l …
Excerpt
Lebego integralo geometrinė prasmė 293 9. Lebego integralo geometrinė prasmė Tarkime, kad 4 yra bet kuri aibė erdvėje RS, f(x)=f (4, < . mMs+1 O (Ip, c)=c 52 m,I;=c m, A. k …
Excerpt
224 Lebego integralas Specialiu atveju, kai A yra atvira aibė erdvėje RS, tai O (A, c) yra iš- matuojama ir jos matas m,+10 (A, c)=cm,A. 3. Tarkime, kad A yra aprėžta uždara aibė erdvėje R“. Galima rasti at- virą erdvės RS intervalą I, padengiantį aibę A. …
Excerpt
Fubinio teorema 225 Teorema. Jei A yra išmatuojama aibė erdvėje RS, f(x) — neneigiama iš- matuojama funkcija aibėje A, tai O(A, f) yra išmatuojama erdvėje RS*! aibė ir ms41 O(A.f)= [/ods Įrodymas. Tarkime, kad f(x) paprastoji funkcija ir jos reikšmės yra …
Excerpt
228 Lebego integralas Pagal įrodymo 2 ir 3 dalis aibės F, (x) ir G, (x) yra išmatuojamos, o funkci- jos m, „F,(x), m, „G,(x) išmatuojamos erdvėje R! ir m,F,= | žm I2 Gojidia m.G,= [ m; į G, (x) dx. (2) R Ri į Iš čia ir iš (1) | (ma G.6)—m, E.(x) ) …
Excerpt
230 į Lebego integralas beveik visiems (x;...., x, )€A (x). Kadangi 0,(x, x> , --., x) yra tolydinės kintamųjų x> , ..., x, funkcijos, tai pagal VI sk. 5.1 teoremą f(x, X, ..., X.) yra išmatuojama kintamųjų x> , ..., x, funkcija, kai xeC ir A (x) S. Lema …
Excerpt
Fubinio teorema 231 ku Ora: 2 a) kuniEmish (Oe a EAG) 0 KTS AG 2650) Todėl pagal 9 paragrafo teoremą visiems x , ..., x, funkcijos aibėje A(x), arba A(x)= 182 DE. (05 A (a > lied B da A | (f J Ada dx, ) dx,, RU A(x) Užtai d s A = | (| Aki nl las dės | Ha …
Excerpt
232 Lebego integralas arba f(xą, --- Xx Xki > > XS) Yra integruojama kintamųjų Xz+4 …
Excerpt
“ Fubinio teorema 233 9. Apibrėšime funkciją f(x, y) kvadrate ((x, y) :0 2, yra išmatuojama aibėje Ac RS ir egzis- tuoja integralas …