Excerpt
PRATARMĖ Ši knyga yra išdava realaus kintamojo funkcijų teorijos paskaitų, ku- rias autorius jau 19 metų skaito Vilniaus universiteto studentams matema- tikams. Aukštajai mokyklai skirto matematikos vadovėlio autoriui visada iškyla nelengva problema — …
Excerpt
6 š Pratarmė mos numerį. Cituojant kito skyriaus teoremas, taip pat vartojama dviguba numeracija ir dar nurodomas skyrius. Vadovėlio gale pridėtas nemažas literatūros sąrašas, į kurį įtraukti auto- riaus panaudoti veikalai bei tos knygos, kurios gali būti …
Excerpt
8 Įvadas Prieštaravimai būna tada, kai be galo dideliems dydžiams norime praplės- ti dėsnius, kurie tinka baigtiniams dydžiams. Jei, pavyzdžiui, a, b, c yra baig- tiniai skaičiai ir 20, tai iš lygybės ab=ac išplaukia lygybė b=c. Tuo tarpu, pritaikę šią …
Excerpt
Įvadas Š AŽ = V ES a yra elipsės ekscentricitetas, Niutono! ir Leibnico?, sukūrusių diferencialinį ir integralinį skaičiavimą, ir daugelio XVIII šimtmečio matematikų darbams būdinga, kad pagrindi- nės šių skaičiavimų sąvokos nebuvo išaiškintos ir …
Excerpt
Įvadas 11 Visa tai buvo realaus kintamojo funkcijų teorijos sukūrimo pagrindu. Klasikinė analizė operuoja, aplamai, su funkcijomis, kurios turi palyginti geras savybes — tolydinės, diferencijuojamos ir pan. Realaus kintamojo funkcijų teorija tiria žymiai …
Excerpt
I skyrius BENDROJI AIBIŲ TEORIJA 1. Aibės sąvoka Matematikoje ir kasdieniniame gyvenime tenka susidurti tiek su atski- rais objektais (medis, žmogus, gyvulys, knyga, skaičius, taškas, funkcija), „tiek su jų rinkiniais arba aibėmis (miškas — medžių aibė, …
Excerpt
Aibės sąvoka 13 Turėdami bet kurią aibę, galime klausti, ar ji gali būti savo pačios ele- mentu, ar ne. Daugeliu atvejų nėra abejonių, kad aibės negali būti savo pa- čių elementais. Sakykime, visų valstybių sostinių aibė nėra sostinė ir todėl negali būti …
Excerpt
14 Bendroji aibiu teorija Šis užrašas skaitomas: „e yra (aibės) A elementas“, „e priklauso 4“, „A pa- dengia e“, ,„A apima e“, „e telpa A“. Užrašai etA, Aže, eEA, A3e reiškia, kad e nėra A elementas, arba, kitais žodžiais tariant, kad e nepriklau- so A. …
Excerpt
Poaibiai ir viršaibiai 15 n — sveikas teigiamas skaičius. Kai 1=1, 2, 4, 6, 10, 14, 16, gauname pir- minius skaičius. Tačiau iki šiol negalima pasakyti, ar tokių pirminių skai- čių yra be galo daug, ar tik baigtinis skaičius. Nebūtinai: aibė turi būti …
Excerpt
16 Bendroji aibių teorija Nesunku suskaičiuoti, kiek skirtingų poaibių turi baigtinė aibė, suda- ryta iš 1 elementų. Tai, pirmiausia, bus tuščia aibė, 1 (8) „ toliau, D ( 1) aibių po vieną elementą, (> ) aibių po du elementus, ( 3) aibių po tris elementus …
Excerpt
Aibių veiksmai 17 i () J /, A d A Aibių sistemos suma, arba junginiu, vadiname aibę, sudarytą iš visų ele- mentų, priklausančių bent vienai sistemos aibei. 7 aibių Alt Ansa A, SUS ma žymima vienu iš šių būdų: i A,+A,+ | +4,, A, U A3U "E VAS 5 Ap, U) Ax. …
Excerpt
18 Bendroji aibių teorija Gali pasitaikyti, kad sistema A yra tuščia. Tada ir 2, 4. aeA taip pat bus tuščia. Pavyzdžiai. 1. Visų trikampių aibė yra visų smailiųjų, visų bukųjų, visų lygiašonių ir visų stačiųjų trikampių aibių suma. 2. Jei A„(n=1,2,3, ...) …
Excerpt
20 Žž Bendroji aibių teorija Kai reikia atlikti su aibėmis keletą įvairių veiksmų, tai susitarsime tuos veiksmus atlikti ta pačia tvarka, kaip ir analogiškus veiksmus su skaičiais. Lygiai tą pačią reikšmę turės ir skliaustai. 3. Aibių sumai ir piūviui …
Excerpt
22 Bendroji aibių teorija Šios lygybės gaunamos viena iš kitos, pakeitus sumą piūviu, o piūvį — suma. Abiejų šių lygybių įrodymas yra visiškai panašus. Todėl įrodysime tik pirmąją lygybę, palikdami antrąją įrodyti pačiam skaitytojui. Pažymėkime P=-A-Y B, …
Excerpt
Aibių veiksmai Oo žymima Ax B. Dažnai taip apibrėžta aibių sandauga vadinama Dekarto! arba kombinatorine sandauga. Pavyzdžiai. 1. Jei A=ia, b, cl, B= (c, d), tai Ax B= ((a, 0, (a, d), (b, c), (b, d), (c, e). (c, d)). Jei A turi 21 elementų, 0 B — 7 …
Excerpt
26 Bendroji aibių teorija 5. Imkime visas aibes, sudarytas iš baigtinio skaičiaus baigtinių intervalų tiesėje, už- darų iš kairės, atvirų iš dešinės, t.y. aibes pavidalo ž [ap, bp) . k=i Visų tokių aibių sistema yra žiedas. Aibė V yra vadinama sistemos S …
Excerpt
Aibių sistemos T yra žiedas. Pačmę bet kurį žiedą R*, kuriam priklauso S, turime, kad piūvis R*TeU, taigi Se POR*EGIR?: Vadinasi, P ir yra ieškomas žiedas R (S). Jo vienatinumas tiesiogiai išplaukia iš teoremos sąlygų, nes jei turėtume du tokius žiedus R; …
Excerpt
28 Bendroji aibių teorija Aibių žiedas R yra vadinamas 6-žiedu, jei jis yra uždaras aibių sekų sumos atžvilgiu, t. y. jei A,eR (k=1, 2, ...), tai ir Ms Ars R. . k=l Anksčiau nurodytų 1, 2, 3 pavyzdžių žiedai yra ir c-žiedai. Žiedas, suda- rytas iš …
Excerpt
Aibių atvaizdavimas 99 Tarkime, kad tarp kurios nors aibės elementų įvesta atitinkamybė a —b, be to, kiekvienam elementų dvejetui a, b arba ab, arba ab (a ne —b). Sakykime, toji atitinkamybė bet kuriems aibės elementams a, b, c tenkina sąlygas: 1) a=a …
Excerpt
22 Bendroji aibių teorija Antrąjį būdą galime pritaikyti ir begalinėms aibėms palyginti. Pirmasis būdas čia netinka. Tuo tikslu įvesime tokį apibrėžimą. Dvi aibes vadinsime ekvivalenčiomis, arba vienodos galios, jei tarp jų galima nustatyti abipus …
Excerpt
Suskaičiuojamos aibės 33 Įrodymas. Iš aibių 4, ir B, ekvivalentumo išplaukia, jog tarp jų egzis- tuoja abipus vienareikšmė atitinkamybė Ę,. Reikia parodyti, kad tarp sumų šu 2 Ar ir S,= ) B, k=l k= galima nustatyti abipus vienareikšmę atitinkamybę. Ją …