Excerpt
VU BIBLIOTEKA 003 078 22303 6 …
Excerpt
Kardinaliniai skaičiai 47 Pastaba. Su kardinalinių skaičių pagalba tą teoremą galima ir šitaip su- formuluoti: jei «4, «> , 45 — kardinaliniai skaičiai it 6441 245 Z045, 4, =05, tai - ro dymas. Sakykime, ; — abipus vienareikšmė atitinkamybė tarp aibių A, …
Excerpt
48 Bendroji aibių teorija Abiejų lygybių dešinėse pusėse pirmuosiuose laužtiniuose skliaustuose yra ta pati aibė, o antruosiuose laužtiniuose skliaustuose atitinkamos aibės yra ekvivalenčios pagal (1). Pagal 7.2 teoremą A, = A,. 2 teorema (E. Šrioderio — …
Excerpt
Kardinaliniai skaičiai 49 1. Aibėje Y galima rasti du skirtingus elementus. Sakykime, tai bus 5; ir b,. Priskirsime kiekvienam aibės X elementui a atvaizdavimą bio El -— 68 9a (X) = b, kitiems xeX. " Skirtingus aibės X elementus atitiks skirtingi …
Excerpt
52 Bendroji aibių teorija Tuo būdu, visų tolydinių funkcijų aibė yra ekvivalenti visų realiųjų skai- čių sekų poaibiui. Tačiau visų realiųjų skaičių sekų aibė turi kontinumo ga- lią (9.9 teoremos išvada). Todėl visų tolydinių funkcijų aibės galia yra ne …
Excerpt
Uždaviniai | L 53 7. Sakykime, visos tiriamos aibės yra kokios nors aibės*E poaibiai. Kiekvienai aibei ACE įvesime funkciją x4 (x), apibrėžtą visiems aibėsįZ elementams: lz 0, ja xĖA, jei -X EA, XA | ir vadinamą aibės A charakteringąaja funkcija, arba …
Excerpt
54 Bendroji aibių teorija cn=c+4+...+2, — n kartų a A... ——— n kartu cB+Y= «B Af S ( < BY = BY, aBT= (d8)r . 23. Jei x ir B < 8, — kardinaliniai skaičiai, tai a+ B= a+ B15 «B < 81, cB < aB: 2 …
Excerpt
II skyrius TASKŲ AIBĖS 1. Tiesės taškai ir realieji skaičiai Jau pirmame skyriuje teko susidurti su aibėmis, kurių elementai buvo taškai. Tai buvo tiesės taškų aibės, plokštumos taškų aibės ir t. t. Dabar smulkiau išnagrinėsime tokių aibių savybes. Aibių …
Excerpt
56 Taškų aibės Kiekviena baigtinė aibė yra aprėžta. Neaprėžta aibė būtinai yra begali- nė, nes jei ji būtų baigtinė, tai segmentas, kurio kairysis galas yra tos aibės mažiausias elementas, o dešinysis galas — didžiausias, padengtų aibę. Ta- čiau ir …
Excerpt
Aplinka. Tiesės taškų klasiiikavimas aibės atžvilgiu 57 Neaprėžtos iš viršaus aibės 4 viršutiniu rėžiu sup A laikoma oo. Jei aibė 4 yra aprėžta, tai [inf A, sup A] yra mažiausias segmentas, pa- dengiantis aibę A. Jei aibė 4 yra aibės B poaibis, tai, …
Excerpt
bo Taškų aibės š „Pavyzdžiai. 1. Kiekviena baigtinė aibė A yra sudaryta vien tik iš izoliuotų taškų. Ribinių ir vidinių taškų ji neturi. Visi jos taškai yra kraštiniai taškai ir sąlyčio taškai, visi kiti tiesės taškai— jos išoriniai taškai. A'= 3, A=A. 2 …
Excerpt
Izoliuoti ir ribiniai taškai 59 Jei taškas x yra aibės A ribinis taškas, tai kiekvienoje jo aplinkoje yra be galo daug aibės A taškų. Sakykime, yra atvirkščiai: kurioje nors taško x aplinkoje yra tik baigtinis aibės A taškų skaičius: tegul tie taškai …
Excerpt
Uždarinys ir išvestinė į 61 kurie priklauso aibei 4. Be to, gali būti ir tokių sutirštinimo taškų, kurie ai- bei A nepriklauso. 4 teorema. Kiekvienos aibės taškų, kurie nėra jos sutirštinimo taškai, aibė yra baigtinė arba suskaičiuojama. Įrodymas. …
Excerpt
62 Taškų aibės Vadinasi, žeA;. Jei tarp sekos elementų tik baigtinis skaičius priklauso 4,, tai, atmetę juos, gauname aibės A, elementų seką, konverguojančią į £; šiuo atveju £€45. Tuo būdu, visada £€4;+ 45. Iš čia: (A,4+ 45) < A; +45. Iš šio ir iš (1) …
Excerpt
Uždaros aibės ž 63 ribinis taškas, tai jo aplinkoje (1—s,, 1+€;) ir intervale (£—e, £+- …
Excerpt
64 Taškų aibės A taškas ir bent vienas taškas, kuris nepriklauso A. Vadinasi, * yra aibės A kraštinis taškas. 5 teorema. Baigtinio skaičiaus uždarų aibių suma yra uždara. Įrodymas. Sakykime, F,, F;, ..., F, yra uždaros aibės, t. y. Fic F,, EC I 25 BS E …
Excerpt
Atviros aibės 65 7. Atviros aibės Jei aibė sutampa su savo vidumi, tai ji vadinama atvira. Kitaip tariant, aibė yra atvira, kai visi jos taškai yra vidiniai. Kiekvienas atviras intervalas (a, b) yra atvira aibė. Visų realiųjų skaičių aibė yra atvira. …
Excerpt
66 Taškų aibės 8. Atvirų ir uždarų aibių skirtumas. Atskiriamumo savybė 1 teorema. Atviros aibės papildinys yra uždara aibė. Įrodymas. Sakykime, G yra atvira aibė. Reikia įrodyti, kad visi aibės CG ribiniai taškai priklauso jai pačiai. Sakykime, Žž yra …
Excerpt
Atvirų ir uždarų aibių struktūra 67 Sakykime, abi aibės F, ir F, nėra tuščios. Imkime bet kurį aibės F, tašką x. Tas taškas negali būti aibės F, ribinis taškas, nes tada jis turėtų priklausyti F, (ji yra uždara), o aibės F, ir F, bendrų taškų neturi. …
Excerpt
68 Taškų aibės Tarp tų intervalų gali būti ir intervalai (— 00, 00), (— oo, a), (a, oo). Tuščiai aibei ši teorema taip pat tinka, nes tuščia suma laikoma tuščia aibe. Įrodymas. Sąlygos pakankamumas išplaukia iš 7:1 teoremos. Įrodysime jos būtinumą. …
Excerpt
Tobulos aibės : 69 4 teorema. Kuris nors taškas yra uždaros aibės izoliuotas taškas tada ir tik tada, kai jis yra dviejų tos aibės papildomų jų intervalų bendras galinis taškas. Įrodymas. Jei x yra aibės F dviejų papildomų intervalų bendras galinis …
Excerpt
. Tobulos aibės TAB : arba trumpiau = as d a (1) čia a, (n=1, 2, ...)'yra vienas iš skaičių 0, 1, 2. Jei skaičius +=m 3-k (k> 1, 0 …
Excerpt
72 Taškų aibės Vadinasi, Kantoro aibėje P, be atmestųjų intervalų galų (jų yra tik suskai- čiuojama aibė) yra ir kitokių taškų. Tai bus taškai Ua čia a,=0 arba 2 ir trupmenos neturi periodo vien tik iš nulių arba vien tik iš dvejetų (tokios periodinės …
