Excerpt
APM 1 išvada. Realiosios kvadratinės formos normalioji išraiška nustatoma viena- reikšmiškai. Įrodymas. Teiginys teisingas, kai kvadratinė forma yra nulinė. r-ojo ran- go (r> 1) realiosios kvadratinės formos f(x;, ..., X„) normalioji išraiška yra suma r …
Excerpt
$ 59. Teigiamai apibrėžtos kvadratinės formos Aptarsime realiąsias kvadratinės formas, kurių įgyjamos reikšmės yra ne- neigiamieji skaičiai. Realioji kvadratinė forma f(xį, , Xs) = x; +2x54+3x3 yra teigiamai apibrėžta, nes f(c;, C> , C5) > 0, kai X1=C4, …
Excerpt
Pastaroji kvadratinė forma, kaip 2 kvadratų suma, yra teigiamai apibrėžta. Remiantis 1 teorema, teigiamai apibrėžta ir kvadratinė forma f(x4, --., X,). Dabar tarkime, kad realiosios kvadratinės formos f(x4, ..., x„) teigiamasis indeksas p(f) mažesnis už …
Excerpt
Vieno kintamojo realioji kvadratinė forma f(x,)=a,,x; yra teigiamai api- brėžta tada ir tik tada, kai yra teigiamas jos vienintelis pagrindinis minoras M,=a,, todėl tai formai tinka teoremos teiginys. Tarę, kad teiginys teisingas visoms 7 — 1 kintamojo (1 …
Excerpt
Tada tiesinis kintamųjų keitinys n-1 Sa a ina 4 (12) X. =JYn taip pat neišsigimęs, nes jo matricos determinantas lygus (11) kintamųjų kei- tinio matricos determinantui. Pritaikę (12) kintamųjų keitinį (9) kvadrati- nei formai, gausime jai kongruenčią …
Excerpt
Uždaviniai 1. Lagranžo metodu raskite kvadratinių formų kanonines išraiškas ir užrašykite tiesi- nius kintamųjų keitinius, kuriuos atlikus gautos minėtosios išraiškos: a) f (41, Xx. Xs)=2x3 143 +4x5 — 41 Aa — ŠA Aa, b) f, Aa, Xs)= XI —- 3Xa Aa. …
Excerpt
IX SKYRIUS EUKLIDO ERDVĖS Svarbiausios vektorinės erdvės sąvokos yra susijusios su geometrijos sąvo- komis, tiksliau su geometrinio vektoriaus sąvoka. Iš analogijos geometrinių vektorių veiksmams apibrėžėme vektorinės erdvės vektorių sudėtį ir daugybą iš …
Excerpt
3 išvada. Euklido erdvės nulinio vektoriaus 0 ir bet kokio jos vektoriaus x skaliarinė sandauga lygi 0. Kadangi 0=0x, tai 0-x=(0x)-x=0 (4 -x)=0. 4 išvada. Euklido erdvės vektoriaus « skaliarinis kvadratas lygus nuliui tada ir tik tada, kai tas vektorius …
Excerpt
Pastovų daugiklį galima iškelti prieš integralo ženklą, todėl 1 1 (CE) * 1= [ cE (A) N(x)dx=c / EO)nO)dx=c(EŽ+1) (VeeR). 0 0 Iš prielaidos = (x)*0 išplaukia, jog galima nurodyti atkarpa [a; 5] (0 0. 0 a 3. Aritmetinėje erdvėje R" apibrėžtos realiosios …
Excerpt
S 2. a;b; + Ž c;b;=40B-+-yo B. i=1 i=1 Padauginę vektorių x iš bet kokio realiojo skaičiaus c, gauname cx4= n - 5 (ca;) a;. Todėl i= 1 (c4)+B= > . (ca)b;=c NY, a; b;=c (ko B). i=1 i=1 Ho iš prielaidos «+0 išplaukia nelygybė > a; > 0, rodanti, jog «04 = …
Excerpt
2 teorema (Koši—Buniakovskio! nelygybė). Be: kurių Euklido erdvės vek- "torių « ir B porą sieja nelygybė |4-8] 0. Remdamiesi skaliarinės daugybos 1—3 aksiomomis, gauname (x -x)x?+2(+-8)x+8-8> 0. Kvadratinis trinaris su realiaisiais koeficientais yra …
Excerpt
Jei Euklido erdvės vektorių « ir B skaliarinė sandauga lygi O, tai jie vadinami tarpusavyje ortogonaliais vektoriais ir rašoma «x | B. Bet kuris iš tarpusavyje ortogonalių vektorių vadinamas ortogonaliu kitam vektoriui. 1 išvada. Euklido erdvės nulinis …
Excerpt
Iš čia, remdamiesi indukcijos prielaida 8,0, randame = —(x4-8)/(B; > B;) (j=1, | n— |). (4) Taigi vektorius n-1 B.=4— 2, Ke: BD/(B:- 801 B; (5) i=1 yra n-asis ortogonaliosios nenulinių vektorių sistemos vektorius. Pagal 1 teoremą vektoriai 84, ..., 8, …
Excerpt
Euklido erdvės bazė vadinama ortonormuotą ja, kai jos vektoriai sudaro or- tonormuotąją sistemą. Toliau erdvės E, ortonormuotąją bazę …
Excerpt
Padauginę abi pastarosios lygybės puses skaliariškai iš vektoriaus …
Excerpt
Taigi ortogonalioji matrica (ir tik ji) yra Euklido erdvės ortonormuotosios bazės keitimo ortonormuotąja baze matrica. Išvada. Ortogonaliosios matricos determinantas lygus -+-1 arba —1. Įrodymas. Ortogonalioji matrica O tenkina (13) lygybę. Paėmę abiejų …
Excerpt
Iš čia (D bi a4)=0 (= ne m Šios lygybės rodo, kad vektorius B= = b;c«; yra ortogonalus kiekvienam iš i=1 vektorių a,, .-., €4,„, taigi ir tų vektorių tiesiniam apvalkui L (24, ..., 4 „).Ka- dangi 8 yra to apvalko vektorius, tai 8=0. Todėl vektorių sistema …
Excerpt
vektorius, tai (1)o=7'. Remiantis vektorių skaliarinės sandaugos ortonor- muotojoje bazėje išraiška, n n B P 1 1, Esm= 2, 44 In EK ys) AI i—1 Todėl E: n=(č)9-(2)9. Iš čia išplaukia, kad o: E,= Ej. $ 62. Ortogonalusis papildinys Euklido erdvės poerdviai L, …
Excerpt
Įrodymas. Teiginys akivaizdus, kai Z= (01. Todėl tarkime, kad L yra nenulinis erdvės E, poerdvis. Iš ortonormuotosios bazės apibrėžimo 2 išvados (žr. $ 61) išplaukia, jog bet kurią to poerdvio ortonormuotąją bazę 1, ---> €, galima papildyti iki erdvės E, …
Excerpt
Vadinasi, ž,=0. Iš čia išplaukia £=ž, < L. Todėl (L)1cL. (6) Palyginę (5) sąryšį su (6), gauname (4) formulę. Išvada. Jei L yra Euklido erdvės poerdvis, tai bet kuris tos erdvės vektorius E tenkina lygybes: pr„E=ort,; E, ort;E= pr; š. Įrodymas. Kadangi …
Excerpt
7. Užrašykite visas neizomorfiškas 60-osios eilės Abelio grupes. Ats. ) (X …
Excerpt
kiekvieno polinomo f(x)= 5 a;x! reikšmė f(x), kai x=x. Žiedo d i= 0 a polinomų f(x) ir g(x) skirtumas bei sandauga yra to žiedo polinomai, todėl iš polinomo reikšmės skaičiavimo taisyklių išplaukia: 7 (x)-g (2), * f(x) g (x) < P. Vadinasi, aibė K [x]=($7 …
Excerpt
"K (x) elementai f (0)/gi(x) ir /5 (0)/gs (2). Tikrai iš sąlygos /į (0)/g1 (4)= =f5 (x)/g> (x) išplauktų lygybė /1 (a) gs (4)=/> (x) g, (0). Tada būtų teisinga ir lygybė f, (x) 25 (5) =A (6) g; (2). Kadangi g1(x) g2(x) 0, kai g(e) ga(x) *0, tai A 0)/21 …
Excerpt
4 teorema. 7-ojo laipsnio (n < N) algebrinis virš kūno K elementas x tenkina lygybę HE i Žas=0 (4EK; i=0, 1, ..., n-1) (1) į=0 tada ir tik tada, kai a,=a,=...=a,,=0. Įrodymas. Iš prielaidos a;=a,=-..=a, ,=0 išplaukia lygybė 0+04+ | +...+047-1=0, todėl …
Excerpt
į , Norėdami įrodyti tos išraiškos vienatį, tarkime, jog n-1 RS 3, Ei E, 20, I al), (5) i=0 Panariui atėmę iš (2) lygybės (5). gauname n-1 0= V (b-c,)ai. i=0 nl Vadinasi, x yra polinomo / E-2 (b;—c;)x' šaknis. Kadangi deg A arai las KA T 0 E 1-1). i= 0 …
Excerpt
deg r" C,„ Su kuriuo yra teisinga lygybė š. c;4!=0. Remiantis algebrinio elemento apibrėžimu, x yra algebrinis virš i-0 kūno K elementas. 8 teorema. Jei P yra baigtinis kūno K plėtinys, o L — baigtinis kūno P plė- rapsų TAI [UK [PIP KI Įrodymas. Tarkime, …
Excerpt
vektorinės erdvės L bazę virš kūno P. Tada bet kuris plėtinio £Z elementas y bus (7) bazės elementų tiesinė kombinacija su koeficientais iš P: dode a E AI (8) Savo ruožtu kiekvieną iš koeficientų į; galima išreikšti (6) bazės elementų tiesine kombinacija …
Excerpt
teorema teisinga £—1 (k> 3) ilgio plėtinių sekai, įrodysime, jog ji teisinga (13) plėtinių sekai. Pagal indukcijos prielaidą P; , yra baigtinis kūno K plėti- nys. Kadangi P yra baigtinis kūno P, , plėtinys, tai iš 8 teoremos išplaukia [P: K|=[P: P, -,] …
Excerpt
kurio šaknis yra skaičius p/g: (p/aY" +-am-1 (Plg 71... +a, (pla) +0,=0. Iš čia B*la = Zina a, ad | GadL (2) Kadangi (p, g)=1, o dešinioji (2) lygybės pusė lygi sveikajam racionaliajam skaičiui, tai g=1. Vadinasi, p/g yra sveikasis racionalusis skaičius. …