Excerpt
Vadinasi, (E)/=E-a. (1) Pabrėšime, kad vektorius « priklauso tik nuo funkcijos f. 1 teorema. Unitariojoje erdvėje U,„ apibrėžtos skaliarinės tiesinės funkcijos (£)/ išraiška (1) skaliarine sandauga yra vienintelė. Įrodymas. Sakykime, funkcija (£) / turi …
Excerpt
Nulio ir bet kokio vektoriaus sandauga lygi nuliniam vektoriui, todėl (6) n lygybę galima papildyti vektoriumi ŠA * „O (J Js „Jj, Yra skaičių k=r+1 1, 2, ..., n kėlinys). Tai atlikę, gausime lygybę B= 2 4,44 Ži «0, [ži k=r+1 iš kurios išplaukia, jog …
Excerpt
Pridėję panariui prie pastarosios lygybės (8) lygybę, padaugintą iš kūno K bet kurio elemento a, gausime 2 (+ 1ja)=B. J=i Todėl kintamųjų reikšmės x;=c;+/;a (j=1, 2, ..., n) yra (1) lygčių sistemos sprendinys. Kadangi kūnui K priklauso bent du elementai, …
Excerpt
(jei būtų kitaip, pakeistume sistemos lygčių arba kintamųjų tvarką). Tas mi- noras kartu yra ir matricos 4 nelygus nuliui r-osios eilės minoras. Kadangi r (A)=r, tai matricos A visos eilutės, pradedant r +1-ąja, yra jos pirmųjų 7 eilučių tiesinės …
Excerpt
Prijungę prie (12) formulės 1— r akivaizdžių lygybių Xrii=Xriis 5 Xn= Xn, gauname (1) lygčių sistemos sprendinio vektorinę išraišką xi G1 Si, r+1 Sin X, r Sr. r+1 Srn sšėsi E Ė X-+71T.-.- 0 S (14) Xi 0 0 6“) (e — kūno K vienetas). Kai (11) lygčių sistemos …
Excerpt
$ 54. Homogeninė tiesinių lygčių sistema Homogeninė tiesinių lygčių sistema virš kūno K ax + 05 A-Ž Xa=0, AX. + 055 X T skaja +05,X„=0, (1) Amx. +Am2Xx T... +ūmnX„=0 visada yra suderinta (ji turi nulinį sprendinį), todėl svarbu aprašyti nenuli- nius tos …
Excerpt
Išvada. Homogeninės tiesinių lygčių su n kintamųjų sistemos virš kūno K sprendinių aibė yra vektorinės erdvės K, poerdvis. 2 teorema. Jei homogeninės tiesinių lygčių su n kintamųjų sistemos virš kūno K koeficientų matricos rangas lygus r, tai tos lygčių …
Excerpt
Jei homogeninės tiesinių lygčių su n kintamųjų sistemos virš kūno K koefi- cientų matricos rangas r mažesnis už n, tai bet kuri jos n—r sprendinių tiesiš- kai nepriklausoma sistema vadinama fundamentaliąja sprendinių sistema. Viena (1) lygčių sistemos …
Excerpt
Įrodymas. Kad pastaroji sąlyga yra būtina, įrodėme 14 paragrafo teo- remos išvadoje. - Sakykime, (5) lygčių sistemos koeficientų matricos A determinantas lygus 0. Tada …
Excerpt
5 teorema. Nehomogeninės tiesinių lygčių sistemos sprendinio ir jos atitin- kamosios sistemos sprendinio suma yra tos nehomogeninės sistemos sprendinys. Įrodymas. Imkime bet kurį (6) lygčių sistemos sprendinį x;=1; (j= L, 2. n) ir bet kurį atitinkamosios …
Excerpt
4. Apskaičiuokite aritmetinės erdvės R* vektorių 4,=(1; 3; —2; 4), 25=(5; 1; O; 5), a+=(1; —1; 1; O) tiesinę kombinaciją 3x,— 2x4+ Tas. Ažsė. (D: -0:-15.-2). 5. Su kokia parametro k reikšme vektorius 2=(—2; 7; k) yra vektorių x,=(7; 3; 8), «+=(—6; 1; 1), …
Excerpt
Ats. Sistema neapibrėžta, kai a=1; nesuderinta, kai a=—2; apibrėžta, kai a+1, až —-2. 12. Nustatykite tiesinių lygčių sistemos | ax,14x5+ x;= 0, Dar Ax = lų | 3x,1bx; =-2 sprendinių skaičių, kai parametrai a ir b įgyja bet kokias realiąsias reikšmes. Ats. …
Excerpt
Vill SKYRIUS VEKTORINIO ARGUMENTO SKALIARINĖS FUNKCIJOS Algebroje nagrinėjamų funkcijų apibrėžimo sritys yra labai įvairios: gru- pės, žiedai, kūnai, aibių Dekarto sandaugos ir kt. Šiame skyriuje aptarsime funkcijas, apibrėžtas vektorinėse erdvėse. Tokios …
Excerpt
Įrodymas. Sakykime, (£)/ yra skaliarinė funkcija, apibrėžta vektorinėje erdvėje V,, virš kūno K. Jei «4, «4, -.., 4, — tos erdvės bazė, tai E Žalys 2 0 (2) i=1 Todėl, pritaikę (1) formulę, gauname E) /f= J; Xia) f. (3) i=1 Pažymėkime (x;)f=a; (a; < K; …
Excerpt
Pritaikę (6) formulę tiesinės funkcijos (Z)/ ir skaliaro / sandaugai, gau- name (a5,+5E> )(/)=! [(až, +6E> )/]=! [2 (5) /+5 (E) /1=a I (E) f1+ +6U(E)/]=a [E4) V)1+6 KE) (VE, …
Excerpt
tai (f/+8)ą=(0,+6;: a;+b5; į a,+b,)= =(a; Ap; a) k(Bi bai B)= (99 +(a)o, (Y)o=(la,; las; .; la )=I(aj; as; 5 a )= 19]. Iš čia (V,)* = K". Remiantis vektorinių erdvių izomorfizmo teorema, dim(V,)*=dim K"=n, todėl (V,)“ yra n-matė vektorinė erdvė. Prisiminę …
Excerpt
Kadangi (4;)/;=0, kai i+j, tai (£)/= X 5 x; 0; (ai) Jj = * Zi ( 2 X) Jj= 2 a; (E) Ji. = 1. i= 1 j=1 i= 1 j=1 Pastaroji lygybė rodo, jog tiesinių funkcijų sistema (ž)fį, (E) --., (E)f„ Yra erdvės V* bazė. Jungtinės erdvės V* bazė (E)f; (i=1, 2, ..., m) …
Excerpt
$ 56. Dvitiesės funkcijos Dviejų vektorinių argumentų skaliarinė funkcija vadinama dvitiese, kai ji yra tiesinė kiekvieno jos argumento atžvilgiu. Kitaip sakant, vektorinėje erdvėje V, virš kūno K apibrėžta skaliarinė funkcija (Ž, m)f yra dvitiesė, kai su …
Excerpt
rių E ir 7 koordinačių eilutes fiksuotoje bazėje 6,, 8,, ..., 8,, sudarykime dvie- jų vektorinių argumentų skaliarinę funkciją (Ė, 7)g= 2 2 bij Xi Vj. (6) i=1 j=1 Jei £' — bet koks erdvės V, vektorius, kurio koordinačių eilutė minėtoje bazėje yra“ (5.52 …
Excerpt
ž ! Ė R Kitaip tariant, kvadratinė funkcija (£)F yra vieno vektorinio argumento skaliarinė funkcija, gauta iš dvitiesės funkcijos (š, 1)/ sutapatinus abu jos argumentus. Įrašę į (9) lygybę 1= £, randame (, £)A=(E, £)f. Todėl kvadratinę funkciją (£)F …
Excerpt
$ 57. Kvadratinės formos kanoninė išraiška Imkime bet kokią 7 kintamųjų kvadratinę formą virš kūno K: Dodo 25 E A € a;; X; Xi. (1) i=1 j=1 X Pažymėję jos matricą raide A, o kintamųjų stulpelį ( ) — raide X, tą kvadratinę formą galime užrašyti šitaip: Xn 7 …
Excerpt
Tikrai, pakeitę (4) formulės kintamuosius y,, ..., y, kintamaisiais Z4, +; Zz, pagal formulę FBZ (5) (čia B — n-osios eilės kvadratinė matrica su elementais iš kūno K, o ZT= =(Z1: .--; Z,)), iš (4) ir (5) formulių gauname lygybę K (CB (6) Kadangi CB yra …
Excerpt
formai g (j1, --., V,„), tai tų formų kintamųjų stulpeliai X ir Y susieti lygybe X=CY, kurioje C yra neišsigimusioji matrica. Iš čia Y= C-1X. Todėl g(y,, AV) (64,52). "Pagaliau išspuielaidos: f; 52 E 015 VA) AC gs 5 V)Z AZ, -, Z,) išplaukia šitokios …
Excerpt
kvadratinės formos (1) išraišką galime pertvarkyti į šitokią: T Gi A) An (i Taa. Tais) TE Aa (9) n—1 kintamojo kvadratinei formai g (x;, ..., X„) tinka indukcijos prielaida, todėl yra neišsigimęs tiesinis kintamųjų keitinys virš kūno K | Us S Div — 2.1), …
Excerpt
f(45 ---, X,) užrašysime nario 2a,5x;x5 ir narių, į kuriuos neįeina bent vienas iš kintamųjų x;, X;, suma. Tiesinio kintamųjų keitinio X. — Zi Za X, =Zį+ Z3, (14) 2 GTR matricos determinantas e —e 0 „0| e e 0 „d gas G Vigi) = 2670 (nes e — nelygios 2 …
Excerpt
Todėl f (as Aa, X) = (ks 4-2x1)*— 2xi 1-X5 + 31 Aa. Po to grupuojame narius su A3: 3 Rai fa Xa, > G Da) (i Ža) i 2 3 a 0 Pažymėję y;=AX4, Ya=X- + 20 Y,=AX54-2x,, gausime kvadratinės formos f (x4, Xa, xx) ka- noninę išraišką: 17 fk O Yo Ya)= p VIVA TVS 2. …
Excerpt
X,=i o tiesiniu kintamųjų keitiniu Ar — kanoninę išraišką 7; (r, £5)= i 2 =61:3—2tž. Todėl kyla klausimas, kada tos išraiškos yra kongruenčios. iame paragrafe iš pradžių suformuluosime kvadratinių formų su komplek- siniais koeficientais, po to ir …
Excerpt
pr fa (ar, TPA) ŽELESA a G O EN E 5 2 E Kvadratinių formų kongruentumas yra ekvivalentumo sąryšis, todėl Jas sa aa X) TE (is CM] 2) Sąlygos būtinumas išplaukia iš 57 paragrafo 3 teoremos. Jei kanoninės realiosios kvadratinės formos nenuliniai koeficientai …
Excerpt
3 teorema (realiųjų kvadratinių formų inercijos dėsnis). Realiosios kvadra- tinės formos normaliosios išraiškos teigiamų kvadratų skaičius nustatomas vienareikšmiškai. Įrodymas. Sakykime, r-ojo rango (r > I) realioji kvadratinė forma /(x;, x,„) turi dvi …
Excerpt
Jos lygčių skaičius k4+2—/=n—(!—k) mažesnis už n, todėl (11) lygčių siste- ma turi nenulinį (realųjį) sprendinį X1=C1, Xa= Ca, 5 Xn= Cn: (12) Tada ž a;;C;= 0 (A 24 | k), (13) j=1 ir s. bijo; 2006 L mi) (14) j=1 (12) sprendinį įrašykime į (9) ir (10) …