Excerpt
6 2 i e? 2 2- k P B KĄ (čia bp = X aki sa „AN is = — n-l Ealiis standartinis po- ks kal " linomas virš E Anesealintio srities R), tai iš lygybės f(x, --., x„)=0 išplaukia, jog visi įkoeficientai 5, lygūs 0. Polinomui 5, tinka indukcijos prielaida, todėl k …
Excerpt
a R S Er SANT či 3 ap p 7 "Polinomo f(x4, < …
Excerpt
"T 1 teorema. Polinomų žiedo R [x4, .--, X l virš integralumo srities R su vienetu | simetrinių polinomų aibė yra to žiedo požiedis. Įrodymas. Imkime bet kokius žiedo R [x,, ..., x„| simetrinius polinomus flas > X) Ir g (4, ---, X,). Kadangi su kiekvienu …
Excerpt
Ls > — Sakykime, f4 (X, ---, X,) yra žiedo R [4, --., X,] m-ojo laipsnio simetrinė forma, kurios aukščiausiasis narys žemesnis už kitų to žiedo m-ojo laipsnio simetrinių formų |aukščiausiuosius narius. Pažymėję tą narį agxk'xk. xa (k,+k,+...4+k,=m), …
Excerpt
k U TMN TM A. i 5 Sprendimas. Polinomas f(x, x;, x;) yra 4-ojo laipsnio forma, kurios aukščiausiasis “narys lygus xšx.. Iš pagrindinių simetrinių polinomų c;, 6;, 6; sudarysime trijų kintamųjų '4-ojo laipsnio simetrines formas, kurių aukščiausieji nariai …
Excerpt
mA VA A a S a i Ė K Ta UAB + „pakiaS : *- 2 Aišku, aukščiausias iš tų aukščiausiųjų narių lygus polinomo H (6;, 65, .-., G,) išraiškos kintamųjų X, -- > Xn simetriniu polinomu aukščiausiajam na- riui. Todėl pastaroji polinomo H (64, 65, ..., G„) išraiška …
Excerpt
- pastebime, kad (2) formulė yra lygybės Ta ežio 5, X„)=0 (6) išvada. Vadinasi, pakanka įrodyti, jog ta lygybė yra teisinga su kiekviena na- tūrinių skaičių pora n, k (n> k). Taikysime indukcijos metodą skirtumo r=1—k atžvilgiu. Jei r=0, tai (6) lygybė …
Excerpt
| Taigi Ats => 52 [| 6-4)". (8) 1 …
Excerpt
i 3 k 2 25 EA 4 į miao, PA S » Uždaviniai - 1. Išreikškite pagrindiniais simetriniais polinomais: a) fa, xz, X: )=1į xį+aiaš+ai xš, b) JC, Aš, X))=x1 x ai x ai X) +x1 x) 1x2X3 113 AB, 0) fa, Aa, X )=(— 11 +X2 143) 1 —X2+AX3) O +X2—x3). Ats. a) 03 …
Excerpt
RSA Ua 2 š V kio, * Vektorinės erdvės V elementai vadinami vektoriais ir žymimi mažosio- mis graikiškomis raidėmis «x, B, y, ..., o kūno K elementai (norint pabrėžti, kad jie yra vektorių daugikliai) vadinami skaliarais ir žymimi mažosiomis lotyniškomis …
Excerpt
- *7 6. Vektorinė erdvė K„x, vadinama m-ojo aukščio stulpelių erdve ir žymima K „Jos vek- a toriai yra stulpeliu užrašyti 71 kūno K elementų sutvarkytieji rinkiniai | 22 |. Stulpelio Am elementai a; (i=1,2, ..., 1) vadinami vektoriaus komponentais. 71-ojo …
Excerpt
Mis > L o pie “Jei pastarąją lygybę tenkina tik skaliarai c,=Cx= < Km posistemis d4, 45, --, 4, (I …
Excerpt
ir įrodo sąlygos būtinumą. ožys Imkime vektobių sistemą | p 15: A, Aas 5 Am (1) ir tarkime, kad m> 2. Jei ta sistema būtų tiesiškai priklausoma, tai rastume m „nenulinį skaliarų rinkinį c4, C5, ---, C,„„ tenkinantį lygybę Žž C; 4; =0. Api- i=1 brėžtumo …
Excerpt
„DI mA LLA = + a i ES A s "Įrodymas. Teiginys akivaizdus, kai vektorius x; priklauso miui, nes tada , 4 =04,+...+04-,+004; 700411... 02. (6) (e — kūno vienetas). Jei r (7) tenkinantį lygybę 7. Ž cija; CO =. (8) j=1 Tarę, kad c,=0, gautume c;x;=0a;=0. Tada …
Excerpt
* Ed +3 > (1) vektorių sistemos tiesiškai nepriklausomą posistemį. Jei posistemio | Us Ua5 a S Ola S + (12) rangas būtų lygus r—1, tai tam posistemiui nepriklausytų bent vienas (11) posistemio vektorius. Apibrėžtumo dėlei laikysime, jog x;,=x„ nepriklauso …
Excerpt
Įrodymas. Pakeitę (1) sistemos vektorių x, vektoriumi B=ca, (c —- nelygus 0 skaliaras), gauname vektorių sistemą Boa ms (15) Kadangi vektorius 8 yra (1) vektorių sistemos tiesinė kombinacija, tai r (64, Aa, Km) =T (01, Aa, +, Am, B). Savo ruožtu vektorius …
Excerpt
jų Bi žs a PŽaU 0. Kadangi bet kuri TenobaĖ matrica > turi bent vieną Saulis En tai r(4)> 0. Vienas iš matricos rango skaičiavimo metodų susijęs su šitokia sąvoka. mxn-matricoje A parinkime k eilučių ir k stulpelių …
Excerpt
R M, at in TRS AT 2.47 Page Pa TA Kė Te A L > ž SM 4 2 Ž kuriame j=r+1, ..., m, k=1, 2, J. n. Įsitikinsime, kad jis lygus nuliui. Jei k> r. tai d,,=0 kaip matricos A r+1-osios eilės minoras, o jei …
Excerpt
"3 m Ą iii. “t. : f 1 išvada. Matricos rangas lygus transponuotosios matricos rangui. | Teiginys išplaukia iš matricos rango teoremos ir transponuotosios matri- cos determinanto savybės. 2 išvada. Matricos A rangas lygus jos stulpelių sistemos rangui. …
Excerpt
pac: laikyti pirmosios eilutės ir pirmojo stulpelio sankirtos elementą, nes priešingu atveju elementą a matricos A eilučių bei stulpelių transpozicijomis perkeltu- me į matricos kairįjį viršutinį kampą. Toliau taikysime indukcijos metodą matricos A …
Excerpt
Kl LAS EO g T TM Tip S £i 11 „ "2 + i A 5 21 4 4 ABO ž aa Kiske matricos = "ž 5 1 „la SB al 5 A25 D Sd 0 R rangą. Sprendimas. Elementariaisiais pertvarkiais matricą A keičiame diagonaline matrica: T BE AI ST = 000 15 4 4 14)|| | aa 235 lt | = > a 158. 23 …
Excerpt
> Še stulpelių pertvarkiu. Iš elementariųjų pertvarkių, kuriais matrica A DAKEKanG diagonaline matrica D, gausime šitokią elementariųjų matricų seką: P,=P((2)-3 (1), P,=P((3)—3(1)), P,=P((4)—(1)), 0,=0 (0-ž0)). 0.0 (90-50). 0-0 (60-20), A=P(0-0), P=P(6- …
Excerpt
ž Vadinasi, kiekviena matricos C eilutė yra matricos B eilučių tiesinė kombina- ž E B tas “ : cija. Iš čia išplaukia, jog (74) x -matricos ( S sudarytos iš matricų B B ir C eilučių, rangas T ( 4 lygus r(B). Kadangi išbraukus iš matricos ke- letą eilučių …
Excerpt
K Pi S 12 Šnd Bo ik i a Ž Kita vertus, vektoriai += ... =x„=0, todėl K" yra n-matė erdvė. 2. Polinomų žiedas R [x] yra realioji vektorinė erdvė polinomų sudėties bei jų daugybos iš skaičių atžvilgiu. Kadangi polinomas a,+a4,x++03x71 ... +a,7 < R [x] lygus …
Excerpt
I (645 B2, a aa E2 Gr, Aa, 5 a) = (an B», p 8,)=n. (5) Iš (4) ir (5) formulės išplaukia, kad m2=n. Taigi vektorinė erdvė V yra n-matė. Vektorinės erdvės V bazės vektorių skaičius va dinamas tos erdvės dimensija ir žymimas dim V. 3 teorema. Bet kokią …
Excerpt
;= 2 Vas ais AA La A > „a - Ž Ž > = yra vektorinės erdvės V, bazė. Jei būtų dvi vektoriaus £ išraiškos tos bazės . vektoriais n n ES y ap IE = m ls ek i 1,22 m), i=1 i=1 tai būtų teisinga lygybė n 0= > G-x)ų. i=1 Erdvės bazė yra tiesiškai nepriklausoma, …
Excerpt
ž "Įrodymas. Imkime du bet kokius erdvės V, vektorius: (9) lygybe apibrėž- n “tą vektorių £ ir vektorių 1= J. Naša Ugo Ko 1 iš 2 SDA i=1 remiantis vektorinės erdvės 1 ir 7 aksiomomis, galima užrašyti šitaip: £+1= 2 (+ VI) 0 i=1 Iš čia išplaukia, kad …
Excerpt
. Koordinačių eilutę Ir, Jir matricos C 1545 Sao 2 io S B sandaros Te pa- r "tys elementai, todėl tos matricos i,-osios, ..., /-osios eilučių tiesinė kom- 184 SA Pa se * A binacija su koeficientais b,, ..., b, lygi nulinei eilutei. Atvirkščiai, bet kuria …
Excerpt
= ae teorema. Vektorinės erdvės E "AGA keitimo matrica yra neišsigimusi. Įrodymas. Sakykime, erdvės V, bazės …