Excerpt
- Sprendimas“. Iš vektorių 8, 6:, E; koordinačių sudarome matricą T= 212 a inės Ž[-2,—1 1). Kadangi ĮT1=|2 1 1|C-)=|2 i 1|=-6-2= 5 80 Ž P ėdi Za tai vektorių sistema (,, B> , 8; yra tiesiškai nepriklausoma. Vadinasi, ji yra erdvės R? bazė. Dabar …
Excerpt
: ž Išvada. Vektorinių erdvių izomorfizmu tiesiškai nepriklausoma vektorių sistema (ir tik ji) atvaizduojama į tiesiškai nepriklausomą vektorių sistemą. 3 teorema. Vektorinė erdvė, izomorfiška n-matei vektorinei erdvei, yra n-matė. Įrodymas. Tarkime, kad …
Excerpt
“paties kūno atžvilgiu. '$ 51. Poerdvi ai Nagrinėsime vektorinės erdvės poaibius, kurie yra vektorinės erdvės to Vektorinės erdvės virš kūno K netuščias poaibis L vadinamas tos erdvės poerdviu, jei jis pasižymi šiomis savybėmis: 2 1) bet kokių dviejų …
Excerpt
SA a A S Vektorių sistemos 44, Ar, ---5 SB tiesinį Lamą > žymėsime Ia ua os R Taigi - 7 k a Li. 0 = X, drapieks 11502, kl. (1) į=1 2 teorema. Vektorinės erdvės V virš kūno K bet kurios vektorių sistemos tiesinis apvalkas yra tos erdyės poerdvis. Įrodymas. …
Excerpt
Išvada. Vektorių sistemos tiesiniam Žpidiiši Paikičkias bet kurio jos pas temio vektorių tiesinis apvalkas. 4 teorema. Jei vektorinės erdvės virš kūno K vektorių sistemos As Kas Am (5) rangas lygus r, tai tiesinis apvalkas L (4, 45, --., 4) yra r-matis …
Excerpt
p. * sai i 1 teorema. Vektorinės erdvės V virš kūno K dviejų poerdvių suma ir sankir- ta yra tos erdvės poerdviai. Įrodymas. Sakykime, L, ir L, — bet kokie vektorinės erdvės V poer- dviai. Tada L,+L,+ S ir L, NL; S, nes poerdvių sumai ir sankirtai …
Excerpt
“ir nuo jų bendrosios dalies dimensijos. 3 teorema. Dviejų vektorinės erdvės V, virš kūno K poerdvių L, ir L, dimen- sijų suma lygi tų poerdvių sumos ir sankirtos dimensijų sumai: dim L, +dim LE,=dim(L, + L5) +dim(L,n L5). (2) Įrodymas. Teiginys …
Excerpt
* Kadangi vektorius bazės vektoriais išreiškiamas vienareikšmiškai, tai iš (8) formulės randame x;=c; (i=1, 2, ..., m), Am+1—=---=44=0. Įrašę pastarą- sias reikšmes į (7) lygybę, gauname: m I X Cį Xi Ela 2. b. Bs = 0 . i=1 s=m+1 (5) vektorių sistema yra …
Excerpt
k 4 teorema. Vektorinės erdvės poerdvių L,, L,, ...,L, suma L= = L; yra i=1 tiesioginė tada ir tik tada, kai bet kurio jos dėmens sankirta su kitų dėmenų suma lygi nuliniam poerdviui. k k Įrodymas. Tarkime, kad L= G L,, nors L; ( Ži L)*(0) i=1 i=1, ižj (1 …
Excerpt
=t, arba E,=E;. Gautoji prieštara rodo, jog vektoriaus E išraiška poer- k dvių L; (i=1, 2, ..., k) vektoriais yra vienintelė. Vadinasi, L= G) Ly. i=1 1 išvada. Jei a,, 45, --., a, yra vektorinės erdvės V, virš kūno K bazė, tai V.= 6 L(o,). i=1 Įrodymas. …
Excerpt
tą lygčių sistemą galime užrašyti viena vektorine lygtimi (su koeficientais ir laisvuoju nariu iš vektorinės erdvės K.„): i aa LO A. (3) Savaime suprantama, kintamųjų reikšmių rinkinys Ai Ci Ra las GS (ale:k- lm) (4) yra (1) tiesinių lygčių sistemos …
Excerpt
Todėl vektoriai x;, x; sudaro tiesinio apvalko L bazę. Iš čia į Pi E=x10, Karas (X, Aa € R), nes pr:„ž < L. Kadangi ort, Ė=Ė—pr E=(5—2x1—x; 2—X1—A25 2ba p —2—x— 3) LL, tai ort; E-4,=o0rtr £-4,=0, arba —7x,—6x5+8=0, 42x,+36x> =48, X1=2, l “64 = 15+10;7 | …
Excerpt
Unitariosios erdvės pavyzdys yra aritmetinė erdvė C", kai jos bet kurių dviejų vektorių ž=(x1: ...; X,) ir 7=(04; ---; y„) skaliarinė sandauga apibrė- žiama lygybe n E-1= X Xi Ji. (1) i=1 Ortonormuotosios bazės unitariojoje erdvėje apibrėžimas sutampa su …
Excerpt
8. Apskaičiuokite Euklido erdvės R* vektoriaus £= T. 5; —2; 2) projekciją ir statmenį į poerdvį L (44, x;), kai o 25 ls —1) as = (ls Ats. pr, Ė=(1; 3;.—1; —2),ort;£=(1; 2; —1; 2, 9. Raskite kampo tarp Euklido erdvės R* vektoriaus £=(2; 2; 1; 1) ir …
Excerpt
Įrodymas. Įrašę į (1) formulę vietoj skaliarų c ir d kūno K vienetą e, gau- name (2) formulę, o įrašę d=0, gauname (3) formulę. Todėl (2) ir (3) lygybės yra (1) lygybės išvados. Kita vertus, pagal (2) formulę (c Z+d1) Z=(c E) Z+(d1) 4. Remiantis (3) …
Excerpt
Vektorinės erdvės V panašumo transformacija 2 su panašumo koefici- entu k yra aprašoma lygybe EP=kĘ (VEeV). (6) Jei E', £" — bet kokie erdvės V vektoriai, tai iš (6) formulės gauname EP=kĖ' ir E'P=kĖ'“. Todėl (cE'+dE')2=k(cE'+dE')=c (k E')+- …
Excerpt
Iš tų išraiškų koeficientų sudaryta matrica (Gi Ci2 Činų 4 LŽ d51 155 * o) Asp (2) „Am 4.2 SKB Ann vadinama tiesinės transformacijos +/ matrica bazėje x4, 25, ..., x,. Pažymėję, kaip įprasta, bazės vektorių …
Excerpt
Dabar įrodysime, kad kiekviena kvadratinė matrica su elementais iš kūno K apibrėžia tam tikrą tiesinę transformaciją. 1 teorema. Jei tį, 45, ---, 4, Yra vektorinės erdvės V, virš kūno K bazė, 0 Pas Ba, > B, — bet kokia tos erdvės vektorių sistema, tai …
Excerpt
gautume lygybę £.7=£ 3. Kadangi Z yra bet koks erdvės V, vektorius, tai, remiantis transformacijų lygybės apibrėžimu, = 3. 2 teorema. Jei Z=(a;;) (i, j=1, 2, ..., n) yra kūno K elementų matrica, tai galima sudaryti vektorinės erdvės V, virš to kūno …
Excerpt
LP $ 66. Tiesinės transformacijos matricų sąryšis Priskyrę kiekvienai vektorinės erdvės tiesinei transformacijai / jos matricą 4 fiksuotoje bazėje, gausime bijekciją tarp tos erdvės tiesinių transforma- cijų ir jų matricų aibių. Kyla klausimas, kokia bus …
Excerpt
Kadangi matricų panašumo sąryšis yra simetriškas, tai matricos B ir C dar vadinamos panašiosiomis matricomis. 1 išvada. Keičiant vektorinės erdvės bazę, tiesinės transformacijos matrica keičiama į ją panašia matrica. 2 išvada. Panašiųjų matricų …
Excerpt
V, tiesinių Ž ir 8 suma vadinama tos sa ija 4 +3, apibrėžta lygybe 5 2 E(4+3)=E4+E3 NE V,). (1) Kitaip sakant, /+3 yra erdvės V, transformacija, kuria kiekvienas tos "erdvės vektorius š atvaizduojamas į jo vaizdų E.Z ir £3 sumą. 1 teorema. Tiesinių …
Excerpt
ay (X as)2) | I au63) i ZL )- 1-4 = 6,43 (š Anj 2) 3 2 anj (a; B) ABca> Istčia *1C— AB; NES anbje …
Excerpt
pp $ 68. Tiesinės transformacijos vaizdas ir branduolys Bet kuri vektorinės erdvės tiesinė transformacija nustato du tos erdvės po- erdvius. Vektorinės erdvės V., tiesinės transformacijos s4 vaizdu vadinamas tos erdvės poaibis Im +, kurį sudaro visų …
Excerpt
E avms AGT ae Šš tai TB ė AšėT d. Vadindė, karė yra ži his V, netuščias poaibis. Jei £, 1 — bet kokie branduolio Ker. vektoriai, | + Tai Ed-14— 0. Todėl su kiekviena skaliarų pora c, d yra teisingos lygybės (cE+dn)d=c (EZ)+d(1.4)=c0+d0=V. Iš čia cž+dn e …
Excerpt
ę Pavyzdys. Aoakaičinsias Eabasiės vektori: ačs “erdvės R; B tiesinės osniei L:if() Z=f (X) (V f(x) e R, [xl) rangą ir defektą. - Sprendimas. Transformacijos > branduolį sudaro tie erdvės R, [x] vektoriai, kurių | j išvestinės lygios 0. Iš čia Ker.9/=R. …
Excerpt
A 4 teorema. Vektorinės erdvės V., tiesinė transformacija 4 yra apgręžiama ; tada ir tik tada, kai jos matrica bent vienoje tos erdvės bazėje yra neišsigimusi. Įrodymas. Sakykime, transformacija 4 yra apgręžiama. Tada egzistuoja jai atvirkštinė …
Excerpt
> Pavyzdžiai. 1. Jei transformacija „5 yra plokštumos geometrinių vektorių su pradžia koordinačių sistemos xOy taške O projektavimas į abscisių ašį, tai tų vektorių erdvės tiesio- ginius „4/-invariantinius poerdvius sudaro: 1) ašies Ox vektoriai; 2) ašies …
Excerpt
SALA m AAA S A A S > > S mas la i T 42 a S ar EOS AE T E TE i š > a Žas 4 AS s 2 A 264 ; ss AA bazės Ais 5 Aps Akio > A, Kadangi poerdvio L vektorių vaizdai priklauso tam poerdviui, tai | =) Gyd, (ae K) =, 5 k). j=1 Sudarę kitų erdvės V, minėtosios bazės …
Excerpt
“ Skaliaras I vadinamas tiesinės transformacijos «4 tikrine reikšme. Taip pat sakysime, kad E yra tiesinės transformacijos 47 tikrinės reikšmės I tikrinis vek- torius. 1 teorema. Tiesinės transformacijos tikrinio vektoriaus tikrinė reikšmė ran- dama …