Excerpt
Realiosios kvadratinės formos kanoninė išraiška, gauta ortogonaliuoju jos kintamųjų keitiniu, vadinama tos formos išraiška pagrindinių ašių sistemoje. 2 teorema. Kintamųjų ortogonaliuoju keitiniu gautos realiosios kvadrati- nės formos kanoninės išraiškos …
Excerpt
Norint užrašyti ortogonalųjį kintamųjų keitinį, reikia žinoti Euklido erdvės R? simetrinės transformacijos „57, kurios matrica yra A, tikrinius vektorius. Tos transformacijos tikrinės reikšmės z,=2 tikrinis vektorius žŽ=(x4; x> ; x;) apskaičiuojamas iš …
Excerpt
kuriuo kiekvieną iš kvadratinių formų /(x4, x> ), g (14, x> ) galima pakeisti kanonine. Tada išraiškų Fs X) Ten ci Vi + (1 Ca: +Ci2 Ca1) Yi Ya Ca Con V3, Es X)T Ch VI + 2 Cas Va Y2 + Ca Vž koeficientai prie skirtingų kintamųjų sandaugų būtu lygūs nuliui: …
Excerpt
1 Eksa 4 ) abu pagrindiniai mi- norai yra teigiami (M,=1> 0, M,=| B |=3> 0), todėl ta forma yra teigiamai apibrėžta. Rasime jos normaliąją išraišką. Kadangi g (14, x> )=(21+x> )?+3x3, tai, pažymėję M= M TA, ! Juisnlis3 sa Sprendimas. Kvadratinės formos g …
Excerpt
Apskaičiuokite tos transformacijos matricą bazėje 1, x, x* ir įrodykite, kad „7 yra ortogo- nalioji transformacija. (2 A28 par 4 Ats. 5 alvė- la k > ip, SMS 2. Raskite Euklido erdvės R? tiesinės transformacijos ./ matricos kanoninę išraišką ir kanoninę …
Excerpt
0 2 2. 6. Raskite diagonalinę matricą D, į kurią panaši matrica a: 3 —1 Aa 2 —-1 3 apskaičiuokite matricų A ir D panašumo matricą O (matrica O apibrėžta nevienareikš- miškai). 4702 0 0 ŽAS“ UT Ats. p-(o 4 2 0=1 1UV3 LŽS 18, 00 = one Mne aps 7. Išreikškite …
Excerpt
1 teorema. Multiplikacinės grupės G pogrupis H yra normalusis daliklis tada ir tik tada, kai gH= Hg (Yg < G). (1) Įrodymas. Jei visi grupės G elementai g tenkina (1) lygybę, tai tos grupės kairiųjų sluoksnių pagal pogrupį H aibė sutampa su dešiniųjų …
Excerpt
$ 86. Faktorgrupė Aptarsime grupės sluoksnių pagal normalųjį daliklį savybes. 1 teorema. Jei H yra multiplikacinės grupės G normalusis daliklis, tai elemen- tų u EeaH ir v < bH (a, b e G) sandauga uv priklauso sluoksniui (ab) H. Įrodymas. Pažymėję u=ah;, …
Excerpt
$ 87. Grupių homomorfizmai Priskyrę kiekvienam lyginiam keitiniui iš simetrinės grupės S, skaičių 1, o kiekvienam nelyginiam keitiniui skaičių —1, gausime grupės S, surjekciją į multiplikacinę dviejų elementų grupę G= (1; —11. Kadangi dviejų vieno- do …
Excerpt
Jei o yra grupės G epimorfizmas į multiplikacine grupę G“, tai aibė grupės G elementų, kurių vaizdai lygūs grupės G" vienetui, vadinama epimorfizmo o bran- duoliu ir žymima Kero. 2 teorema. Grupės G bet kurio epimorfizmo branduolys yra tos grupės nor- …
Excerpt
Teisingas ir atvirkščias teiginys: jei (x)o=(g)p=g", tai x …
Excerpt
Pogrupio elementams atvirkštiniai elementai priklauso tam pogrupiui, todėl c=aį;'a=b,b-! yra sankirtos AB elementas. Kadangi An.B= (e), tai c=e. Iš čia arla=b,b-1=e. Taigi a=a, ir b;=b. Norėdami įrodyti lygybę xy=Yx(Vx e A,Vy < B), pažymėkime z=xyx-!ly-1. …
Excerpt
Pogrupių tiesioginės sandaugos sąvoką galima apibendrinti. Imkime dvi multiplikacines grupes A=(A,-,e,), B=(B,-,e,) ir sudarykime jų Dekarto sandaugą A x B= G. Jei aibės G elementų daugybą apibrėšime tai- sykle (a,: b)e(a;: b;)=(a,a;; bjb)) (Va; < A, Vb; …
Excerpt
Jei |a|=s, o |b|=+, tai iš lygybių a"=g"779= (gy =e, bT= g"ėėn= (gm! = =e išplaukia dalumo sąryšiai sm, £|1, arba m=są, n=tr. (g, reN). (3) Kita vertus, g*'=(ab)"=(a*)' (b*Y*=e, todėl (mn) (st). Iš čia st= (mn) k (k < N). Įrašę į pastarąją lygybę skaičių …
Excerpt
> Žž Raide P; pažymėkime grupės G poaibį, sudarytą iš elemenių, kurių eilės yra pirminio skaičiaus p; laipsniai (i=1, 2, ..., s). Jei a ir b — bet kokie du to poaibio elementai, tai |a |=pk, |b|=p/ (k, I I, todėl | a |=p* (k < N). Kadangi kiekvienas G …
Excerpt
: t S “Pr Aišku, |c; …
Excerpt
iš tų pogrupių priklauso elementas b=a"?“"'. Tada b=e, nes bs Bn C. Iš čia išplaukia a?“""=e. Todėl |a| …
Excerpt
Analogiškai samprotaudami, iš (14) lygybės gautume kitą pogrupio G, išraišką „ūsl el pi! M ia p lo kdo al) (17) Kadangi (16) ir (17) išraiškų kiekvieno dauginamojo eilė lygi p, tai p*=| G, |= =p', arba s=t. Lieka įrodyti, kad (13) ir (14) išraiškų …
Excerpt
5 90. Idealai Žiedo elementų sandaugos su jo požiedžio elementais gali priklausyti tam požiedžiui. Nulinis požiedis yra tokio požiedžio pavyzdys. Aptarsime minėtąja savybe pasižyminčius žiedo požiedžius. Žiedo R adicinis pogrupis I vadinamas to žiedo …
Excerpt
i B mwrwpERPAK Remiantis įrodytąja di galima apibrėžti žiedo sluoksnių pagal idealą daugybą -. Žiedo R=(R, +,0, -) bet kurių sluoksnių a+1 ir b+1I (a, b < R) pagal ide- alą I sandauga laikomas sluoksnis ab+-1I, t. y. (a+1)-(b+I)=ab+1 | (Va, beR). (2) (2) …
Excerpt
so be galo daug natūrinių skaičių. Raide 71 pažymėkime idealo 7 mažiausią natūrinį skaičių ir įrodykime, jog /= (m). Tas teiginys yra ekvivalentus teigi- niui, jog visi idealo I skaičiai dalijasi iš skaičiaus m. Jei bent vienas sveikasis skaičius k < / …
Excerpt
Grupės U (Z,„) eilė lygi skaičiui natūrinių skaičių, ne didesnių už m ir tar- pusavyje pirminių su skaičiumi m. Tas skaičius lygus Oilerio! funkcijos reikš- mei o (m). Priminsime, kad natūrinio argumento m funkcija 9 (m) rodo, kiek yra natūrinių skaičių, …
Excerpt
kurį branduolio Ker 6 elementą x. Kadangi (ax)ą =(a)g (a)p =0'- (a)p=0", tai elementai ax ir xa priklauso branduoliui Ker 6. Todėl Ker 6 yra žiedo R idealas. 2 teorema. Jei I yra žiedo R=(R, +.0, -) idealas, tai atvaizdis o: R-R|I, apibrėžtas lygybe …
Excerpt
x; €I,, k=1, 2). Iš idealo I, apibrėžimo išplaukia x; —xx € Tys FXKs Xrr E Ilgi čia k=1, 2, or — bet koks žiedo R elementas. Todėl y—v'=(x1— x1)+-(X> — —x)e L+Ę, ry=rx+rx, e K+I ir yr=xr+xx € K+. Vadinasi, 4+ +/I, yra žiedo R idealas. Žiedo R idealų I, ir …
Excerpt
Įrodymas. Pakanka įsitikinti, jog Z-+- 55 ...Ig= R, nes Kl, ...Ig < G nIkN -.. nI,- Remdamiesi (6) formule, gauname e=x;+7; (x; < L y; € Ip; “ j=1. 2, ..., K). Kadangi idealo elemento ir žiedo elemento sandauga priklau- so idealui, tai teisinga lygybė …
Excerpt
1 teorema. Jei komutatyviojo žiedo idealus Ir, I, ..., I; sieja lygybė ii I,n(2; L)=10) | G=2 245 AO, (2) i=l tai I a(2; 1)=(0), kai I=1, 2 222, k il Įrodymas. Tarkime priešingai: (2) formulė galioja, bet sankirtai In Ž I; …
Excerpt
k k =1,2, ..., K) yra žiedo R požiedis, tai > “ I, < R. Todėl R= Y I,. Lieka i—1 i=1 įsitikinti, kad pastarosios sumos dėmenys tenkina (2) sąlygą. Jei žiedo R m-1 elementas c priklauso sankirtai I,„N iš 2 1,) (m=) Mac Ce WC ti T 05- S Ela < Ai = 2; Ain Iš …
Excerpt
yra žiedo R epimorfizmas į išorinę tiesioginę sumą S=R/ĘL į R/lį 2.4 k 4 R|Ię su branduoliu Kero= E Ti. i=1 4 (kinietiškoji liekanų) teorema. Jei žiedo R su vienetu e idealus Iš, Ix, ..., Ip sieja lygybės I; +-I;= R (i žj; i, j=1, 2, ..., k), tai …
Excerpt
Įrodymas. Sandauga pž Z=1I; yra žiedo Z idealas, todėl galima sudaryti faktoržiedžius Z//; (i=1, 2, ..., s). Jų išorinę tiesioginę sumą pažymėkime S=Z/L4Z/I14 ...4+ Z|I.. Remiantis 3 teoremos išvada, atvaizdis (ajo=(a+5; a+5; ...; a+[) (VaeZ) yra žiedų …
Excerpt
Įrodysime, kad tas atvaizdis yra grupių epimorfizmas. Iš prielaidos (b+nZ)ę=(b+p“Z; b+pkZ: < Z)= =(a+p5Z;a+p:Z; …