Excerpt
2 Sveikasis skaičius a yra tarpusavyje pirminis su pirminio skaičiaus p natūri- niu laipsniu p* tada ir tik tada, kai jis yra tarpusavyje pirminis su skaičiumi p. Vadinasi, aibę natūrinių skaičių, ne didesnių už p* ir tarpusavyje pirminių su p, sudaro …
Excerpt
Pavyzdys. Remdamiesi Laplaso teorema, apskaičiuosime determinantą pualjų 18 14 371412 IA ASA E Sprendimas. Determinantas 4 turi proporcingų elementų 1-ojoje ir 3-ojoje bei 2-ojoje ir 4-ojoje eilutėje. Atėmę iš 2-osios eilutės 4-ąją, o iš 1-osios eilutės — …
Excerpt
Iš įrodytosios teoremos išplaukia šitokia taisyklė. Jei determinantą d, pritaikius jam determinantų 4 savybės 2 išvadą, galima pertvarkyti į trikampį determinantą, tai pastarojo determinanto pagrindinės įstrižainės elementų sandauga lygi determinantui d. …
Excerpt
M79RPPMMMVP Tą determinantą išskleiskime paskutiniosios eilutės elementais: | XI XM Galo a a A) | V (a, X, ADS (— 11 | X Ka (X) AGA) i Xn 1— Xn Taa Oža > Xi) | x (a — X) Iškėlę i-osios eilutės elementų bendrąjį daliklį x;—x, (= 1, 2, ..., 1— 1) prieš …
Excerpt
Matrica vadinama lenktiniais skliaustais! suskliausta stačiakampė realių jų skaičių lentelė AĮ i p 0 | (1) "Am Am2 + Am Skaičiai a;; vadinami matricos A elementais. Matricos 4 elementai sudaro m eilučių ir 2 stulpelių, todėl dažnai sakoma, kad A yra m x …
Excerpt
Pa aprašytas tiesinis kintamųjų keitinys, tai kiekvieną iš kintamųjų u;=x; +Z; ga- lima tiesiškai išreikšti kintamaisiais y4, Ya, …
Excerpt
Kitas matricų veiksmas yra matricų daugyba iš skaičiaus. Imkime (1) matrica A aprašytą (3) tiesini kintamųjų keitinį. Padauginę (3) lygybių abi puses iš realiojo skaičiaus c, gauname e, (ca;;) V; (1 2460 m) (8) j=1 Kintamųjų 04, V5, ---, V, tiesinio …
Excerpt
Įrašę (9) kintamųjų išraiškas į (3) formulę, randame n 1 1 n 2 aj = A, ( ai) Zi (= L 2 m a) j=1 k=1 k=1 j=1 Gautojo tiesinio kintamųjų keitinio koeficientų matrica pažymėkime Su 591 Su S Mais Sai Smi Sm2 Sml Tada iš (11) formulės išplaukia, kad se X. …
Excerpt
Lieka įrodyti, kad V= W. Imkime bet kurį matricos V elementą 2;, (i=1, 2, „m; j=1l,2, ..., I). Remiantis matricų sandaugos elemento išraiška, n n k 0 = a, Urj= r Gir B. LB Csj= r=1 r=l — 14 k n ; k Air b. < S 5 ( Žž Air b.s) Esr= :2 lis Csj = Wij- s=1 1 …
Excerpt
11) Jei matricų A ir B sandauga yra apibrėžta, o c — bet koks realusis skai- čius, tai c(AB)=(cA) B= A (cB). Įrodymas. Kadangi sandauga 4B yra apibrėžta, tai A=(a;;) laikysime m xn-matrica, o B=(b;;) — n x I-matrica. Tada AB= C=(c; j) yra m x I-mat- n …
Excerpt
“Lieka įrodyti matricų U ir W lygybę. Imkime bet kurį matricos U elementą = 1. 2 J— 12523, m Kadanipi n n Ei * Dix Azj = = ajk bys = Vj = Wiys k=1 k=1 žariW— WV- Skaitytojui siūlome savarankiškai įrodyti šitokias matricų transponavimo taisykles: 13) Jei A …
Excerpt
Analogiškai pertvarkę kiekvieną iš 7 pirmųjų determinanto 4 eilučių, gau- sime: 0 0 0 1 5 Cin 0 0 06 4 Co G i 0 OL: OAKCE as Či TL O 05 ba 05 bs 0 —-1. Ol bili Ds ba 0-4 Lė 5 Mona B Tą determinantą išskleisime jo pirmųjų 7 eilučių minorais: | Čin 6 pie E) …
Excerpt
Dabar tarkime, kad matrica A yra išsigimusi. Tada | A |=0. Įrašę tą reikš- mę į (1) formulę, gauname | AB |=0. Todėl matrica AB yra išsigimusi. n-osios eilės kvadratinių matricų daugybos vienetas yra n-osios eilės kvad- ratinė matrica t 0—r- 0 Bel …
Excerpt
Įrodymas. Tarkime, kad išsigimusioji matrica A turi atvirkštinę matricą A-1. Tada AA-1= E. Sudarę abiejų šios lygybės pusių determinantus, gautume |44-1|=| E |=1. Remiantis matricų sandaugos determinanto savybe, | 447], |A| | A-!|, todėl | 4| | 4-1 |=1. …
Excerpt
Sprendimas. Pirmiausia randame matricos A determinantą 242310 NC 102 8 ME (414| 2 ia |) = 0 2 0-2), „|-24-3-2 3 0,2 L3 0',2.| Po to apskaičiuojame matricos A determinanto elementų adjunktus: Au= ži Ki, An=— Tiu =6, A4= EE „=-2, L 02, (TN 2 | 1 T aro …
Excerpt
n Kadangi suma ž A,;b„ yra determinanto d; skleidinys j-ojo stulpelio ele- mentais, tai S į c;=d;|d (= 1 25) Pavyzdys. Pasinaudoję Kramerio formulėmis, išspręsime tiesinių lygčių sistemą 2x,+2x> —x5+x,=4, 3x11+3x;—2x;1-2x,=6, 5Sx,-+8x1—3x544x,=12, …
Excerpt
Kiekviename iš determinantų d; (j=1, 2, ..., 2) yra nulinis stulpelis, todėl tie determinantai lygūs 0. Kadangi sistemos koeficientų matricos determinantas d nelygus nuliui, tai homogeninė Kramerio sistema turi tik nulinį sprendinį x,=d;/d=0 (j=1, 2, -.., …
Excerpt
Pastarąją sistemą patogu spręsti Gauso metodu. Kadangi tiesinių lygčių sistemos elementariaisiais pertvarkiais ($ 1) yra kei- čiami tik jos lygčių koeficientai ir laisvieji nariai, tai vietoj (9) lygčių sistemos galima nagrinėti matricą Uu Gr. Gm 0 iai ke …
Excerpt
| 2)! Ė Ž 2 D 01 8 SE oda | il 0 -4 0 300 -( 0 —-3 0| 71 —6 [C15> 040122 12 i 1-0 0 23N1 Tr 0 0 SB =(» 1014-1511 2) (o 1 0| -7/3 —-1B :) d 01 LB 1 1 a 1 1 5/3 —1/3 -—1 1 —7/3 —1/3 24 —2 1 1 Uždaviniai 1. Apskaičiuokite 2-osios eilės determinantus: 32-55] …
Excerpt
a 7. Išspręskite keitinių lygtį fxg=A, kai 2 ( 23 45 2 2 242 475 a ke(! 2456 O Ma i =P ( LL 2.34 475 2 Ats. Ž 5322 8. Keitinį ži 2-3 AS 617 A L 26 2 2) išreikškite nepriklausomų ciklų sandauga. Ats. f=(1, 4) (2, 3, 6) 6, 7). 9. Keitinį 1 S85-4“546 7:8 …
Excerpt
6 ją aaa Aiks 0 0 dl aa ia S 0 a | ai G; as 0 lo 5 5 t 1-2 10 S nas Leo 2 d > Ba Lol d i L TM ldai Lee OL Lasa "1 PA A Ats. a) 5 (eA (1 TDIA B) (— 1670, e) aras an; A) 15 e) (1—1) (1735 £) (x+n—1) (x7—1)771 (— 1700-12, 14. Apskaičiuokite determinantus …
Excerpt
18. Apskaičiuokite reiškinį A+ BX + CX*, ui ( At 5. 1 62312 2 ( ) » (+ 2 ) S = 343472 3 8 Pi 19. Apskaičiavę elementų adjunktus, raskite šioms matricoms atvirkštines matricas: 2 2 241 a ) A a r ee P Aa AS 2 4 3 Kk5E —-8 14 —1 Ats »( A Nu ik 2 š sp--32. 5 …
Excerpt
TdS TAS “a LN < $ 15. Algebrinė operacija * Algebrine (arba binarią ja) operacija aibėje A (A+ 8) vadinamas tos aibės Dekarto kvadrato atvaizdis f aibėje A: f:AxA> A. (1) Kitaip sakant, aibėje A yra apibrėžta algebrinė operacija, kai kiekvienai ai- bės A …
Excerpt
"e r 1 teorema. Pusgrupio bet kokių n (n> 3) elementų kompozicija nepriklauso „nuo skliaustų išdėstymo tvarkos. Įrodymas. Sakykime, a;, a> , ..., a, yra bet kokie pusgrupio (A, +) elemen- - tai. Jei kampoziciją (a,*25*+...+0; „)*0; = 0*05+-.-+0; 150; …
Excerpt
| K k 4 X Iš pastarosios lygybės ir (5) formulės gautume V b=b+xw=bx(a+b')=(b+a) +b'=w+b' =D", todėl b yra vienintelis elementui a simetriškas elementas. Elementui a simetrišką elementą žymėsime d. Tada (5) formulę galime už- rašyti Šitaip: a+04=4+a=W. …
Excerpt
i > Ž i Ma i "AAS PAS žė A i o 7 Kitaip sakant, grupe vadinamas monoidas, kurio visi elementai yra apgrę- žiami. Norint nurodyti grupės G. algebrinę operaciją * ir tos grupės neutra- “ lųjį elementą w, rašoma G=(G, +, w). Ž Terminą „grupė“ pirmasis …
Excerpt
AS Ma P a as o g LAS 52 i k „a, '$ 17. Pogrupiai Nagrinėsime grupės poaibius, kurie yra grupės tos pačios algebrinės opera- cijos atžvilgiu. . Netuščias grupės G=(G, +, w) poaibis H vadinamas jos pogrupiu, kai: 1) bet kurių dviejų poaibio H elementų h, ir …
Excerpt
keitiniai, tai su kiekviena aibės A, Lies pora fir ir g yra tesinsa salas fzg ie 1 Todėl A, yra grupės S, pogrupis. „Grupė A, vadinama n-ojo laipsnio alternatyviaja grupe. Kai n> 1, alternatyvioji grupė A, turi n!/2 elementų. 4. Imkime pilnosios tiesinės …
Excerpt
2 teorema. Multiplikacinės grupės elemento a sveikieji laipsniai yra susieti lygybėmis an. at= gin. (aBj— az (V m, ne ZA 2 (5) Teoremą paliekame įrodyti skaitytojui. Adicinėje grupėje (G, +, 0) vietoj tos grupės elemento a laipsnių apibrė- žiame jo …