Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Vadovėlio I dalyje buvo apibrėžta tolydžiai diferencijuojamos aibėje AcR funkcijos f: R--R sąvoka. Šią sąvoką apibendrinsime funkcijoms (BI =AR. 3 apibrėžimas. Funkciją f: R"--R" vadinsime tolydžiai diferencijuoja- ma atviroje …
Excerpt
18. TEOREMA APIE ATVIRKŠTINĘ FUNKCIJĄ = esu 2 7 DE RA Eunkcijos LZ 20j1 koordinatinė funkcija (i=1, ..., 1). fK(X)-KO)= = f; (Xi, x5, OOC Xr) =ij (x1; X;, si ažsis Xn) E lo O O) O a a S +; (x1, 3 Xn 15 Xa) = (1, D B R) Pritaikę 2 kartų Lagranžo vidurinių …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS atvirkštinė funkcija L-!, apibrėžta lygybe L-1(y)=4-1- y. Pagal IX. 16, 2 teoremą egzistuoja toks M> 0, kad | L-1(y) …
Excerpt
18. TEOREMA APIE ATVIRKŠTINĘ FUNKCIJĄ visiems x < U (i, j=1, ..., n). Pagal lemą Ig 6)=e(4)| < en? |x'—3"|, |L6'—-+)-(f6)-/6))| m |x'—x" |. Todėl, jei …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS o aibės U sienos taškuose £ < 0U VeE)=/E)-V|> (0-x|-|»-»|> d-dl2, L g(€)> (d/2), tai g (x*) ) ia 0 Olaus) OCE 3 21... + 200 zu kurios koeficientų matricos Of, (x*). 0X; determinantas det f“ (x*) pagal aibės U pasirinkimo būdą …
Excerpt
18. TEOREMA APIE ATVIRKŠTINĘ FUNKCIJĄ čia a (h')=0 (| A" |), kai A'—0. Tada X(1')=y+A-y—a (h') h'=A-oX(h')=A—1(h)—A- og (h'). Tačiau A'=f—1(v4-A)=—x=/f71(v+h)—/71 (y), todėl T I0+H-f16) =) —A-: (a (4). (4) Kadangi funkcija X-1 yra tiesinė, tai egzistuoja …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS x funkcijos, tai ir (matr 2) “1 elementai 4;,/ det * yra tolydžios taško x funkcijos. Bet 2—1=(f—7)' (y). Todėl (matr 2)! elementai yra lygūs ir funk- cijos f—1 koordinatinių funkcijų dalinėms išvestinėms taške y=/ (x), t. y. …
Excerpt
11. FUBINIO IR TONELIO TEOREMOS Seka (94 (Ga »)) konverguoja beveik visiems (x, y) < A x B prie f(x, y), t. y. egzistuoja tokia nulinio Lebego mato erdvėje R" x R" = R"+n aibė EE AX BS kad a Pk (x, y) =f(x, 2) (7) visiems (X, ») e (A x B)E. Kiekvienam x e …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI ir [ak [6 pdy= | dy | 76 Ada. (8) A B B A be aria a a keis URL Tonelio teorema. Sakykime, kad A yra m-matis stačiakampis gretasie- nis ir B yra n-matis stačiakampis gretasienis; jei f — neneigiama ir išmatuo- jama m+-n-mačiame …
Excerpt
11. FUBINIO IR TONELIO TEOREMOS (Xa,x5, — Charakteristinė gretasienio A; xB; funkcija). Funkcija g, — išmatuojama gretasienyje A,xB, kaip dviejų išmatuojamų funkcijų sandauga. Be to, …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI 2 išvada. Jei f yra išmatuojama stačiakampiame gretasienyje AxB funkcija, tai fe L(A xB) tada ir tik tada, kai bent vienas iš integralų [a [re olas arba [dy [6 las 2 B B 4 yra baigtinis. [> Įrodoma kaip Tonelio teoremos …
Excerpt
11. FUBINIO IR TONELIO TEOREMOS Bendruoju atveju, jei O yra n-matis stačiakampis gretasienis, t. y. O0=(a, b)x... x(a,, b)cR", ir fe L (0), tai, n kartų pritaikę Fubinio teoremą, gaunamę 6; 6, 5. [f0dx= Ika Ika Iro a ao. (6 0 a a; a n 1 pavyzdys. …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI 2 pavyzdys. Apskaičiuosime keturlypį integralą = IaIšiai sin (x +y4+Z+u) dxdy dzdu, 0 jei O — keturmatis kubas: O=(0, 7) x (0, 7) x(0, T) X (0, 7). Tada Tr ax [r [ dz [ sin(x +y+Z+u) du. (19) 0 s Integrale T | sin(x+y+Z+u)du 0 …
Excerpt
12. KAVALJERIO PRINCIPAS DAUGIAMATĖMS ERDVĖMS 3 uždavinys. Apskaičiuosime trilypį inte- gralą 2= [ff oydeavas, - jei ESC > )ER RES SE 2 0520) (56 pav.). Pažymėję yr aibės E charakteristinę funkciją ir pasirėmę integralo aibe E apibrėži- mu, gauname: 56 …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI A lEatvejis: |EE, 2022 Šiuo atveju aibės E£ charakteristinė funkcija x; integruojama erdve R" xR", t. y. yp < L(R" x R"). Pagal Lebego mato apibrėžimą (XI. 8) ir Fubinio teoremą - IEl= [| x665 )dxdy= [dk [geo Nd. (2) R" xR" pa …
Excerpt
12. KAVALJERIO PRINCIPAS DAUGIAMATĖMS ERDVĖMS (57 pav.). Jei aibę E įsivaizduosime kaip trimatį kūną, tai | £| bus kūno E tūris, o | E(x,) | — to kūno pjūvio plokštuma X=xA, plotas. Taigi šiuo atveju (1) lygybė reiškia, kad kūno E tūris yra lygus jo …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI 13. Kintamųjų keitimas daugialypiuose integraluose Sakykime, kad E yra atvira erdvės R" taškų aibė, g — tolydžiai dife- rencijuojama funkcija E—R", t. y. g€ C1(E, .R"). Pažymėkime g15 --> g, — funkcijos g koordinatines …
Excerpt
13. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DAUGIALYPIUOSE INTEGRALUOSE > Teoremą įrodinėsime panašiai kaip teoremą apie kintamųjų keiti- mą dvilypiuose integraluose (X. 17). Sudarykime įrodymo planą. Įrodinėsime iš eilės šitokius teiginius: 1. Jei kiekvienam aibės E taškui …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI visoms funkcijoms fe L (g (4)) (ženklas „+“ prieš integralą (8) lygybėje pasirenkamas, kai A) 20 o ženklas „—“, kai „2500 < 0). Taigi įrodėme (6), kai funkcija g keičia tik n-ąją taško u= …
Excerpt
13. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DAUGIAILYPIUOSE INTEGRALUOSE Tada, suprantama, LT i PEŽŲ)S Apibrėžkime funkciją A: E-—-R" lygybe h (u) = (1, 82 (u), “3 Sn (u)), u=(t, -, U„) e E. Kadangi A — tolydžiai diferencijuojama“ aibėje E ir | 1 0 220 |seėsas i Oe Aki CE det …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Kai n= 1, teorema teisinga. Sakykime, kadn — bet koks natūrinis skai- čius ir teorema teisinga erdvėje R"-!, t. y. n— 1-lypiams integralams. Įro- dysime, kad tada teorema teisinga ir erdvėje R". Tegu E < R" ir funkcija g: £—R" …
Excerpt
13. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DAUGIALYPIUOSE INTEGRALUOSE nes pagal (10) 025 des | OUs | det Aš (uz, S S |=det (u). gn | Ous TED -- | l Iš (11) ir (12) lygybės, pasirėmę 2 teiginiu, gauname: [/= | /-g-|dta'| g (U) U visoms …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI (užrašas x*4+y*4+22 < Rž po integralo ženklu čia reiškia aibę taškų (x, v, z) < R“, kurie tenkina nurodytą nelygybę, t. y. rutulį su spinduliu R). Pakeiskime kintamuosius: X=r COS Ę sin, y=r sino sin, (13) Zz=r.COSŲ, …
Excerpt
13. KINTAMŲIŲ KEITIMAS DAUGIALYPIUOSE INTEGRALUOSE 27 R r S Ni p2-26 sin V dr do d) = f dr f do [p-s sin Ų dy = 2 LA Žo 4 Ba dit RS-29 3—256 Atskiru atveju, kai c=0, gauname: 4 I0= [If dx dydz=|D|=> TR, D t. y. rutulio D tūrį. Pastebėkime, kad pagal …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI tai IAE 2-2 A R 2 h lo 14 * dz = Th 0 -— 20 Be to, pagal Tonelio teoremą gauname I (6)= + 00, jei 6> 1. 3 pavyzdys. Apskaičiuokime n-mačio rutulio B„(R)=(x < R": |x| < R), R> 0, tūrį | B, (R) |. |B,(R)|= [ 4x= bs jas: das …
Excerpt
13. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DAUGIALYPIUOSE INTEGRALUOSE Pažymėję 1 = [ A—u* Rd, k=0, 1,2, Ce, A (18) lygybę galime perrašyti šitaip: = I Yas (19) Integruodami integralą I, dalimis, gauname: k-2 k- 2 EA [amo du=k [esi 5a 7 di — —1 k k-2 i [am du+k [| (1-1) * …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Jei n — lyginis skaičius, tai pakartotinai pritaikę (23) lygybę gauname: 2 Pr 2 (27)/1-1 a tagai m AA T aTa „ (24) n n(n-2)... nes Ys= T. Jei n — nelyginis skaičius, tai vėl pakartotinai pritaikę (23) lygybę gauname: nzl (27) ? …
Excerpt
15. NETIESIOGINIAI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Sakykime, kad => 0. Kadangi f — tolydi taške a, tai egzistuoja toks 6> 0, kad f(a) —s …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Sakoma, kad f f konverguoja, jei I egzistuoja ir yra baigtinis; priešingu E atveju sakoma, kad | f diverguoja. Netiesioginis integralas f f vadina- E mas absoliučiai konverguojančiu, jei f tenkina (2) sąlygą. Jei f < L (E), tai …
Excerpt
16. RYMANO DAUGIALYPIS INTEGRALAS Pavyzdys. Apskaičiuosime trilypį integralą C a XV I(0=(0) | ! [ => 20420 aibe =, y 2)S RX R 05 E Or 01) Pažymėkime B. rutulį su centru taške (0, 0, 0) ir spinduliu 5/2. "reiia 25 Kadangi aibėje D integralo I («) …