Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Pirmoji pagrindinė lema. Jei laiptuotų stačiakampyje O funkcijų seka (o,) mažėja ir „0 beveik visur stačiakampyje O, tai lim EI 0, (x, y) dxdy=0. (1) 0 > 1) Pažymėkime E, aibę tokių taškų (x, y») < O, kuriems Luis 0, (X, V)* 0, …
Excerpt
5, PIRMOJI PAGRINDINĖ LEMA aibis. Todėl egzistuoja toks 1, < N, kad 9, (x, y) < < visiems (x, y)€g; ir juo labiau o, (x, ») < < visiems (X, y) € g, ir visiems n> n,. Didžiausią iš tokių skaičių 74 pažymėkime N. Pasirinkime n> N. 5 I Ikkes sė > ra5Iklt …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI 6. Antroji pagrindinė lema Nagrinėsime didėjančias laiptuotų stačiakampyje O funkcijų sekas 9). Jei seka (0,„) didėja, tai seka (9,—2,) yra didėjanti neneigiamų laiptuotų funkcijų seka. Todėl kiekviename taške (x, y) < O arba abi …
Excerpt
7. BENDRAS DVILYPIO INTEGRALO APIBRĖŽIMAS Kadangi stačiakampių sistemą -Zk+,,„ sudarėme papildę sistemą us tam tikrais stačiakampiais, tai Xi .S XZyii,. Visiems ke N. (1) 2. Jei sistemą .Z,,„ sudaro stačiakampiai 4, ..., g, tai 2 m M m M u=> || > X) [| > …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI . tegruojamų funkcijų klase (VII.5). Panašiai apibrėšime ir dvilypį dviejų. kintamųjų funkcijos integralą stačiakampiu O. Sakykime, kad O — bet koks baigtinis arba begalinis, atviras, užda- ras arba pusiau uždaras stačiakampis …
Excerpt
7. BENDRAS DVILYPIO INTEGRALO APIBRĖŽIMAS Pavyzdys. Sakykime, kad f, => jei j-1s|a| …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI se stačiakampio O taškuose, tai funkcijų 04 apibrėžti „laiptuoti kūnai“ (erdvės Rš aibės) A,=į(3, J, z)ERė: (x, v)e0, …
Excerpt
8. DVILYPIO INTEGRALO APIBRĖŽIMO KOREKTIŠKUMAS 1 teorema. Jei (94) ir (Wy) yra dvi didėjančios laiptuotų stačiakampyje O funkcijų sekos ir LDB Ok (x, B Ur (x, J) (1) beveik visur stačiakampyje O, tai im [ | ae(as 0) dady < lim [ | es 9) dady. (2) > …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI 2 išvada. Jei f, g < L4(O) ir f(x, y) Pagal L;(0O) apibrėžimą egzistuoja tokios didėjančios laiptuotų funkcijų sekos (95) ir (4), kad 9,—> /f ir U„—g beveik visur stačiakampyje OF BE TOS IE ok < M, ir (Bi Ų /+g beveik visur ir IE (G …
Excerpt
9. PAPRASČIAUSIOS DVILYPIŲ INTEGRALŲ SAVYBĖS 9. Paprasčiausios dvilypių integralų savybės 1 teorema. /ntegruojamos stačiakampyje O funkcijos reikšmės yra beveik visur šiame stačiakampyje baigtinės. > Jei fe L;(0), tai egzistuoja tokia didėjanti laiptuotų …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI 3 teorema. Jei f, ze L(O) ir ce R, tai: 1) cfe L(O) ir [f 6 pady=c | [166 7) dsdy; 0 0 2) f+g 0 ir f < L,(0O). Tada egzistuoja tokia didėjan- ti laiptuotų funkcijų seka (0,4), kad 9;—7 beveik visur, f | 0, [Js Laiptuotų funkcijų …
Excerpt
9. PAPRASČIAUSIOS DVILYPIŲ INTEGRALŲ SAVYBĖS beveik visur. Iš tų lygybių išeina, kad J+8=(A+81)-(/> +2> ) beveik visur, be to, /1+-81, /-+g> € £4(0) pagal lemą iš X.7, todėl /+ +g€L(0O) ir LEA OS -[[s+ [f a- [[1-[[a= (L [5- [1A+([[a- [f 8) [Je [Je 3) Jei …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI 3 išvada. Jei O — baigtinis stačiakampis, f < L(O) ir m 3 beveik visur, ir egzistuoja to- kie M,, M,c < R, kad i …
Excerpt
9. PAPRASČIAUSIOS DVILYPIŲ INTEGRALŲ SAVYBĖS Pastebėkime, kad laiptuotų funkcijų sekos (min (gi, 14) ir (max (or, V;)) didėja, min (pp, min (/; g) ir max (ok, 4)-> max (7, g) beveik vi- sur stačiakampyje O. Be to, min (9;, …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI 5 teorema. Tegu 2 yra kokia nors stačiakampio O dalai U— > m) — dalos 2 daliniai stačiakampiai ; 1) jei fe L (O), tai fe L (ą;) visiems Ia In IE [f re naxdy= 7, J f 70 Adadys (4) 0 i=1 4; 2) jei f€ L (g;) visiems i=1, ..., m, tai fe …
Excerpt
10. TOLYDŽIŲJŲ FUNKCIJŲ DVILYPIAI INTEGRALAI g; sienos taškas. Aišku, seka (34) didėja stačiakampyje O ir 24—/ beveik visuose vidiniuose dalinių stačiakampių g, taškuose, t. y. beveik visur stačiakampyje O. Be to, If = X If n= X ff aus X M=M Sakykime, kad …
Excerpt
"| X DVILYPIAI INTEGRALAI j=0, 1, ..., 2". Pažymėkime P.= [X X Xn Į, P.= (0 ao) sieks Jr J. Sistema -2,= f P/,, P,,) yra stačiakampio O dala. Pažymėkime Gm, U= = tak) — Hdlašė 2.„atviruosius dalinius stačiakampius ir Um, j— funkcijos tikslųjį apatinį rėžį …
Excerpt
11. PERĖJIMAS PRIE RIBOS DVILYPIUOSE INTEGRALUOSE ir juo labiau JO, Y)-e N. Tai ir reiškia, kad lim o, (x', »)=f(6', y'). Įrodėme, kad funkcijai J egzistuoja tokia didėjanti laiptuotų stačiakam- pyje O funkcijų seka (9„), kad o„—> / beveik visur …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI visiems ke N, tai ribinė funkcija J(x, V) > (x, J) irgi yra integruojama stačiakampyje O ir lim | [AC »)dedy= | | F6 »)dxdy. (I) 0 0 > Įrodymas toks pat kaip Levi teoremos vieno kintamojo funkcijoms (VII. 10). < 1 išvada. Jei …
Excerpt
11. PERĖJIMAS PRIE RIBOS DVILYPIUOSE INTEGRALUOSE visiems ks N, tai f€ L (O) ir ž T f f 5) dsdy < Tim [| | Aš 3) dady. 0 ko 0 [> Įrodoma taip pat kaip Fatu lema vieno kintamojo funkcijoms (vn 2s 4 Teorema apie ribinės funkcijos integruojamumą. Jei …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Sakysime, kad ; [f £6 Ndsdy=-o, 0 : ž jei [f (76 »)ddy= +. 0 Funkcijų, kurių dvilypiai integralai yra begaliniai, nevadinsime inte- gruojamomis. Tokios funkcijos nepriklauso klasei L (0). Remiantis begalinio dvilypio integralo …
Excerpt
12. IŠMATUOJAMOS FUNKCIJOS IR IŠMATUOJAMOS AIBĖS 12. Išmatuojamos funkcijos ir išmatuojamos aibės 1 apibrėžimas. Funkciją f vadinsime išmatuojama Lebego prasme sta- čiakampyje O, jei ji beveik visur tame stačiakampyje yra lygi salia NOrS laiptuotų …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Pastaba. Kai kuriose knygose ploto ir plokščiojo Lebego mato sąvo- kos skiriasil, Aišku, kad pagal apibrėžimą baigtinio stačiakampio O= (a, b) x (c, d) Lebego matas yra m(0)= | | ž0= [| -1=1-10l=6-9(d—0, R* 0 t. y. sutampa su …
Excerpt
12. IŠMATUOJAMOS FUNKCIJOS IR IŠMATUOJA MOS AIBĖS A At ini adas A Amano k, skritulys B su centru taške (x, y) ir spinduliu r, kad Bc A. Tada atviras sta- čiakampis (m LA 5 =)5( == +17) B IB4N EE B (t. y. įbrėžtas į skritulį B kvadratas) yra skritulio B …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI > yra suskaičiuojamos aibės 001 poaibis, todėl Ė — baigtinė arba suskai- čiuojama aibė, ir todėl stačiakampių (a, b)x(c, d)=V sistema 07 — baigtinė arba suskaičiuojama. < Įrodėme, kad bet kokia atvira plokštumos R? aibė A yra …
Excerpt
| | | Ė br : . | i 12. IŠMATUOJAMOS FUNKCIJOS IR IŠMATUOJAMOS AIBĖS Bet 04> O), nes kiekvieno aibės O|A taško kiekvienoje aplinkoje yra taš- kų su racionaliomis koordinatėmis, taigi aibės A taškų. Kaip matome, m (04) > m (014) > 2/3. 8. teorema. Aibė EC. …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI 2 — sistema visų galimų laiptuotų daugiakampių B, tenkinančių sąlygą B> E (36 pav.). Laiptuotų daugiakampių A ir B plotus pažymėkime ati- tinkamai | A | ir |B |. Skaičių |El|„=sup(|A|: Ae/) vadinsime aibės E vidiniu Žordano matu, …
Excerpt
13. DVILYPIO INTEGRALO SUSKAIČIUOJAMASIS ADITYVUMAS yra funkcija, integruojama visa plokštuma R?, t. y. jei ji € L (R?); funkcijos J integralą aibe E apibrėšime lygybe [J -[1/ 1 teorema. Sakykime, kad plokštumos R? taškų aibės E ir e yra išma- tuojamos …
Excerpt
X. DVILYPIAI INTEGRALAI 1) jei E LUP) Ataijs E(ep) (1 ni [J f65 Naxav= > ; | J 76, 5) dady: 2) E k=1 2 2) jei fe L (e,), kai k=1, ...,n, tai f€ L (E) ir teisinga (2). 2 teorema (apie dvilypio integralo suskaičiuojamą adityvumą). Saky- kime, kad …
Excerpt
13. DVILYPIO INTEGRALO SUSKAIČIUOJAMASIS ADITYVUMAS Apibrėžkime funkcijas /; lygybe: f =max(-kF, min(f, kF)), keN, (5) beveik visur aibėje E (tuose aibės E taškuose, kuriuose apibrėžta funkcija £). Iš (5) išeina, kad |/4 | 0 ir tokį Ne N, kad būtų I …