Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Todėl lim Z6+0D-/0-L0)| H-—-0 (hl LJ 6) ES Obvisie ms 45 R D 4 teorema. Jei Le 2 (R", R"), tai Rato visiems 50ERC t. y. tiesinės funkcijos L išvestinė bet kuriame taške x yra lygi pačiai tiesi- nei funkcijai. > …
Excerpt
17. FUNKCIJŲ R"-—-RmM DIFERENCIJAVIMAS D Pažymėkime L,=/' (a), L,=g' (6), «x (h)=f(44+1h) — f(a) — L, (h), heR", B(k)=g(b+k)—g(b)—L5(k), keR". Tada «x (h)=0 (h), kai h—0, ir B(k)=o (k), kai k—0. Jei b=/(a) ir K=f(a4+h)—/ (a), tai f(44+-h)=f(a)+-k=b+k ir …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS kad f (a) =P- I (9) (IX. 16, 1 teorema). Matricą P vadinsime tiesinės funkcijos f“ (a) matrica. Kartais matricą P žymėsime matr f' (a). Bandysime atsakyti į klausimą, kaip rasti matricos P=matr f' (a) ele- mentus p;j. a …
Excerpt
17. FUNKCIJŲ R'—-Rm DIFERENCIJAVIMAS ir a; (A)=0 (h), kai /—> 0. Todėl f(a+h)-f(0)=(A(a+1)—A(0), .-- fa (a+h)— fa (0))= = (L, (h)+-24 …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 8 teorema. Jei funkcija f: R"-—-R" yra diferencijuojama taške ae R", f (=1, ..., m) yra funkcijos f koordinatinės funkcijos ir P yra koordinati- nių funkcijų dalinių išvestinių taške a matrica: AC AC) X, “ip 0x, PES T . (15) …
Excerpt
17. FUNKCIŲ Rn-+Rm DIFERENCIJAVIMAS 7 teoremą ir funkcija 7 diferencijuojama kiekviename taške (x, y) € R?. Taške (1, 1) gauname 4 2 RES IES 2 72 1 2 Jei h=(h,, h,) < R*, tai pagal 8 teoremą 4 2 iš 4h, + 2ho VE 0UEDO)=B-L2 IAE LZ ( A J- 2h—2hRE 1207) 1 2 …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Vadovėlio I dalyje buvo apibrėžta tolydžiai diferencijuojamos aibėje AcR funkcijos f: R--R sąvoka. Šią sąvoką apibendrinsime funkcijoms (BI =AR. 3 apibrėžimas. Funkciją f: R"--R" vadinsime tolydžiai diferencijuoja- ma atviroje …
Excerpt
18. TEOREMA APIE ATVIRKŠTINĘ FUNKCIJĄ = esu 2 7 DE RA Eunkcijos LZ 20j1 koordinatinė funkcija (i=1, ..., 1). fK(X)-KO)= = f; (Xi, x5, OOC Xr) =ij (x1; X;, si ažsis Xn) E lo O O) O a a S +; (x1, 3 Xn 15 Xa) = (1, D B R) Pritaikę 2 kartų Lagranžo vidurinių …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS atvirkštinė funkcija L-!, apibrėžta lygybe L-1(y)=4-1- y. Pagal IX. 16, 2 teoremą egzistuoja toks M> 0, kad | L-1(y) …
Excerpt
18. TEOREMA APIE ATVIRKŠTINĘ FUNKCIJĄ visiems x < U (i, j=1, ..., n). Pagal lemą Ig 6)=e(4)| < en? |x'—3"|, |L6'—-+)-(f6)-/6))| m |x'—x" |. Todėl, jei …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS o aibės U sienos taškuose £ < 0U VeE)=/E)-V|> (0-x|-|»-»|> d-dl2, L g(€)> (d/2), tai g (x*) ) ia 0 Olaus) OCE 3 21... + 200 zu kurios koeficientų matricos Of, (x*). 0X; determinantas det f“ (x*) pagal aibės U pasirinkimo būdą …
Excerpt
18. TEOREMA APIE ATVIRKŠTINĘ FUNKCIJĄ čia a (h')=0 (| A" |), kai A'—0. Tada X(1')=y+A-y—a (h') h'=A-oX(h')=A—1(h)—A- og (h'). Tačiau A'=f—1(v4-A)=—x=/f71(v+h)—/71 (y), todėl T I0+H-f16) =) —A-: (a (4). (4) Kadangi funkcija X-1 yra tiesinė, tai egzistuoja …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS x funkcijos, tai ir (matr 2) “1 elementai 4;,/ det * yra tolydžios taško x funkcijos. Bet 2—1=(f—7)' (y). Todėl (matr 2)! elementai yra lygūs ir funk- cijos f—1 koordinatinių funkcijų dalinėms išvestinėms taške y=/ (x), t. y. …
Excerpt
11. FUBINIO IR TONELIO TEOREMOS Seka (94 (Ga »)) konverguoja beveik visiems (x, y) < A x B prie f(x, y), t. y. egzistuoja tokia nulinio Lebego mato erdvėje R" x R" = R"+n aibė EE AX BS kad a Pk (x, y) =f(x, 2) (7) visiems (X, ») e (A x B)E. Kiekvienam x e …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI ir [ak [6 pdy= | dy | 76 Ada. (8) A B B A be aria a a keis URL Tonelio teorema. Sakykime, kad A yra m-matis stačiakampis gretasie- nis ir B yra n-matis stačiakampis gretasienis; jei f — neneigiama ir išmatuo- jama m+-n-mačiame …
Excerpt
11. FUBINIO IR TONELIO TEOREMOS (Xa,x5, — Charakteristinė gretasienio A; xB; funkcija). Funkcija g, — išmatuojama gretasienyje A,xB, kaip dviejų išmatuojamų funkcijų sandauga. Be to, …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI 2 išvada. Jei f yra išmatuojama stačiakampiame gretasienyje AxB funkcija, tai fe L(A xB) tada ir tik tada, kai bent vienas iš integralų [a [re olas arba [dy [6 las 2 B B 4 yra baigtinis. [> Įrodoma kaip Tonelio teoremos …
Excerpt
11. FUBINIO IR TONELIO TEOREMOS Bendruoju atveju, jei O yra n-matis stačiakampis gretasienis, t. y. O0=(a, b)x... x(a,, b)cR", ir fe L (0), tai, n kartų pritaikę Fubinio teoremą, gaunamę 6; 6, 5. [f0dx= Ika Ika Iro a ao. (6 0 a a; a n 1 pavyzdys. …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI 2 pavyzdys. Apskaičiuosime keturlypį integralą = IaIšiai sin (x +y4+Z+u) dxdy dzdu, 0 jei O — keturmatis kubas: O=(0, 7) x (0, 7) x(0, T) X (0, 7). Tada Tr ax [r [ dz [ sin(x +y+Z+u) du. (19) 0 s Integrale T | sin(x+y+Z+u)du 0 …
Excerpt
12. KAVALJERIO PRINCIPAS DAUGIAMATĖMS ERDVĖMS 3 uždavinys. Apskaičiuosime trilypį inte- gralą 2= [ff oydeavas, - jei ESC > )ER RES SE 2 0520) (56 pav.). Pažymėję yr aibės E charakteristinę funkciją ir pasirėmę integralo aibe E apibrėži- mu, gauname: 56 …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI A lEatvejis: |EE, 2022 Šiuo atveju aibės E£ charakteristinė funkcija x; integruojama erdve R" xR", t. y. yp < L(R" x R"). Pagal Lebego mato apibrėžimą (XI. 8) ir Fubinio teoremą - IEl= [| x665 )dxdy= [dk [geo Nd. (2) R" xR" pa …
Excerpt
12. KAVALJERIO PRINCIPAS DAUGIAMATĖMS ERDVĖMS (57 pav.). Jei aibę E įsivaizduosime kaip trimatį kūną, tai | £| bus kūno E tūris, o | E(x,) | — to kūno pjūvio plokštuma X=xA, plotas. Taigi šiuo atveju (1) lygybė reiškia, kad kūno E tūris yra lygus jo …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI 13. Kintamųjų keitimas daugialypiuose integraluose Sakykime, kad E yra atvira erdvės R" taškų aibė, g — tolydžiai dife- rencijuojama funkcija E—R", t. y. g€ C1(E, .R"). Pažymėkime g15 --> g, — funkcijos g koordinatines …
Excerpt
13. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DAUGIALYPIUOSE INTEGRALUOSE > Teoremą įrodinėsime panašiai kaip teoremą apie kintamųjų keiti- mą dvilypiuose integraluose (X. 17). Sudarykime įrodymo planą. Įrodinėsime iš eilės šitokius teiginius: 1. Jei kiekvienam aibės E taškui …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI visoms funkcijoms fe L (g (4)) (ženklas „+“ prieš integralą (8) lygybėje pasirenkamas, kai A) 20 o ženklas „—“, kai „2500 < 0). Taigi įrodėme (6), kai funkcija g keičia tik n-ąją taško u= …
Excerpt
13. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DAUGIAILYPIUOSE INTEGRALUOSE Tada, suprantama, LT i PEŽŲ)S Apibrėžkime funkciją A: E-—-R" lygybe h (u) = (1, 82 (u), “3 Sn (u)), u=(t, -, U„) e E. Kadangi A — tolydžiai diferencijuojama“ aibėje E ir | 1 0 220 |seėsas i Oe Aki CE det …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Kai n= 1, teorema teisinga. Sakykime, kadn — bet koks natūrinis skai- čius ir teorema teisinga erdvėje R"-!, t. y. n— 1-lypiams integralams. Įro- dysime, kad tada teorema teisinga ir erdvėje R". Tegu E < R" ir funkcija g: £—R" …
Excerpt
13. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DAUGIALYPIUOSE INTEGRALUOSE nes pagal (10) 025 des | OUs | det Aš (uz, S S |=det (u). gn | Ous TED -- | l Iš (11) ir (12) lygybės, pasirėmę 2 teiginiu, gauname: [/= | /-g-|dta'| g (U) U visoms …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI (užrašas x*4+y*4+22 < Rž po integralo ženklu čia reiškia aibę taškų (x, v, z) < R“, kurie tenkina nurodytą nelygybę, t. y. rutulį su spinduliu R). Pakeiskime kintamuosius: X=r COS Ę sin, y=r sino sin, (13) Zz=r.COSŲ, …
Excerpt
13. KINTAMŲIŲ KEITIMAS DAUGIALYPIUOSE INTEGRALUOSE 27 R r S Ni p2-26 sin V dr do d) = f dr f do [p-s sin Ų dy = 2 LA Žo 4 Ba dit RS-29 3—256 Atskiru atveju, kai c=0, gauname: 4 I0= [If dx dydz=|D|=> TR, D t. y. rutulio D tūrį. Pastebėkime, kad pagal …