Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI yra laiptuotos, taigi ir integruojamos, neneigiamos ir jų integralų eilutė konverguoja, tai pagal Levi teoremą funkcijų eilutėms (VIII. 4, 2 teore- ma) > Bl, O) < X (3) k=1 beveik visiems x € R. Sakykime, kad taške x,€ R teisinga …
Excerpt
15, FUBINIO IR TONELIO TEOREMOS 1 giai apskaičiuoti dvilypių integralų. Šiame poskyryje išsiaiškinsime, kaip galima dvilypių integralų skaičiavimą suvesti į vienalypių integralų skai- čiavimą. Sakykime, kad A ir B — du bet kokie realiųjų skaičių aibės R …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Sakykime, kad fe L,(AxB). Pagal L, apibrėžimą egzistuoja tokia laiptuotų stačiakampyje 4 x B funkcijų seka (2;), didėjanti ir konverguo- janti beveik visur plokščiojo Lebego mato atžvilgiu į /, kad [f /= in [|] e (4) AxB AxB Pagal …
Excerpt
15. FUBINIO IR TONELIO TEOREMOS visiems (x, y) e (A x B)E. Pažymėkime E (x) aibės E pjūvį taške x: E(x)=[(yeB: (x, yleE). Pagal teoremą apie nulinio mato aibių pjūvius (X. 14) aibės E (x) yra nu- linio linijinio Lebego mato aibės beveik visiems x € 4. …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI ir panašiai [| 7= | 6 [76 has. AxB B A Iš šių lygybių išplaukia (8). …
Excerpt
15. FUBINIO IR TONELIO TEOREMOS 2 atvejis. Stačiakampis A xB — begalinis. Egzistuoja tokios baigti- nių intervalų sekos (4;) ir (B,), kad Ap < Apį) < A, BC B;,CB visiems keN, 64] AS Al Ais (J B;,=B k=1 kZi Di US funkcijas g4 lygybėmis Sk Ex=J: Xa, xB, > …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI kai funkcija f tenkina (11) sąlygą, yra teisinga (10) lygybė. > Jei feL(AxB), tai ir |f|EL(Ax B) ir pagal Fubinio teoremą, pritaikytą funkcijai | / |, yra teisingos (11) nely- gybės. Ir atvirkščiai, jei / — išmatuojama ir tenkina …
Excerpt
16. KAVALJERIO PRINCIPAS todėl 1 1 2 2 1 : 2) 12 y UZ 1 | dx i (x2 + y2)2 dy= [ x +-y2 |y=0 dk = 0 0 0 R 1 lp aė Ua lai La 5 s! T dx arctgX|o= 7 0 Antrasis integralas apskaičiuojamas analogiškai. Stačiakampyje (0, 1) x x(0, 1) funkcijos f dvilypis …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Todėl (2) lygybę galima užrašyti šitaip: m.(E)= | dx | xs050)dv= | m (E 6)) dx. R R R Kadangi funkcija m, (E (x)) integruojama intervale R=(— oo, 400), tai ji yra ir išmatuojama. 2 : 2 atvejis. m; (E)= oo. Pažymėkime O,=(—k, k)x(-k, …
Excerpt
17. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DVILYPIUOSE INTEGRALUOSE kiekvienai / < L (a, b). Jei g mažėja, tai panašiai įrodinėdami gautume: b a . 8 ) i [/04x= [ /(s0)s' (0a= | Ke) (-0)d (2) a B a 1 Kai g — griežtai mažėjanti funkcija, tada …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI tai Ik, [ f, y) dxdy= / | f(g(u, 2))-|detg' (u, 2)|dudo (8) £(E) visoms funkcijoms f < L (g (E " Pastaba. (8) lygybę galima ir detaliau užrašyti. Iš (5) lygybės išplau- kia, kad „senieji integravimo kintamieji Xx ir y“ yra susieti …
Excerpt
17. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DVILYPIUOSE INTEGRALUOSE 4. Kiekvienam aibės Z taškui egzistuoja atvira stačiakampė aplinka g, kurioje g=k=/h ir funkcijos h, k savo apibrėžimo aibėse g ir A (g) tenki- na teoremos sąlygas ir keičia tik po vieną taško koordinatę. …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Apibrėžkime aibes e; lygybėmis k-1 aaa 78 das 523 j=1 Tada k-1 s(e)=:0) Ir s(e)=s (6) | | £ (60, k=2, 3, --. j=1 Kadangi aibės g, ir g (44) — išmatuojamos, tai ir aibės e; ir g (e;) — iš- matuojamos (X. 12). Be to, aibės e; poromis …
Excerpt
17. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DVILYPIUOSE INTEGRALUOSE Kadangi pagal teoremos sąlygas det g“ (u, 2) Z0 visiems (u, 9) eg ir 1 det g' (u, 0)= | Ops lu, v) Og> (u, 0) — ME 0 , 0u 00 tai Aa) *0 visiems (u, 9)eg, todėl kiekvienam fiksuotam ue(ax, B) vieno kintamojo …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Tada [| 7- [J f= | | fekldik'|= g (E) k (r (E)) h (E) k f(kls, £))|det k' (S, t)|dsdt= = [f 7 (k (hu, 2))) Įdetk' (I (u, 2) |-|det/' (u, e) |dudo= E Ž J)! f(g(u, 2))|detg' (u, v)| duda, E t. y. teorema teisinga funkcijai g=ke/A, jei …
Excerpt
17. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DVILYPIUOSE INTEGRALUOSE Tada koh(u, 0)=k(h(u, v))=k (ga (u, 0), 0)= = (gi (us 2), gaoh7 (hi (u, 2)))= (Bi (u, 2), gau, 2))=a (t, 0). Pagal teoremą apie sudėtinės funkcijos išvestinę (IX. 17, 6 teorema) a (Ua) k (h (u, 2))eh/ (u, 2) …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI ir m(g(E)) < ol. Tada [[ 1-1] aoo- J] a4letoi (14) (E) g(E) ir (13) gaunama perėjus prie ribos (14) lygybėje, kai …
Excerpt
12. FUNKCIJŲ R"—-R DALINĖS IŠVESTINĖS Taigi sekos (x“?) taškų koordinačių sekos (x49), ..., (x*0) tenkina Koši kriterijaus skaičių sekoms sąlygas (II. 7). Todėl šios koordinačių sekos kon- verguoja ir pagal 1 teoremą erdvės R" taškų seka (x€*) irgi …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Taigi funkcijos f dalinės išvestinės kintamuoju x; reikšmė taške a yra realios vieno realaus kintamojo x; funkcijos g (x;)=/ (43, .-., Gk15 Xks Ūkis +, 4,) išvestinės reikšmė taške x,= g. Norėdami rasti funkcijos / dalinę …
Excerpt
12. FUNKCIJŲ R'—-R DALINĖS IŠVESTINĖS Sakykime, kad xa, xe V. Tada J0)-7(0)= =f(Xų, Xa, Xzs X.) —f(a;, X3, Xzr5 Eoala +/ (ai, X, Az Tr) — f(a, a;, X3, 5 255: Tf(0> 58 ak dei, a alia S (Gr «+ Aka Ak Xkkios 5 x,)-+ elja Jau a aleja a ee) el apa žiale e a aa …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Tegu 0. Kadangi funkcijos f dalinės išvestinės yra tolydžios taške a, t. y. In AGS Ejo) OXų OXx > IE - sm, tai egzituoja toks Š> 0, kad (A62) Of (a) | sK | Pas 15 Ee Eos 2) 0. Iš (5) lygybės išplaukia: | 21046) - e |xk—Gp| Es …
Excerpt
12. FUNKCIJŲ R"—R DALINĖS IŠVESTINĖS kai h—0. Jei skaičiai c4, …
Excerpt
X KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS > Perėję (6) lygybėje prie ribos, kai 4—0, gausime: Iim (7 (a + 1) -/ (6))=1im (/()-/(0))=0, todėl lim f(x) =/ (a), t. y. funkcija f — tolydi taške a. Pasirinkime ke N, …
Excerpt
12. FUNKCIJŲ R"—R DALINĖS IŠVESTINĖS 3 teorema. Jei kokioje nors taško a e R" aplinkoje egzistuoja funkcijos J Je S. J [J „S i Of 0 E AS V. f: R"-—-R dalinės išvestinės r asas ir tos dalinės išvestinės yra to- a CX; Ž - An Jydžios taške a, tai funkcija f …
Excerpt
X KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS =f(a+-h) (g (a+h)—g (a)) +g (a) (/(0+1)-/(1))= =/(a) (g (2+1)—g (a)) + (a) (/ (ah) —/(a))+ +(/(4+h)-f(a)) (g (2+/)-g (a))= =/ (a) (d, g (2) + 25 (h)) +8 (a) (d, f …
Excerpt
13, AUKŠTESNIŲJŲ EILIŲ DALINĖS IŠVESTINĖS Funkcijos f: R-R išvestinės taške a, t. y. f (a), nereikia painioti su a 0). : dalinių iš- funkcijos / dalinių išvestinių reikšmėmis taške a, t. y. su vestinių reikšmės taške 4 yra realieji skaičiai, o f' (a) yra …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS si p Ai Ri 02 į Ž A 2 S a Jei antroji išvestinė 2 egzistuoja aibėje A, tai jos dalinė išvestinė i J 0 02. JA : | : .- 0 S Ž 2) kintamuoju x; vadinama funkcijos f trečiąja daline išves- PAS MRR ABS 0 f tine kintamaisiais X;, …
Excerpt
13, AUKŠTESNIŲJŲ EILIŲ DALINĖS IŠVESTINĖS 1 teorema (apie mišriąsias dalines išvestines). Jei kokioje nors taško (a,b) e R? aplinkoje egzistuoja funkcijos f: R?—-R baigtinės mišriosios dalinės ef 2E0p os reikšmės taške (a, b) yra lygios, t. y. Oa) OEG) …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS čia 0,, 0, todėl iš (3) ir (5) išeina, kad 0* f(a+0,h, b+0, k) 0 f(a4+0,h, b+0; k) : 0X Oy Oy 0x 2 (6) čia 0,, 0,, 05, 0, < (0, 1) ir …
Excerpt
13, AUKŠTESNIŲJŲ EILIŲ DALINĖS IŠVESTINĖS rencijuojama aibėje 4 funkcija kiekvienam fiksuotam AeR". Du kartus diferencijuojamos aibėje 4 funkcijos antruoju diferencialu d; f, atitinkančiu pokytį A, vadinsime pirmojo diferencialo diferencialą: d; f=d,, (d, …