Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI H> Teoremą pakanka įrodyti tuo atveju, kai kreivė o yra glodi. Tegu te (a, b). :Pažymėkime A=0 (a), M=9o (t). Pagal XIII. 1, (11) ir (12) lygybės s«0= | VEO TVO 4 yra kreivės lanko AM B ir (= V (X 0Y+( 0) > 0 …
Excerpt
2. PIRMOSIOS RŪŠIES KREIVINIAI INTEGRALAI k S ASŲ 27 S f (1 —cos A) V(1 Zcos Ąž L sinž? d; =— 0 21 21 S aoo š Sad ins 2 Ža 24 cos f)?!* dt = 4a | sin 5 dt 7 2. 0 0 Pirmosios rūšies kreivinio integralo sąvoką nesunku apibendrinti ir tuo atveju, kai …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI L=o([a, b]) ir f: L — R, tai b || $(M) ds= [ JAD): GPS x, (1) V 0Y+ AS + (x,(0)" dt, (3) L a jeigu tik šios lygybės dešinėje pusėje užrašytas integralas egzistuoja. Bendruoju atveju (kai kreivė nebūtinai gabalais …
Excerpt
3. ANTROSIOS RŪŠIES KREIVINIAI INTEGRALAI 3. Antrosios rūšies kreiviniai integralai 1 apibrėžimas. Kreivęeo: [a, b|—-R" vadinsime uždarą ja, jei o (a) =o (b); priešingu atveju kreivę vadinsime neuždarą ja. . 2 apibrėžimas. Sakysime, kad neuždaroje …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Kreivės orientaciją kartais patogu nurodyti brėžinyje. Jei brėžinyje pasirinktoje koordinačių sistemoje pavaizduota plokščios kreivės: [a, b-—- —R?, orientuotos parametrų didėjimo kryptimi, taškų aibė A=9 ([a, …
Excerpt
3. ANTROSIOS RŪŠIES KREIVINIAI INTEGRALAI arba f P(x, v) dx +0(x, y) dy, arba f P(M) dx + 0 (M) dy. R 1 Antrosios rūšies kreivinį integralą priešingai orientuota kreive o apibrėši- me lygybe: [ P(M) dx+0(M) dy= 2 b =— | (P(0- 50) *0+0(x0, »0) » 0) ar …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI ĮNTEGRALAI Pagal XIII. 2, 1 teoremą pastarąjį integralą galima išreikšti pirmosios rū- šies kreiviniu integralu: | (PG 5) dx+06 y) dy= | (PC V) cos 4 +0 (x, ») 005 B) ds. 5) ę ę Jeigu kreivė. ir jos liestinė orientuota …
Excerpt
3. ANTROSIOS RŪŠIES KREIVINIAI INTEGRALAI Pagal skaliarinės sandaugos erdvėje R" apibrėžimą (IX. i (7)), pritaikytą plokštumai Rž, …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Jei o: [a, b|—-R" — glodi ieniioėi kreivė, tai | A …
Excerpt
3. ANTROSIOS RŪŠIES KREIVINIAI INTEGRALA I b = 2 (P (x (2), x (0. Z()) x ()+0 (x (2), » (2), z (0) V ()+ +R(x (0), (0), z (0) = () dt. (9) (8) ir (8') lygybes šiuo atveju galime užrašyti šitaip: f F-(x, y, Z)dx1-F, (x, y, Z) dy+F,(x, y, 2lidz— 2 O | (Fes …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI tos su kreive 0, o kitam — priešingai orientuotos kreivės. Jei kreivės o, ir g, yra ekvivalentiškos ir vienodai orientuotos, tai kartais rašoma o> =9,; jei 2, ir > yra ekvivalentiškos priešingai orientuotos …
Excerpt
4. KREIVINIO INTEGRALO NEPRIKLAUSYMAS NUO INTEGRAVIMO KELIO 4. Sąlygos, kad kreivinis integralas nepriklausytų nuo integravimo kelio "Šiame poskyryje ir toliau visur šioje knygoje kreivę erdvėje R" supra- sime kaip tolydžią kompaktiškame intervale [a, 5] …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI A T] l Vt) 2 A i to A ) NS J TTT o 78 pav. 79 pav. būtų teisingos visiems (x, y) < D. Iš tikrųjų, jei (2) teisinga taške (x, y) < D visiems (dx, dy) e R, tai OF (x, 5 dF(x, =P, Ydx+066, yydy= ES dy ED Up visiems …
Excerpt
4. KREIVINIO INTEGRALO NEPRIKLAUSYMAS NUO INTEGRAVIMO KELIO taip, kad taškas C=(x;1+h, y,) irgi priklausytų aplinkai V. Sujunkime taškus B, ir C tiesės atkarpa, t. v. kreive Ap,c, kurios lygtys yra šitokios: | xX=X LA, Y=JY, …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI b Ė ( Pe 10) A OF (x (t), y (t) I EET 7 Tr SAS 0 5 y (1) dt = 0X 20 b dF(x (t), y(t) = | Do) dt=F (x (b), y (b))— F (x (a), y (a). Taigi, jai dF=Pdx+ O dy, tai | Pdx+045=FGB)-F(4). (5) 3 Ž AB Jei X,„ — kita klasės …
Excerpt
4. KREIVINIO INTEGRALO NEPRIKLAUSYMAS NUO INTEGRAVIMO KELIO B Įrodymas analogiškas 1 teoremos įrodymui. …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Pastebėkime, kad funkcija F(x, y, z)=xžyz tenkina (10a) sistemą, o krei- vės A galai yra A=(0, 1, 0) ir B=(sin 1, e, 1), todėl | 2Zxyzdx+x*zdy+x7ydz=F(B) — F(A)=e sin? 1. a Žinoma, funkcijos F išraišką tik …
Excerpt
5. KAI KURIE KREIVINIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAi kai As-—0. Šią lygybę sutrumpintai galima užrašyti šitaip: AU=f(M) As +0 (As), (5) kai As-—-0. Taigi, jei teisinga apytikslė lygyb AUž2f(M) As tikslumu o (As), kai As—0, tai teisingos (2) ir (4) lygybės. „Mažas“ …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Pagal sąryšio tarp pirmosics ir antrosios rūšies integralų formulę (XIII. 3, (11)) gauname darbo W išraišką ir antrosios rūšies kreiviniu integralu: W=|| Fedx + Edy + E,dz. (8) L Ši formulė dažniausiai ir …
Excerpt
5. KAI KURIE KREIVINIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAI 2 pavyzdys. Įrodysime, kad taškinio materialaus kūno sukurtame Niutono gravitaciniame lauke darbas nepriklausys nuo kelio formos. Pažymėkime 7214 masę taškinio kūno M,, sukuriančio gravitacinį lauką..- Jei m — …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Elektrostatinio lauko skaičiavimas. Sakykime, kad kreivėje L išdėstyti elektros krūviai, kurių linijinis tankis yra g (M). Apskaičiuo- sime, kokia jėga veikia kreivėje L išdėstyti elektros krūviai teigiamą vie- …
Excerpt
6. GRYNO FORMULĖ 81 pav. 82 pav. jėga šie krūviai veikia teigiamą vienetinį krūvį taške M,, jei taško M, at- stumas nuo tiesės yra A. Pasirinksime koordinačių ašis taip, kad ašis x sutaptų su tiese L, o taškas M, būtų ašyje y (82 pav.). Aišku, kad jėga F, …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI su griežtai monotoniškomis funkcijomis x, B ir y, tenkinančiomis sąlygas: «(x) …
Excerpt
6. GRYNO FORMULĖ c 6 c = | Pla +60)dx= | P(x, 26) dx— | P(x, 809) dx= a a b - [ P(x, y)dx- IEC y) dx— IEZC y)dx= AC AB BC =- | Pdx- | Pdx- [ Pdx=- [| PG, y)dx. AB BC Ča ėD Taigi šiuo atveju 0P | dxdy= — | Pax. (1) D D Pažymėję 2, u. ir v atitinkamai …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI koordinačių ašims, atkarpos (tiksliau sakant, kreivės x=const, arba y=const). Iš tikrųjų, jei, pavyzdžiui, kreivinio trikampio D kraštinė BC yra „tiesės, lygiagrečios ašiai y, atkarpa“, t. y. b=c ir u(y)=b visiems …
Excerpt
6. GRYNO FORMULĖ tai išl (2-7) dxdy= [| +| | = | Pdx + Ody + | Pdx+0Ody= Ox Oy D, 0D, 0D; [e fe s + + T Ta [a [+ [a [Pasa AB BCG CA. BM 4 MG CR wap BM MG Oi ON čia 0D pažymėta dviejų trikampių D, ir D, kraštinių aibė, laikant, kad dvi ekvivalenčios …
Excerpt
. XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI sąlygą: skirtingus taškus 7', £' < [a, b], t'Ža, atitinka skirtingi kreivės 0D taškai. Šio teiginio neįrodinėsime. Aibes DcR?, kurioms teisinga Gryno formulė, vadinsime G-aibėmis. 1 pavyzdys. Naudodamiesi Gryno …
Excerpt
7. SĄLYGOS, KAD KREIVINIS INTEGRALAS BŪTŲ LYGUS NULIUI Jei P (x, »)= —v ir O (x, y)=0, tai iš Gryno formulės išeina, kad 0D Sudėję (5) ir (6) lygybes, gauname dar vieną srities ploto išraišką kreivi- niu integralu: |D|=4 | xdv=ydx. (7) 0D 7. Sąlygos, kad …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI bet kokiems uždariems kontūrams 7, tenkinantiems teoremoje nurody- tas sąlygas. Pasirinkime srityje D bet kokį tašką M, (Xą, Vo) ir pažymėki- me A, apskritimą, kurio centras yra Mą, o spindulys lygus r. Kadangi …
Excerpt
8. SĄLYGOS, KAD Eni BŪTŲ FUNKCIJOS DIFERENCIALAS 8. Sąlygos, kad reiškinys Pdx + Ody būtų kokios nors funkcijos diferencialas 1 apibrėžimas. Aibė …