Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Pasirinkime tašką A < D. Bet kurį srities D tašką B sujunkime su taš- ku A tiesės atkarpa AB, orientuota kryptimi iš A į B, ir apibrėžkime funk- ciją F lygybe: F(B)= | PCs, H)dx+06, dy (4) AB bet kokiems taškams B …
Excerpt
8. SĄLYGOS, KAD Pdx+4Ody BŪTŲ FUNKCIJOS DIFERENCIALAS Iš (6) išplaukia, kad x1+h 1 Flx,+h, 2 Vi) = [ P(x, 7,) dx = f P(x,+ th, y,) dt; ži 0 perėję prie ribos, kai 4—0, gauname: 1 lim Fl(x,+hA, EG Ja) = | Plėžų 2 LE—1BlCGS Ji), H—0 s 0 OF (Xi, Ya) A ai …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Pastebėkime, kad teorema būtų neteisinga, jei teoremos formuluo- tėje D būtų bet kokia sritis (nebūtinai iškila). Tai galima įrodyti šitokiu pavyzdžiu: sakykime, kad D yra „žiedinė“ sritis =[ (x, y) e R*: 2] |. …
Excerpt
6. SĄLYGOS, KAD Pdx4+0dy BŪTŲ FUNKCIJOS DIFERENCTIALAS Pagal XIII. 4, 1 teoremą nėra tokios vienareikšmės funkcijos F, kuriai dF=P dx+ O dy žiedinėje srityje D (žiedinė sritis, suprantama, nėra iš- kila). " 1 teoremoje iškilumo sąlygą galima pakeisti …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Jei (9) lygtį pavyktų taip užrašyti P(x, yldx+0(x, y)dy=0 pavidalu, kad reiškinys P dx+ 0 dy būtų kokios nors funkcijos F (x, J) diferencialas, tai gautume dF(x, y)=0, IV S eV) (10) Jei, be to, (10) lygybė …
Excerpt
9, PAVIRŠIAUS PLOTAS Jei taške (x1, Jį) OF (xi, 6 0) =2(41—Y) 0, tai egzistuoja tokia taško (x;, y;) aplinka, kurioje (13) lygtis apibrėžia y kaip vienintelę kintamojo x neišreikštinę funkciją, kuri tenkina (12), tai- gi ir (9) diferencialinę lygtį ir …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI ir 4?4+B24+ C? 0 visuose taškuose (1, 7) < D, tai paviršius S, kaip jau ži- nome (IX. 22), yra vadinamas glodžiuoju paviršiumi ir kiekviename jo taš- ke egzistuoja liečiamoji plokštuma ir normalė. Jei 2, u ir v …
Excerpt
9. PAVIRŠIAUS PLOTAS 95 pav. Kadangi plokštumos xy taškų aibė G, yra liečiamosios plokštumos T taškų aibės T, ortogonalioji projekcija plokštumoje xy, tai |G|=|7Tx|-|cosv,|; (6) čia | G, | yra aibės G, plotas, o v, — dvisienis kampas tarp plokštumos T ir …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI ir įrašę cos v išraišką (4), gauname = D(x, y) J) 2 VarBi+C |s|= || 667 += "Du, V) v) du dv = [| Ma 1 Lv = [| VAžYB24C? du do. (9) (9) formulė simetriška A, B ir C atžvilgiu (t. y. sukeitus, pvz., 4 su B vie- …
Excerpt
17. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DVILYPIUOSE INTEGRALUOSE 0 …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI skrituliu D= ((x, y):x*4+y* < R). Pereisime prie polinių koordinačių, t. y. atliksime kintamųjų pakeitimą (16), kai …
Excerpt
18, DVILYPIO INTEGRALO, KAIP AIBĖS FUNKCIJOS, IŠVESTINĖ yra atviros (g (Ele,) yra skritulys D su „išpjauta“ x ašies dalimi, žr. 42 pav.), ir funkcija g aibėje Ele, tenkina teoremos sąlygas. Kadangi e, ir e„= Dlg (Ele,) yra nulinio mato aibės, tai dx dy [ …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Tada m(r) …
Excerpt
19. NETIESIOGINIAI DVILYPIAI INTEGRALAI tai " [f /= Jim [ [7 (2) SA visoms funkcijoms f€ L (E). D Pažymėkime /,=/- XE,i Čia Xp, — aibės E, charakteristinž funk- cija. Tada /;+—/ beveik visur aibėje E ir |/x| -0 E, k—-0 E = Jei aibių E, seka tenkina (1) …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Tegu E — išmatuojama erdvės R* taškų aibė. Sakysime, kad aibių E, € R? seka (E,) tenkina sąlygą (A), jei aibės E, yra išmatuojamos, Iie B EMS Era visiems KE NAT E=|J Er k=1 Sakykime, kad …
Excerpt
19. NETIESIOGINIAI DVILYPIAI INTEGRALAI > Tarkime, kad integralas B J konverguoja neabsoliučiai. Tegu E (E) yra aibių seka, kuri tenkina sąlygą (4). Tada egzistuoja baigtinė riba J= lim / Ir (5) ir | Ss (6) Pažymėkime f* =max (7, 0) ir f-=max (—/, 0). …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Aibė et=[ (G, y)ee;:J (x, 7)> 0), jeN, yra išmatuojama ir IDE 185 (10) E 2, Ep, Pažymėkime E;,=Ę,, Uz; JEUN Iš (10) gauname: [[/=- [J + IL] AB] 2 Ul+i> ij (11) + E. e E L] Ez J J visiems je N. Iš (11) išeina, kad lim [ [ 1 — 00B Lab …
Excerpt
19. NETIESIOGINIAI DVILYPIAI INTEGRALAI Visi čia išdėstyti samprotavi- mai rodo, kad 1 apibrėžime aibių sekų (E), tenkinančių sąlygą (4), klasė yra per plati. Yra ir kito- kių netiesioginių dvilypių integralų apibrėžimų. Supažindinsime skai- tytoją su …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGR ALAI ir todėl Koši tipo integralas egzistuoja bet kokiems «> O: ar 2 (C) [] Gžisų dedy= lim 9,0. e—0+ Tačiau pointegralinė funkcija x Ja (6, Y)= Tip integruojama tiesioginiu integralu skritulyje D ne bet kokiems «> 0. Pa- gal 2 teoremos …
Excerpt
20. RYMANO DV1LYPIS INTEGRALAS (čia | E | — aibės E, plotas) vadinsime funkcijos / integraline suma, sudaryta aibei E. Pažymėkime 2=(E,, ..., E„!. Pavadinkime aibės Er diametru skaičių Ak =5Up a loGE os UD) Ikš (Gr y.) (Ge Y')eE,), k=1, 2, ..., m. …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Panašiai funkcijos f apatine Darbu suma, atitinkančia tą pati aibės E pa- dalijimą, vadinsime sumą m 2— 2 Ep] (3) k=1 kurioje + my— ah SG, 9), IG IAEB m. G, ve E, Teigiamos funkcijos f dvilypis integralas, integralinės ir Darbu …
Excerpt
20. RYMANO DVILYPIS INTEGRALAS Žinoma, čia užrašytų samprotavimų apie dvilypio integralo, integra- linių ir Darbu sumų geometrinę prasmę negalima laikyti (4) lygybės įrody- mu. Tačiau tie samprotavimai iš dalies paaiškina, kodėl (4) lygybe galima …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI 2 išvada. Visų funkcijos f apatinių Darbu sumų tikslusis viršutinis rė- žis yra ne didesnis už visų viršutinių Darbu sumų tikslų jį apatinį rėžį, t. y. sups (2) < inf S (2). 2 2 Skaičiai I, =sup s (2) ir I*=inf S (2) atitinkamai …
Excerpt
20. RYMANO DVILYPIS INTEGRALAS todėl 0 …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI cijos, sudarytos kaip šio skyriaus 10 poskyrio teoremoje. Tada seka (9;) didėja ir 0,„—> / beveik visur, f€ L (O) ir [ I 9 > (L) | |! J (9) [0] 0 Pagal funkcijų 4 apibrėžimo būdą kiekviena funkcija o, yra taip apibrėž- ta …
Excerpt
21. DVILYPIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAI plotą (47 pav.): 0 BIS | xe p)dx= alĖ | i Elas / dy Ė R — 0 — 1 2—2y3 1 = | 6 | d= | (-> 94y=2. 1 1—j2 1 2 pavyzdys. Sakykime, kad c> 0 ir D=(į(rcoso, rsinę)eR*: …
Excerpt
X DVILYPIAI I NTEGRALAI čia f — neneigiama funkcija (x, £)—R. Skaičiuodami panašiai kaip 2 pa- vyzdyje, gauname: 2SĖ dx dy = IL rdrdo= ED) B J (9) : : | do | Edr=S | (/ (9)? dą. Taigi ar Ž “s |(D|=5 J (/(0)*49, (2) jei sritį D apriboja du spinduliai 6=x, …
Excerpt
21. DVILYPIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAI 1 - 2 4 1 =22 [ (1—)rar=22 (7-Ę) LŽ: 0 3. Plokščių jų kūnų masės skaičiavimas. Sakykime, kad yra duota ko- kia nors materiali plokštelė E, kurios storį, apytiksliai skaičiuodami, ga- lime laikyti nuliu. Pasirinksime …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Jei koordinačių sistemą taip pasirinksime, kad jos centras sutaptų su skritulio D centru, tai Š(, X)=1+cVx*+7", G, yjeD; čia c — proporcingumo koeficientas. Pagal (6) 2 R B (ie VA Y)dd= | do J (1 +cĄrdr= =2T (+ £. 4. Plokščių jų …
Excerpt
21. DVILYPIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAI telės E, masė m; yra sukoncentruota taške M j, tai tokių materialių taškų sistemos inercijos momentas I būtų išreiškiamas šitaip: I= 3, mjdž(M)); j=1 čia d(M) yra pažymėtas taško M=(x, J) atstumas nuo tiesės /. Jei 5 (M) …