Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Dar kartą išdiferencijavę pirmąją iš (13) lygybių kintamuoju r, o antrąją — kintamuoju o, gausime: 0*u 2 žy 0 u > a vo“ę+2 i PR AU 52 sin p-2 “52 sin p COS cosž 6 — Ox? o Oy ę p M O OR pa, in 0= AB 0 dy S o 0X Antrąją tų …
Excerpt
24. APŽVALGA du (r) dr u(r)=c, Inr +-c;; (17) dr= | = dr, čia c; ir c; — bet kokie realieji skaičiai (laisvosios konstantos). (17) lygy- bė ir yra (16) lygties sprendinys. 24. Apžvalga Šiame skyriuje pagrindinės matematinės analizės sąvokos (išskyrus …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS elementų (K=R, arba K=C), kad daugybos operacija tenkintų tokias aksiomas: 1) a (bx)=(ab) x, DEL 3) (44+b)x=ax+-bx, 4) a(x+y)=ax+-ay visiems x, ye X ir a, be K. Tiesinė erdvė X“ vadinama normuota erdve, jei kiekvienam …
Excerpt
25. UŽDAVINIAI 25. Uždaviniai 1. Įrodykite, kad aibė R" su atstumu p, apibrėžtu visiems x=(X1, ..., Xr), Y= 05 > Vn) € R" lygybe ex; 5)= 2) |Xk— Jah k=1 yra metrinė erdvė. 2. Pažymėkime /! aibę visų sekų x= (x;), x; | Xp | k=1 konverguoja. Apibrėžkite …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 14. Ištirkite funkcijos u=e77 77 —*+3 lokalaus ekstremumo taškus. Ats. Funkcija 4 neturi lokalaus ekstremumo taškų. 15. Raskite funkcijos f: R3-—-R*, apibrėžtos lygybe f(a, y, )=(Gy+2, X y*2), išvestinės taške (1, 1, 2) …
Excerpt
25. UŽDAVINIAI 23: Ištirkite, ar funkcijų sistema AI Ala y)=sin (x sE1)S (x, y) e R*, A, )=1+2y1 1, yra nepriklausoma. 24. Raskite funkcijos f: R3—> R, apibrėžtos lygybe f(x, y, z)=xy 1-2, (x, v., z) < R", sąlyginius ekstremumus su sąlygomis x*+y*= i …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI 1. Laiptuotos dviejų kintamųjų funkcijos ir jų dvilypiai integralai Sakykime, kad J, ir I, — du bet kokie baigtiniai arba begaliniai inter- valai, O=/, x I, — stačiakampis plokštumoje Rž, P,= (Xą, ..., X„į — in- tervalo I, dala, P„= …
Excerpt
|. LAIPTUOTOS DVIEJŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Tada 6 yra laiptuota stačiakampyje O (25 pav.). Viena iš leistinųjų o at- žvilgiu stačiakampio O dalų yra šitokia: 2=((£0, 2,3, 0), (0, 1, 23). Sakykime, kad 4 — laiptuota stačiakampyje O funkcija, 2 — leisti- noji …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Pastebėsime, kad leistinosios o atžvilgiu dalos 2 begaliniame dalinia- me stačiakampyje g funkcija o yra tapačiai lygi nuliui. Iš tikrų Jų Ę yra pa- stovi stačiakampyje g, taigi jos reikšmė c visuose stačiakampio g taškuose yra ta …
Excerpt
1. LAIPTUOTOS DVIEJŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 1 teorema (apie laiptuotų funkcijų dvilypio integralo apibrėžimo ko- rektiškumą). Jei o yra laiptuota stačiakampyje O funkcija, ?' =$ P; PA) ir P"=ĮPį, P;) — dvi leistinosios 6 atžvilgiu stačiakampio O dalos, g; ir …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI > Tegu 2'=(Pį, PA) yra leistinoji e atžvilgiu stačiakampio O dala, o 2"=f Pi, P4) — leistinoji V atžvilgiu to paties stačiakampio dala. Tada stačiakampio O dala PS PAUPI ARA BSS yra leistina ir Ę, ir Ų atžvilgiu, nes Di PLB Ba …
Excerpt
2. LAIPTUOTŲ FUNKCIJŲ DVILYPIŲ INTEGRALŲ SAVYBĖS 3) jei o (x, ») < V(x, V) visiems (x, y) e O, tai | | ę (X, V) dxdy < || | V (x, y) dx dy. 0 0 > 1) Jei g; (K=1, ..., n) yra kokios nors leistinos 6 atžvilgiu dalos at- viri baigtiniai daliniai …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI > Funkcija V (x, y)= M yra laiptuota stačiakampyje O ir o m|o). …
Excerpt
3, FUBINIC 1EOREMA LAIPTUOTOMS DVIEJŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOMS stačiakampiuose g;, išskyrus dalinį stačiakampį g,= O', funkcija o yra ly- gi nuliui. Todėl Ile-=X Ile=Ife=[[ 0 < 0 ia, ai 0 2 išvada. Jei o — laiptuota stačiakampyje O funkcija ir OL 10— tokie …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI y funkcija o (x;, y), atvaizduojanti intervalą B realiųjų skaičių aibėje, yra laiptuota intervale B ir todėl integruojama tame intervale, t. y. egzistuoja baigtinis integralas [eo ») dv. B Taigi visiems x € A, išskyrus baigtinį …
Excerpt
4. NULINIO MATO AIBĖS PLOKŠTUMOJE R* Teorema (Fubinio teorema laiptuotoms funkcijoms). Jei 6 — laiptuota stačiakampyje O= A x B funkcija, tai [f 96 ») dxdy= IB [96 Nav= | dv | o(x dx; (A) B B A AxB čia A ir B — bet kokie Si baigtiniai) intervalai. > …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Kai norėsime pabrėžti skirtumą tarp nulinio plokščiojo Lebego mato ai- bės ir nulinio Lebego mato aibės £c R (V. 9), pastarąją kartais vadinsime nulinio linijinio Lebego mato aibe. Kad būtų trumpiau, kai dėl to nekils neaiškumų, …
Excerpt
4. NULINIO MATO AIBĖS PLOKŠTUMOJE R* [> Įrodykime, kad B — nulinio mato aibė. Pažymėkime B.= ((x, y)e Rž:n 0 ir fg,) — uždengianti aibę e suskaičiuojama sistema sta- čiakampių …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI mi įrodymo bendrumo galime laikyti, kad g, — kvadratai (30 pav.). Jei (Xs, Yo) yra kvadrato g; centras, 4 — kvadrato g; kraštinės ilgis ir (x, y) € €4;, tai | ))— Co Jo) | < SZL Todėl i Ig (45 V) 00 X) | < K B t. y. aibė g (g;) yra …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRšINIAI INTEGRALAI 1. Kreivės ilgis Iš pradžių išsiaiškinkime kreivės plokštumoje Rž (plokščiosios kreivės) ilgio sąvoką. Prisiminsime, kad pagal kreivės sąvokos apibrėžimą (IX. 9, 2 apibrė- žimas) kreivė metrinėje erdvėje R? yra …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI (a*—ai) +(b*— bi) (Vezb- Vai+6)- (V+64+ Vai+bi)| Vai =a+ Vb—bi Va+b*+ Vai+bį < El la-a;,|(1a|+|a,|)+|56-—b1 (|b|+-|6; |) = …
Excerpt
1. KREIVĖS ILGIS Ms || s k m < 3 (X (0)-X (Ė)|+|7" (t) —V (np) |) (t — a). k=1 VE 6Y+66Y- VE EYTG 007] = ns (7) Pasirinkime 0. Funkcijos x! (r) ir V' (t) — tolydžios kompaktiškame intervale [a, 6]. Todėl jos ir tolygiai tolydžios ir todėl egzistuoja toks …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Za. 71 pav. vadinamos cikloide (71 pav.), ilgį. Šios kreivės koordinatinės funkcijos yra tokios: x(1)=a(t —sint), y(/)=a(1 —cos1). Todėl pagal (4) 2n A M AE 2 s= | VGOF+6 00) ar=a | VU cos)? +-sinPtar= ( 0 2 = 2 [ …
Excerpt
1. KREIVĖS ILGIS 2 pastaba. Tegu yra žinoma funkcija g: [«x, 8]—-R. Sakysime, kad plokščioji kreivė V yra duota lygtimi r=g (+), < …
Excerpt
XIII. KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRAL AI 2 apibrėžimas. Kreive plokštumoje R* vadinsime bet kokią tolydžią kokiame nors (nebūtinai kompaktiškame) intervale I funkciją o:I—-R*. Kreivės O, o ()=(x (t), y (+), te I, ilgiu vadinsime skaičių s=| VEOY+60) 4: …
Excerpt
1. KREIVĖS ILGIS m EB e a GIS Sakykime, kad 7, ir I, — du intervalai. Eunkciją o: II, vadinsime difeomorfizmu I,-1,, jei yra tolydžiai diferencijuojama bijekcija, kurios atvirkštinė funkcija «—1 irgi tolydžiai diferencijuojama intervale Ilaę Jei «o — …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Jei o: I--R* yra ištiesiama kreivė, skaičiai a ir b yra intervalo I galai (a < b) ir re (a, b), tai funkcijos ę siaurinys intervale (a, tą) irgi apibrėžia ištiesiamą kreivę, vadinamą kreivės o lanku, kurios ilgis …
Excerpt
1. KREIVĖS ILGIS ma natūraliomis parametrinėmis kreivės lygtimis, arba kreivės lygtimis su natūraliu parametru (lanko ilgiu s). Kaip matome, Jei kreivė glodi, tai visada galima užrašyti jos lygtis su natūraliu parametru. Kreivės ilgio sąvo- ką galima …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI visiems /€ (a, b). Jei kreivė p: I—-R" glodi, t. y. tolydžiai diferencijuojama ir 2; OY 0 k=1 visiems te I, tai (18) lygybe apibrėžta funkcija s (+) yra difeomorfizmas I-> -s (I) ir kreivę o galima apibrėžti …
Excerpt
2. PIRMOSIOS RŪšIES KREIVINIAI INTEGRALAI 1 apibrėžimas. Funkcijos f pirmosios rūšies kreiviniu integralu kreive ę, aprašyta (1) natūraliomis parametrinėmis lygtimis, vadinsime skaičių s | £(6). »65)) as (2 0 (jeigu tik toks apibrėžtinis integralas …