Excerpt
$ 59] Tiesinės formos 545 Tiesines formas apibrėžėme, nesiremdami jokia baze. Dabar imsi- me erdvės 80) bet kokią bazę fe) ir joje bet kokį vektorių E=x4,1- 4821 AS, Pagal formules (39) ir (40) turėsime fi (E) = fr (161. 4-*42671- > > > 1-8) = = X Jr (61) …
In:
Excerpt
546 Tiesinės erdvės [XII sk. Imame tiesinių formų išraiškas bazėje ei lygybėmis (43) ir (44, o bazėje f w > formulėmis A E=d ka ai fu (E) =2121 145777 siaje +a,*,- Ryšį tarp ai, 5, ---, G, IT G, 435 ---, a, gausime, prisiminę, kad =f(0) | (B=L 2, m) ir …
In:
Excerpt
$ 62] Tiesinės transformacijos ir matricos 559 Pavyzdžiai. 1) Nustatysime kokias matricas turi nulinė O ir vienetinė € transformacija bazėje (6) — 5,3 645 > Sao Kadangi transformacija O kiekvieną vektorių transformuoja į nulinį vek- torių, tai, paėmę bet …
In:
Excerpt
560 Tiesinės transformacijos ajininėje erdvėje [XI1! sk, Kiekvienas vektorius iš 86 išsireiškia taip: as SR x=x;,1475J5 > > kur x, ir x, yra projekcijos į ašis : ir j. Paėmę atitinkamas matricas-eilutes ir transformacijos =“ matricą, turėsime tas) 4 = 4) …
In:
Excerpt
$ 621 . Tiesinės transformacijos ir matricos 561 Kadangi kvadratinės matricos sudaro žiedą ir net algebrą, tai pa- gal izomorfizmą ir »-matės erdvės tiesinės transformacijos sudaro žiedą ir algebrą. Iš to galėtume gauti, kad nulinę transformaciją O turi …
In:
Excerpt
562 Tiesinės transformacijos alininėje erdvėje [XIII sk, Pavyzdžiai. 1) Nagrinėtų 555 puslapio 1 pavyzdyje erdvės a transformacijų lg ir B E bazėje į e 3 matricos atitinkamai yra 1210: 0 A.=5E,/B8—> | 01 0) ; "Lo o 0 Todėl toje bazėje transformacijų …
In:
Excerpt
$ 63] Bazės keitimas ||| 563 Aišku, kad visa tai mes galėsime rasti tik tada, jeigu žinosime bazės fw) perėjimo į bazę ( < matricą T. Tegu ta matrica yra duota XII skyriaus $ 57 formule (29). Tame pat skyriuje turėjome kiek- vieno vektoriaus E, o tuo …
In:
Excerpt
564 Tiesinės transformacijos afininėje erdvėje [XIII sk. Tiesinių transformacijų neišsigimimas ir išsigimimas yra ne bazės, bet pačios transformacijos savybė. Taigi, jei įsitikinsime, kad bet kurioje bazėje transformacijos 1 matrica yra neišsigimusi, tai …
In:
Excerpt
$ 63] š Bazės keitimas 565 pakeičia vektorium m, kurio koordinačių eilutė bazėje (+! yra: In], = [Iš =4, = [E], Aš (23) kur A yra transformacijos < matrica bazėje /e). Kadangi šioje for- mulėje £ gali būti bet koks erdvės “0 vektorius, tai kyla klausimas, …
In:
Excerpt
566 š Tiesinės transformacijos afininėje erdvėje [XIII sk. 2) Trimatėje erdvėje 88 ) parenkame koordinačių ašis x, y, z. Sukeliame visų vektorių pradžią į tašką (0, 0, 0) ir parenkame …
In:
Excerpt
$ 64] ' Incariantiniai poerdviai 567 3 pavyzdyje, kai k=n ir kK=0, turime netiesioginius invariantinius poerdvius, o kai 0 < K > 6, Yra bet kokie erdvės 80 tiesiniai nepri- klausomi ir nepriklausantieji poerdviui £60 vektoriai. Tada erdvės US bazė (+) = …
In:
Excerpt
568 Tiesinės transformacijos afininėje erdvėje [XIII sk. Būtina 17 pakankama sąlyga, kad transformacija < turėtų m-to ma- ravimo invariantinį poerdvį yra, kad egzistuotų tokia bazė, kurioje ta transformacija turėtų matricą, išsiskaidančią į keturis …
In:
Excerpt
$ 65] Nuosavi vektoriai : 569 Tica bus bseudodiagonalinė ir kiekvienas tos matricos langelis bus atitin- kama tos transformacijos matrica duotame poerduyje. Iš visų invariantinių poerdvių tiesinėje algebroje svarbiausi yra vienmačiai (tiesiniai) …
In:
Excerpt
570 Tiesinės transformacijos afininėje erdvėje [XIII sk. Imame erdvėje 2“? bet kokią bazę fe! = fe;, E5, …
In:
Excerpt
$ 65] i Nuosavi vektoriai 571 Transformacijos sl nuosavos reikšmės bazėjeleV turi būti lygties | £—4,| | T-1|= =|+=E—4,| | T| | T-7|=|> E—4,.|-1=|=E-—4,|. Vadinasi, rransformacijos charakteringasis polinomas, keičiantis bazei, nesikeičia. "Todėl lygtis …
In:
Excerpt
472 Polinomai su. tikraisiais koeficientais A Bk sign f“ (0) =signa, (k=0, 1,2, ..., n), tai polinomo f(x) išvestinių grandinės ženklų pakitimų skaičius taške 0 yra lygus f(x) (koeficientų ženklų pakitimų skaičiui). Išvestinių grandinės ženklų pakitimų …
In:
Excerpt
$ 49) Tikrųjų šaknų skaičius a13 Mūsų pavyzdžiuose polinomai buvo pilnieji — nė vienas koeficien- tas nebuvo lygus nuliui. Nesunku pastebėti, kad tokių polinomų f(x) ir jų pagalbinių polinomų /, (x) ženklų pakitimų skaičiaus suma turi būti lygi polinomo …
In:
Excerpt
474 Polinomai su tikraisiais koeficientais [X sk. Kadangi x* koeficientas yra O, tai jį g lima laikyti teigiamu, nes x? koefi- cientas yra teigiamas. Įrašę trūkstamo koeficiento ženklą, turėsime tokius ženk- lus + + — —, atseit, vieną ženklų pakitimą. …
In:
Excerpt
$ 49] : Tikrųjų šaknų skaičius 475 turi bent vieną porą sujungtinių kompleksinių šaknų; jeigu trūksta trijų arba keturių polinomų, tai duotas polinomas turi mažiausia dvi poras kompleksinių šaknų ir t. t. Tačiau šios Šturmo grandinės savybės retai …
In:
Excerpt
476 Polinomai su tikraisiais koeficientais [X sk. 2) Polinomas : x5 — 655 — 12x + 9 turi 2 poras kompleksinių sujungtinių šaknų, nes koeficientai prie x4, x* ir x2 yra nuliai, o jiems gretimi narių koeficientai —6 ir —12 turi vienodūs ženklus. 3) …
In:
Excerpt
L $ 50] Artutinis šaknų radimas 477 kur 7 yra lygties f(x) = 0 laipsnis. Lygties 9, (x) = 0 šaknis y,» ati- tinkanti lygties (+) — 0 šaknį x,, bus intervale (0, 1). Įstatę į lygtį 2, (7) =0 = is (13) sutvarkę ją ir pažymėję jos kairę pusę 4, (2), gausime …
In:
Excerpt
/ 478 Polinomai su tikraisiais koeficientais [X sk. Ir vėl, jei (5(4) =0, tai x, yra racionalinė ir tada šaknis yra rasta, o jei ne, tai analogišku būdu galime gauti sekantį dešimttūkstantųjų skaitmenį. Šį procesą galime tęsti tol, kol pasieksime …
In:
Excerpt
$ 50] Artutinis šaknų radimas 479 Sulyginę šią tapatybę su f(x) išraiška (16), gausime K) =b „16,3 bx+-6,= =6,(x—a)Y711-6b, „(x—a"721... --6;(x—4)1-6į. Iš šios lygybės, padaliję /, (x) iš x— a, gausime liekaną b,. Pažymėję daliklį f4(x), o jo koeficientus …
In:
Excerpt
480 Polinomai su tikraisiais koeficientais [X sk Taigi, f(4)=2(x — 403 + 155 (x — 407? + 2715 (+—4) — 11487, arba š e (y)= 253 + 15532 + 2715y — 11487. Panaudojus laiptuotą Hornerio lentelę, galima iš karto gauti ne tik p(y), bet ir (2), įstatyti x=a; = …
In:
Excerpt
$ 50] „ Artutinis šaknų radimas 2 481 Vadinasi, mes suradome polinomo f (4)=2x3 —85x3 — 85x —87 5 šakai 40 +3 + 5—435. Skaičiuodami apytikriai kokią nors šaknį, skaičiavimus surašome ne į kelias, bet į vieną lentelę, kurią vadinsime Hornerio-Rufinio Ien- …
In:
Excerpt
482 Polinomai su tikraisiais koeficientais [X sk. : 1 i Pal 1 1 —100 1 5 2i —16 1 9 57 —16000 4 1 13 5700 | —4072 1 130 ||| 5964 —4072000 1 132 6232 —283624 13 134 623200| | —283624000 12 631396 1 1360 639628 | 1366 63962800 1 1372 6 1 1378 1 13780 …
In:
Excerpt
$ 50). Artutinis šaknų radimas 483 Skaičiavimus patogiausia atlikti tokia Hornerio-Rufinio lentele: 432 L 3i į —275 S SU UE 35 i. 65 1 LET 5 MAE 51392 24 24500 | gė 59 : kalis ai — 13608000 STS 696 | B SRS 13608000 1 8 . Mean 0 S 26908 598 | i : di AŠ | …
In:
Excerpt
-- + + A $ 49] Tikrųjų šaknų skaičius 459 Atsikiriant polinomo šaknis, dažniausiai dalijame intervalą pusiau, tačiau kai kada tenka elgtis ir kitaip. Kaip tai daroma, paaiškinsime pavyzdžiais. Pavyzdžiai. 1) Rasime polinomo J(2)=—x* 1- 3x3 + 74? 1 10x 1 1 …
In:
Excerpt
460 Polinomai su tikraisiais koeficientais Iš ski "Kadangi tarp R,=Ū ir R4;=— —2 buvo tik Ž(—2)—Ž(0)=3—1=2 šaknys, o paėmę tarpinį tašką 1 mes jas atskyrėme, tai daugiau tarpinių reikšmių imti nebereikia. . Polinomo f(x) tyrimas parodė, kad jis turi dvi …
In:
Excerpt
is $ 49] Tikrųjų šaknų skaičius 481 3) Surasime polinomo J(2)=2 1 21153 —4x2— 35 —5 tikrųjų šaknų skaičių ir tas šaknis išskirsime vieneto ilgio intervalais. Šturmo grandinės polinomai yra fi (0)=1' (+) = 5x* + 8x3 1 3x2 —8x—3, f. (4) =—6x3 1 66x2 + 44x 1 …
In: