Excerpt
134 Determinantai Žin Pastebėsime, kad »x-tos eilės determinantai patenkina visas savybes kurias įrodėme antros ir trečios eilės determinantams, ir, be to, dz kelias, kurių anksčiau neturėjome. Visas savybes mes čia iš nauj suformuluosime ir įrodysime. I. …
In:
Excerpt
$ 15] n-tos eilės determinantai 135 ir atvirkščiai. Savybės įrodysime tik eilutėms arba kolonoms, 0 dės- nius formuluosime eilutėms ir kolonoms. II. Determinanto ženklas pasikeis, jei dvi j0 eilutes (kolonas) sukei- sime vietomis. ; Sukeitus dvi …
In:
Excerpt
136 Determinantai [IV sk. liai, paverčia visus narius stai todėl ir toks determinantas yra ly- gus nuliui. IV. Dererminantas, kurio dvi eilutės (kolonos) vienodos, lygus nuliui. Ši savybė yra III savybės išvada, nes determinanto |A| su lygio- mis …
In:
Excerpt
S 15) n-tos eilės determinantai Tegu turime 137 Zi ia 4, A 425 GAC 05, S a.+b. . Til a: 5 a; 0ip GO (PJ Cn 2.2 S, (A Ji išskleidę, gausime "as S d dA | Šo ( 1) Šia, TA j9 ia (25, + ri Uka sea Dada 012 1 7-1 J 1 Mas a A 1 2, 3 r b. La iš ja) kia, aa“ …
In:
Excerpt
138 Determinantai [IV sk. dome sudarytą determinantą į sumą dviejų determinantų. Tada ant- ram determinantui pritaikę V savybę, gauname: An Ap ln Antras determinantas turi dvi Gy LA AS GO An Uro S 223 š 2 , LAA š Gjį ar laą 4;j2 i la> a An P las, Lą [| 2, …
In:
Excerpt
$ 15] n-tos eilės determinantai 139 a15 — 3015 — Žas L 45 (—4> 3-—9-2 (ke) as — aj — Ža 044 Sai) Įvedę šį apibrėžimą, įrodysime svarbią determinantų savybę. VIII. Dererminantas yra lygus nuliui, Jei kuri nors jo eilutė (kolona) yra kitų eilučių (kolonų) …
In:
Excerpt
140 Determinantai „HN sk. 2) Determinantas a4+b k c4+d 1 2 bc | dia 1 c+d m a4b || dra 7 ba A kur a, b, c, d, k, I, m ir n yra bet kokie skaičiai, yra lygus nuliui, nes, prie pirmos kolonos pridėję trečiąją ir iškėlę daugiklį a +54+c4+d, gauname, kad > …
In:
Excerpt
$ 16j Kramerio taisyklė 141 Čia elemento a,,(k=1,2, ---, x) daugikliai A=- 2 IN ia Ai 1k ( ) 23, Caa, E Bas Bas > B,=152, R-1, RTL... a o o, kaip ir anksčiau, reiškia perstatinio 8,, 84, +++, 8, netvarkų skaičių. Panagrinėsime, kas yra elemento a,, …
In:
Excerpt
142 Determinantai [IV sk. eilės determinantą, tai gausime elemento a;, mincrą, kurį žymėsime M;,„ Taip iš determinanto Zil A aipi iki) Uikiai 67 Up 3 235 i lapų 2k | Gopii VE |A|= nurodytu būdu išbraukę /-tą eilutę ir £-tą koloną, gauname to ele- mento …
In:
Excerpt
$ 16] Kramerio taisyklė 143 daugiklį A,,, perstatysime determinanto |A| kolonas taip, kad elemen- tas a,, ir visa K-ta kolona būtų pirmoje vietoje, o kitų kolonų tarpu- savio tvarka liktų tokia pat. Tai atlikę, gausime determinantą ir Ču Gia Ge ir Čia ak …
In:
Excerpt
144 Determinantai [IV sk. Kadangi k gali turėti reikšmes 2,3, ---, m, o kai 4=1, kaip matė- me, 4, = M, tai, kai 4=1,2, ---, nm, turime A„=(—-17+ž Map (17) Įstatę tas A,„ išraiškas į (15), turėsime Ai=anAn+ > A5----- 0, As T Ap = =2, M+ 05(—1Y*Ms+-245(— …
In:
Excerpt
$ 16] Kramerio taisyklė i 145 Norėdami determinantą išdėstyti ne pirma eilute, o bet kuria kita, sakysime j-ta eilute, turėsime tą eilutę atkelti į pirmosios vietą ir paskui išdėstyti jau mums žinomu būdu. Atkeldami 7-tą eilutę į pir- mos vietą taip, kad …
In:
Excerpt
146 Determinantai [IV sk. U> Cip G Au Gp G14 = —Gų| 23p Up Os4 |T 005 A, Ū33 Ūzų , Gj GU43 Gg4 A Gi3 Ū44 | Uu Gp Gi4 Uu Cup Ci3 —A5gi Ag Op Oz |PŪ4 | Ap Ūzp Ops > G Up Ga4 G Op Gaz į Tas determinantas, išdėstytas trečios kolonos elementais. yra …
In:
Excerpt
| 299 o Mairicos ir vektoriai [V sk. Sulyginę abiejų sandaugų atitinkamus narius, matome, kad jie sutampa. Kadangi abi sandaugos yra m2x7 matricos, tai galutinai gauname, kad B) i = A 2) = E G (38) Įrodėme, kad matricų daugyba yra asociatyvi. Pavyzdys. …
In:
Excerpt
“- $ 23] Matricų -daugyba 223 Įrodę, kad matricų daugyba asociatyvi, galėsime matricų daugybą išplėsti bet kuriam dauginamųjų skaičiui ir dauginant sandaugos na- rius jungti kaip tik norėsime. Daugindami matricas, turime prisiminti, kad negalima Keisti …
In:
Excerpt
294 Matricos ir vektoriai [V sk. Lygybės (42) dešinėje pusėje yra formulės (40) dešinėje pusėje esančios matricos j-tos eilutės K-tos kolonos elementas. Taigi, formu- lė (40) yra įrodyta. Įrodydami kairiosios daugybos distributyvumo dėsnį, pastebėsime, …
In:
Excerpt
$ 23] , Matricų daugyba 225 Matome, kad sandaugos rango negalima nustatyti, žinant tik dauginamųjų matric4 rangus, nes abiejų pavyzdžių dauginamųjų matricų rangai lygūs 1, o sandaugos rangas atitinkamai yra 1 ir O. Jis abiem atvejais nedidesnis už dau- …
In:
Excerpt
226 Matricos ir vektoriai [V sk. $ 24. Kvadratinių matricų algebra Šiame paragrafe nagrinėsime n-tos eilės kvadratines matricas. Jas žymėsime didžiosiomis lotyniškomis raidėmis be jokių indeksų. Praeitame paragrafe matėme, kad dviejų »2-tos eilės matricų …
In:
Excerpt
. | $ 24] Kvadratinių matricų algebra 227 Matėme, kad stačiakampės matricos patenkina abiejų daugybų distributyvumo dėsnius. Kadangi kvadratinės x-tos eilės matricas ga- lima ir sudėti, ir sudauginti, tai ir jos patenkina tuos dėsnius; 14 as Ba k …
In:
Excerpt
228 Matricos ir vektoriai [V sk. Šią transformaciją vienareikšmiai atitinka m-tos eilės matrica A. Ieš- kosime matricos A atvirkštinės matricos, pasinaudoję transformaci- jos (46) atvirkštine transformacija. Atvirkštinė transformacija keis nežinomuosius …
In:
Excerpt
G M $ 24] Kvadratinių matricų algebra 229 Šios transformacijos matricą žymėsime A-1: A An 4 Ap Am |A| |A| |A| |A| Ai Asp į Aps App [4] |Al |A |A| S Še nas SR aa ai Aka Au Aso 5 o Ak I (49) IE) |A| 1Aj Ain Am Akai „Ann |A| |Al |A| |A| Nesunku matyti, kad …
In:
Excerpt
230 Maitricos ir vektoriai , [V sk. Iš bendrosios žiedų + teorijos (III skyrių $ 11) aišku, kad neišsi- gimusios matricos A atvirkštinė matrica 4-1 yra vienintelė. Pastebėję, kad |A| yra skaliaras, matricos A-1 išraiškoje (49) ga- lime iškelti prieš …
In:
Excerpt
$ 24] Kvadratinių matricų algebra 231 [0] — nulinė matrica. Ši pirmos eilės kvadratinių matricų aibė yra izomorfinė skaliarų kūnui, nes jos elementai sudedami ir dauginami kaip skaliarai. Jei tokioms matricoms ir skaliarams nustatysime ati- tinkamybę [4] …
In:
Excerpt
232 Matricos ir vektoriai BV“ sk. Panagrinėsime atvirkštinės ir prijungtinės matricos determinantus. Iš tų matricų savybių, matricų sandaugos determinanto savybės ir lygybės (9) gauname: 1 E Ę |4|-|4-!)=|E|, Zl a ap |> 15 |Al145—1 |A|=|Ap=, GI) t. y. …
In:
Excerpt
S 24] Kuvadratinių matricų algebra 233 gausime vienintelį jos sprendinį IL 1E2O kurį vadinsime matricos A dešiniuoju dalnenių iš kad bendruoju atveju šie dalmenys skirtingi. Pavyzdžiai. 1) Matxicos 9.3 5 59 13 5 8 64) matricos B. Aišku, determinantas | A| …
In:
Excerpt
122 Determinantai Aso [IV sk. viršų, ir vėl, vienoje istrižainėje esančius elementus sudauginę, imame tas sandaugas su ženklu minus. Sudėję visus narius, gauname deter- minantą: , || p 2 41,0550353 +- 45,435013 -- 43,0,5055 7- 33' — Šu l50j5 — 211032453 — …
In:
Excerpt
$ 14] “) Trečios eilės determinantai 123 Pavyzdžiai. —13(—8)-(—4)—1-(—2):0—3-12( — 12) = 136, =3-(—4)-4+(—4)-:2.412.2.121 —4-(—4):2—2.2-3—4.27( —4)= —20. TS ŠTAS a Sie S + nes atitinkami nariai su 4 17 su — gauti pagal trikampių schemą: : | DAS NS X arba …
In:
Excerpt
ŠA “ TL MR £ A UIA Ržadiss ir Mal 124 Determinantai > [IV sk. Parodysime, kaip trečios eilės determinantą išreikšti antros eilės determinantais. Formulės (62) dešinės pusės narius sugrupuojame po du pagal pirmos eilutės elementus. Iš narių, turinčių a, …
In:
Excerpt
en $ 14] Trečios eilės determinantai 125 Pavyzdžiai. 1) Išskaičiuokime determinantą, išdėstę jį pirmos kolonos elementais; 2 —1 0 1 —3 3170 —l 0 i Lina E = 4 —2 4 —2 4 1 —3 1 —2 4 =2-2-Ž(-441. 22 Čia pirmoji sandauga turi ženklą plius, nes indeksų suma …
In:
Excerpt
126 Determinantai [IV sk. III savybę įrodome, išdėstę trečios eilės determinantą ta kolona arba eilute, kurios visi elementai lygūs 0, nes O ir antros eilės deter- minantų sandaugų suma yra lygi nuliui. IV savybę lengvai įrodysime, išdėstę determinantą …
In: