Excerpt
Įvadas 2 5 objektai. Raidėmis algebroje pradėta reikšti bet kokių aibių elementus, ir net pačias raides, jeigu jos tik patenkina jose apibrėžtų algebrinių operacijų postulatus. Taip išsivystė abstrakti aksiomatinė (modernioji) algebra. Ji yra jau trečias …
In:
Excerpt
a * PIRMOJI DALIS ALGEBRINĖS SISTEMOS IR TIESINĖS LYGTYS I SKYRIUS SKAIČIAI. AIBĖS S 1. Natūriniai skaičiai ir aibės Pradėdami algebros kursą, turime susipažinti su pagrindinėmis sąvokomis, objektais ir jų operacijomis (veiksmais). Nors modernioji algebra …
In:
Excerpt
* 8 Skaičiai. Aibės (I sk. nimai; vadinasi, aibės sąvoka į algebrą įvedama be apibrėžimo. Aibės objektai vadinami jos elementais. Aibes žymėsime didžiosiomis gotiškomis raidėmis, o jų elementus suskliausime figūriniais skliaustais. Natūrinių skaičių aibę …
In:
Excerpt
IS aa, Determinantai [IV sk. 11) Išskaičiuosime determinantą A 0---0 0 0 ei sl 210 0 0 žr x--- 0 0 0 AE ŽIĖE T AS asa ax . a, 0 0 x —1 0 L 0 0 0 x —l 34 0 0--- 0 0 x x -1---0 0 0 0 240 0 0 | i ii. Cetijį [42 |= en 0 AE ag 0 + 0 t. 1 0 0 - 0 0 x a B GAL E …
In:
Excerpt
V SKYRIUS MATRICOS IR VEKTORIAI $ 19. Stačiakampės matricos Pracitame skyriuje matėme, kad > lygčių su 2 nežinomaisiais sis- temą galima išspręsti, jeigu tos sistemos koeficientų prie nežinomųjų matricos determinantas nelygus nuliui. Tokia sistema turi …
In:
Excerpt
186 Matricos ir vektoriai [V sk. Sistemos koeficientai prie nežinomųjų ir laisvieji nariai priklauso tam tikram kūnui 15. Jos koeficientai prie nežinomųjų, surašyti į lentelę, sudaro šios sistemos matricą: Li G12: "Gp A= | Gy 055---05, (2) 4.1 2.3 . "Un …
In:
Excerpt
$ 19] Stačiakampės matricos 187 Dažniausiai turime reikalo su vienos rūšies matricomis, t. y. tik su tos pačios eilės kvadratinėmis arba su stačiakampėmis 71x 71 mat- ricomis, Kai turime vienos rūšies matricas, tai paprastai jas vieną nuo kitos skiriame …
In:
Excerpt
188 Matricos ir vektoriai [V sk. Susitarsime tos pačios rūšies matricomis vadinti tokias matricas, kurios turi tiek pat eilučių ir tiek pat kolonų, ir jei visų matricų elementai priklauso tam pačiam kūnui 5. Kaip kiekvienai algebroje nagrinėjamai aibei, …
In:
Excerpt
$ 19] Stačiakampės matricos 189 Naujoji sistema yra gauta, sudėjus atitinkamas sistemos (5a) ir (5b) lygtis, o tos sistemos matrica yra Gi P 55 bp “+ and 052 bp ap bp OL AL Am + Omi Ams -- Ema SA Eini as Todėl natūralu dviejų 71 x 2 matricų — suma laikyti …
In:
Excerpt
* 190 Matricos ir vektoriai [V sk. Pabrėžiame, kad lyginti ir sudėti tegalime tik 72 x 2 matricą su mxn matrica. Sudėję tokias dvi 2 x m matricas arba padauginę m X m matricą iš skaliaro, vėl gausime 77 xm matricą. Pavyzdžiui, negalima sudėti 3x2 matricos …
In:
Excerpt
$ 20 Stačiakampių matricų "tiesinė algebra 191 1. 4 B=C, kur C yra mx»n matrica (7), ir jos elementai Ek EE A 0 —= 12 mų ES 1,.2, 55 a Matricų sumą galima apibendrinti ir $ dėmenų atvejui, nes mat- Ticų sudėtis asociatyvi: i 2: (4A+B)+C=A1(B+6G). Tuo …
In:
Excerpt
192 Matricos ir vektoriai [V sk. 6. Al =1A=G. G nusako formulė (8), o jos elementai yra Eis=lūj (=15 2, > > > , m; k=1, 2, ---, n). Pagal matricos ir skaliaro sandaugos apibrėžimą lengva matyti, kad daugyba asociatyvi: 7. I(h A)=(1h) A. Ši sandauga …
In:
Excerpt
5 20] Stačiakampių matricų tiesinė algebra 198 Viena paprasčiausių matricų yra lx» matrica, kurią vadinsime matrica-eilute. Jų aibė sudaro tiesinę algebrą. Kadangi matricos-eilu- tės turi tik vieną eilutę, tai jų elementams žymėti visai nereikalingas …
In:
Excerpt
194 Matricos ir vektoriai [V sk. Transponuojant matricas, eilučių ir kolonų indeksai susikeičia vieto- mis, ir eilučių bei kolonų skaičius susikeičia. Mes transponuotas matricas žymėsime tomis pačiomis raidėmis, tik virš jos rašysime apostrofą. …
In:
Excerpt
$ 21] n-mačių vektorių erdvė 195 me kolonų vektoriais. Dabar algebroje labai plačiai yra naudojama vektorių teorija. Matricų teorija taip pat ja remiasi, todėl nagrinėsi- me vektorių aibę. S 21. 2 - mačių vektorių erdvė Praeitame paragrafe vektorius …
In:
Excerpt
196 Matricos ir vektoriai [V sk. Viena svarbiausių m koordinačių vektorių pareinamybė yra jų tie- sinė priklausomybė. Tegu turime m m koordinačių vektorių sąjamą [24]; [c5], ---> [2915 (13) kurią vadinsime vektorių sistema. Sistema (13) vadinsis tiesiniai …
In:
Excerpt
$ 22] Matricos rangas ir jo nustatymas 208 aukščiausios eilės minoro, nelygaus nuliui, eilė yra +. Kadangi matri- cos rangą apibrėžėme, pasinaudoję jos eilučių vektorių sistemos ran- i gu, o vektorių sistemos rangas nepriklauso nuo tų vektorių sunume- …
In:
Excerpt
210 Matricos ir vektoriai IV sk. Šiame išdėstyme kiekvieno elemento adjunktai nepriklauso nuo A ir todėl jie pažymėti tik su vienu indeksu. Prisiminę, kad visiems 7 ir £ Atr+D —0, turime a „A, T 05451---1-0,A,+-05A—=0. Kadangi A70, tai visiems Ą=—1, 2, …
In:
Excerpt
k. 221 Matricos rangas ir jo nustatymas 211 i o visi 6 jį aprėžiantieji minorai lygūs nuliui: 1 —3 2 1 —3 2 1 —3 | I — S | 35 4 Aaaa sha 21 Ia a ai i 4353 2321 | | Ši S S ka S Ia 5 B A Jau minėjome, kad matricos eilučių ir kolonų vektorių sistemų rangai …
In:
Excerpt
212 Matricos ir vektoriai [Y sk. Pavyzdys. Tegu turime penkių keturmačių vektorių sistemą [44]=[l5 —3, 2, —1Į, [z5]=[3; —9, 6, —3], [45]=[2, —2, —15) 1]; [44]=[1) 5, —8, 5] [25]=[5, —3, —5, 4]. "Iš vektorių koordinačių sudarome 5x4 matricą A; „4 Matėme …
In:
Excerpt
| $ 22] Matricos rangas ir jo nustatymas 2 213 Pavyzdys. Rasime determinanto 3 —8 0 —2 L 122 A(9) | = = | 13 —2 —12 —6 | 2521 at 14 tiesiniai priklausomą eilutę ir tiesiniai priklausomą koloną. Šio determinanto antros eilės minoras IB —8 L anas o jį …
In:
Excerpt
214 2 Matricos ir vektoriai [V sk. $ 23. Mairicų daugyba Jau minėjome, kad matricos atsirado iš tiesinių lygčių sistemų ir tiesinių transformacijų. Tiesinės transformacijos naudojamos įvairiose matematikos šakose. Jau analizinės geometrijos pradžioje …
In:
Excerpt
$ 23] 3 Matricų daugyba 215 Sakykime, kad nežinomuosius y45 Y2, +++, 7, transformuojame dar kartą, įvesdami nežinomuosius z1, 25 +++, Z, Ta transformacija yra: N=Puzi t bis 225--- T br žp R, Sis 25 dn a b, 2227 Ia a Ja atitinka 2 X: matrica (29) bi biz Ss …
In:
Excerpt
216 Matricos ir vektoriai [V sk. t. y. matricos j-tos eilutės k-tos kolonos elementas yra suma sandaugų matricos AAA J-tos eilutės elementų ir matricos B.„, k-tos kolonos ele- mentų. Taip gauta nauja 21 x: matrica C.„„ Vadinama matricų LN ir B.„, …
In:
Excerpt
$ 23] Matricų daugyba 217 Pavyzdys. Imame kūno X matricas. Dauginsime 3x2 matricą iš 2x4 matricos: l 2 2 43 0-2 1 — (Lo 1 2 45 20 0. —5 1 1 1 1 1 3-415-15 3-(-3)+5-2 83-01 5> -(-1) 3:21+5-0 1 | -2-411:45 -2-(-8)11-2 —2-04+1-(-1) —2.211-0 |= 1 0-41+(-5)-45 …
In:
Excerpt
218 Matricos ir vektoriai [V sk. ca B turėtų tiek eilučių, kiek A turi kolonų, t. y. matrica B turi turėti 2 eilučių. Kad matricą A.„„galima.būtų padauginti iš kairės iš B, reikia, kad pastaroji turėtų 77 kolonų. Taigi, matrica B turi būti 2 xm matrica …
In:
Excerpt
$ 23] Matricų daugyba 219 Pavyzdys. Sudauginame dvejopai dvi tas pačias matricas; LAA L lksiaĖ i, Tai rodo, kad ir kvadratinių matricų daugyba nekomutatyvi. Labai dažnai tenka dauginti matricas-kolonas iš matricų-eilučių ir atvirkščiai. Ištirsime 1lxn …
In:
Excerpt
220 Matricos ir vektoriai [V sk. Analogiškai matricų sandaugai vektoriams-eilutėms apibrėžiame jų skaliarinę sandaugą. Dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra skaliaras, gautas susumavus tų vektorių atitinkamų koordinačių sandaugas. Skaliarinę vektorių …
In:
Excerpt
| $ 23] Matricų daugyba 291 Kad trijų matricų sandaugą galėtume išplėsti ir vartoti ją be skliaustų, turime patikrinti kokį rezultatą gausime, jei iš pradžių padauginsime matricą B,,,iš C.„„, o vėliau matricą A.„„iš gautos sandaugos. Matricų Erik e …
In: