Excerpt
Kituose taškuose, kuriuose funkcija f (z) nelygi nuliui ir kurie nėra šios LE yra analizinė, todėl, remiantis rezidiumų teorema, (2) integralas yra lygus funkcijos LE rezidiumų sumai, t.y. N-—P. Teorema įrodyta. Pastebėsime, kad (2) lygybę galima užrašyti …
Excerpt
$ 57. Ruše ir Hurvico teoremos Argumento principas dažnai taikomas kompleksinio kintamojo funk- cijų teorijoje. Sekanti svarbi teorema taip pat yra įrodoma, remiantis ar- gumento principu. Ruše teorema. Jeigu funkcijos f (z) ir g (z) yra analizinės uždaro …
Excerpt
bus teisinga visuose kontūro I taškuose z. Kadangi | f (2) | > m, tai |/2 ()-/ (2) | …
Excerpt
R | | 3. | | ABS, | -R =“ € R 61 brėž. 6. Suintegruokite f E čia C — apskritimas S UA—2A Ti š A V= š ę 7. Naudodamiesi rezidiumų teorema, raskite integralą Ats. -0 x* dx | (2 La3 (a> 0). z2 Nurodymas. Integruokite funkcija S Gapgajai kontūru, nurodytu 80 …
Excerpt
VIII 5 K MA R 1 U Ss SVEIKOS IR MEROMORFINĖS FUNKCIJOS $ 58. Sveikų funkcijų klasifikavimas Vienareikšmė ir analizinė visuose baigtiniuose kompleksinės plokštu- mos taškuose funkcija yra vadinama sveika funkcija. Tokią funkciją ga- lima išskleisti …
Excerpt
aro G, 4) 9, - Z al | 4 0 Ž === Al p (2 ZTYio TT AT R G, E ; G, J m, 60 brėž. Pasirodo, kad atvirkštinės trigonometrines funkcijas lengva išreikšti logaritmine funkcija. Iš tikrųjų, turėdami lygtį cos w=z, arba gauname e" =z+Vz2-1 (šaknis dvireikšmė!), o …
Excerpt
Uždaviniai 1. Ar egzistuoja tiesinė funkcija, kuri trikampį, turintį viršūnes 1, 2i ir — 1, atvaiz- duoja a) į trikampį su viršūnėmis 0, | ir i? b) į trikampį su viršūnėmis, 0, 2—i, 2i2 2. Raskite bendrąjį tiesinės funkcijos pavidalą, jeigu ji viršutinę …
Excerpt
22. Pusplokštumę Re z> 0, iš kurios išpiauta atkarpa [0, A] (h> 0), konformiškai at- vaizduokite į pusplokštumę Im w> 0. 23. Sritį, kurią gauname, iš plokštumos išmetę skritulį | z—1 | 0. 24. Apskaičiuokite: , : | 1+i V š į ks ED L > ): e) (LEg 2 21 25. Į …
Excerpt
IV S K A SMS šlanisiious (5 EILUTĖS $ 26. Kompleksinių skaičių eilutė Turėdami kompleksinių skaičių seką Z4, Z> , ..., Z,, ..., sudarome sim- bolį 221 Op (Z) o kurį trumpai žymėsime 2.2 ir vadinsime skaitinė eilute. Skaičiai, k=1 iš kurių sudaryta eilutė, …
Excerpt
Jei 14|> 1, tai lim |g" |= im |g|"= + 00, todėl n—-> 0G n0 lim g"=00 ir lim O„= 0. n> 0 n> 0 Pagaliau tarkime, kad |4|=1, bet 4+1. Tada g=cosx+isin« (++2m7, m — sveikas skaičius), o ą"=cos na +isin n a. Kadangi lim cos 7 x ir lim sin 2 x neegzistuoja, tai …
Excerpt
$ 5 buvo įrodyta, kad „LE E = (X, +iY,) egzistuoja tada ir tik ta- da, kai egzistuoja dvi ribos: li ZaĖ ŽXi ir lim Y,= Y. Todėl eilutė (Z) kon- verguoja tada ir tik tada, kai Lasa eilutės (X) ir (Y). Be to, jei eilu- čių (X) ir (Y) sumos yra atitinkamai X …
Excerpt
todėl, remiantis teigiamųjų eilučių palyginimo požymiu, turi konverguoti eilutės Ix, |+|x5|+ --- +|xp |+ «.. (X*) ir BAE [EF PSP P [EEE t) sudarytos iš eilučių (X) ir (Y) narių absoliutinių didumų. Tokiu atveju eilutės (X) ir (Y) konverguoja …
Excerpt
todėl pagal teigiamųjų eilučių požymį turi konverguoti ir eilutė (Z*). Tai ir reiškia, kad eilutė (Z) konverguoja absoliučiai. Iš čia aišku, kad eilutė (Z) konverguoja absoliučiai tada ir tik tada, kai eilutės (X) ir (Y) konverguoja absoliučiai. …
Excerpt
Pavyzdys. |. Funkcinė eilutė 1+2+221+ ... +25—11.., konverguoja skritulyje | z| …
Excerpt
Todėl "24 IF(2)-F()IS1Zr» imant bet kurį z iš skritulio | z | 20 Dabar (1) nelygybėje skaičių 1 laikykime fiksuotu, o p neaprėžtai didinkime. Kadangi lim F,,„(z)=F (2), tai iš (1) nelygybės, imdami bet kurį z€g, gauname ks | IMG (z) Į N. Vadinasi, eilutė …
Excerpt
Norėdami įsitikinti, kad duotoji funkcinė eilutė kurioje nors srityje konverguoja tolygiai, dažniausiai naudojamės Vejerštraso požymiu, kurį nusako šitokia teorema. Teorema. Jei kiekvienas eilutės (F) narys f, (z) srityje g yra aprėžtas konstanta Cyg: | f …
Excerpt
Pavyzdys. Imkime eilutę z+(27—2)+ ... +(75—7*-)1 A sudarytą iš funkcijų /; (z)=z, f; (2)=z*—zK—1 (k=2,3, ...), tolydinių baigtinėje komp- leksinėje plokštumoje. Jos dalinė suma yra F,(z)=z+(2*—2)+- ... +(27—27-1))=2", todėl eilutė konverguoja taške z=1 ir …
Excerpt
kai | z—z, | …
Excerpt
Pavyzdys. Seka Gedo 2 MA P A 223150) 40 P R LLS aprėžta, nes visi šios sekos nariai mažesni už |. Jos dalinė seka 23242 DTL GS turi ribą, lygią 1. Tai duotosios sekos viršutinė riba, nes šiuo atveju nėra dalinės sekos, kurios riba būtų didesnė už vienetą. …
Excerpt
Iš Koši požymio žinome, kad tokiu atveju eilutė I20|+|24Z0|+14525|+.-. +|a,Z5| +. konverguoja, todėl, imant z=z,, konverguoja (absoliučiai) ir eilutė (L). Vadinasi, kai /=0, laipsninė eilutė konverguoja bet kuriame taške z. k 2. Jei lim Ų|a,|= + 00, tai …
Excerpt
Kadangi eilutė 1+041+02+ ... +0717... konverguoja, tai konverguos ir eilutė 144|+|4129|+|4> 25|+--- +14,25|+--- (remiamės teigiamųjų eilučių palyginimo teorema), o tuo labiau eilutė a;+0,Z2,+0;25+ --. +0,25+ «.. Vadinasi, eilutė (L) bet kuriame skritulio …
Excerpt
Iš $ 28 išnagrinėtos laipsninės eilutės 144221... 171... matyti, kad laipsninė eilutė a)+-0,Z+a;2*1 ... +a,ZF+ …
Excerpt
$ 31. Laipsninės eilutės sumos analiziškumas Praeitame paragrafe paminėjome, kad laipsninės eilutės suma s (2) yra funkcija, tolydinė konvergavimo skritulyje. Dabar tą rezultatą page- rinsime, būtent, įsitikinsime, kad funkcija s (z) kiekviename …
Excerpt
| 61 brėž. santykį su z—zZį: s(2)=s(z) | - Ža Zz-Z —. Reikia įrodyti, kad lim s(2)— -s (21) =6(z,)= S Iki ij Ik Zz—Z;į —> Ža k=l Tuo tikslu, tarę, kad | …
Excerpt
Kadangi |z| Ak iun 2 im A8SA= k=N+1 [0] S klai k=N+1 Tokiu būdu, iš (2) lygybės gauname i A ) ,' T k | 65 G —6c(z,) | Z * K=I Todėl aukščiau minėtą skaičių < turi atitikti toks d, kad, imant |z—z, …
Excerpt
Taškas z, buvo bet kuris konvergavimo skritulio taškas, todėl visame skritulyje | z | < R galioja lygybė s (= 62) Ž. kūgzk=s k=1 Įrodytąją teoremą savo ruožtu galima pritaikyti eilutei a,+2a,27+...+ka,zk-11 = + A kaszt- k=l Jos suma s' (z) turi būti …
Excerpt
tai sakome, kad funkciją f(z) taško z, aplinkoje galima išreikšti laipsnine eilute. Iš aukščiau pateiktos išvados matyti, kad funkcija f(z), kaip laipsni- nės eilutės suma, turi būti be galo diferencijuojama skritulyje |z— —z| k(k-1)...(k-n+1)a, …
Excerpt
[> ] [0] 2. Tarkime, kad eilutės ŠA Zr IE +3 Zk konverguoja. Įrodykite, kad tuo atveju, k=l k=! o kai Re z,> Ū, eilutė * |Zx |? irgi konverguoja. k=l k o 3. Tarkime, kad Jim V 1zk|=4. Įrodykite, kad eilutė 2 z; konverguoja (abso- liučiai), kai g < I, ir …
Excerpt
V St Ka, k LS KOMPLEKSINIO KINTAMOJO FUNKCIJOS INTEGRAVIMAS $ 32. Integralo apibrėžimas Tarkime, kad L yra kompleksinės plokštumos kreivė, jungianti pradi- nį tašką z, su galiniu tašku Z (62 brėž.), o f(z) — vienareikšmė funkcija, apibrėžta kiekviename …