Excerpt
taip pat yra sveika funkcija, todėl integralas z ž 9" (z) o (As |Z | SG (= J [Lno(z)] dz=Lno(z) , nepriklauso nuo integravimo kelio ir yra vienareikšmė analizinė funkci- ja visuose baigtiniuose taškuose z, t. y. sveika funkcija ir z z “ 9 (2) 9“ (2) AR 0 …
Excerpt
Šios eilutės tolygus konvergavimas įrodomas šitaip: | 1 z p+1 1 z 1P+2 1 Zk 2, p+1l > bo (2) L „ads? Kadangi C nepriklauso nuo k, tai iš gautos nelygybės ir (6) eilutės konver- gavimo gauname (8) eilutės tolygų konvergavimą. Iš čia gauname, kad G(z) yra …
Excerpt
Iš tikrųjų, jei funkcija /(z) be galo nutolusiame taške yra analizinė arba turi polių, tai kokioje nors be galo nutolusio taško aplinkoje R …
Excerpt
Iš Vejerštraso teoremos matyti, kad galima sudaryti meromorfinę funkciją, turinčią polius duotuose taškuose z,, jeigu tik seka 1z,) neturi baigtinių sankaupos taškų. Iš tikrųjų, remiantis Vejerštraso teorema, galima sudaryti sveiką funkciją G (z), kad G …
Excerpt
skritulyje |z| , LR, (2) 1-2; (2)1. k=l k=l tai funkcija /(z) ir yra ieškomoji meromorfinė funkcija. Vienareikšmės srityje G funkcijos, kurios kiekviename šios srities taške arba yra analizinės, arba turi polių, yra vadinamos meromorfi- nėmis srityje G. …
Excerpt
IX S K Y R 1 U S ANALIZINIS PRATĘSIMAS. DAUGIAREIKŠMĖS ANALIZINĖS FUNKCIJOS $ 62. Analizinio pratęsimo sąvokos aiškinimas - Sakykime, kokioje nors srityje G, yra duota vienareikšmė analizinė funkcija! 74 (z), ir sritis G, (G, £Gą) turi bendrų taškų su …
Excerpt
62 brėž. $ 63. Analizinio tęsinio apibrėžimas. Pilna analizinė funkcija Tiesioginio analizinio tęsinio apibrėžimas. Vienareikšmė. analizinė srityje G, funkcija fi z) yra vadinama vienareikšmės analizinės srityje Gą funkcijos f. (2) tiesioginiu analiziniu …
Excerpt
S y i NS NY J G, 2 63 brėž. Analizinio tęsinio duotai analizinei funkcijai sudarymą vadinsime duotosios funkcijos analiziniu pratęsimu. Sritis G,, apie kurią kalbama analizinio tęsinio apibrėžime, gali tu- rėti bendrų taškų su pradine sritimi G,. Tuose …
Excerpt
tyje G, o funkcija f* (z) — meromorfinė srityje G*. Pašalinsime iš srities G tuos taškus, kuriuose funkcija f(z) turi polius, o iš srities G* — tuos taškus, kuriuose /* (z) turi polius. Likusiose srityse, kurias žymėsime atitinkamai G ir G*, funkcijos …
Excerpt
Iš tiesioginio analizinio tęsinio apibrėžimo išplaukia, kad egzistuo- ja sritis g,, kuri yra piūvio G, , N G, dalis ir kurioje Jt 1 (z)=/š (=) (k= 1, 2,..., nm). Srityse g4, ..., g, laisvai pasirinkime po tašką a, (a, €gy). Taškai a, ir a,,; priklauso tai …
Excerpt
Iš skritulių K,„ir funkcijų S,„(z) sudarymo būdo gauname, kad funk- cijos F(z) elementų sistemoje 160 Jo(z)), 4 Ks S.(2)Js < (Km Sm(Z)) gretimi elementai yra tiesioginiai vienas kito tęsiniai. Be to, kaip matėme, …
Excerpt
65 brėž. Skaitydami, kad z plokštumos sritis G ir apskritimo lankas (arba tie- sės atkarpa) y tenkina nurodytas sąlygas, įrodysime teoremą, vadinamą simetrijos principu. Teorema. Sakykime, kokio nors apskritimo lankas arba tiesės atkar- pa y sudaro …
Excerpt
Tarkime, kad 7, — bet koks srities G* taškas. Funkcijos f(z) me- romorfinės srityje G skleidimo Lorano eilute taško Zz, …
Excerpt
ir D, su bendra kraštine / (87 brėž.). | F(z)dz= f F(z)dz=0, nes D, D, F(z) - analizinė tų daugiakampių viduje ir tolydinė jų kontūrų taškuose (Fedz= | F)dz+ | F()az=0. A D, D, Vadinasi, remiantis Morero teorema, funkcija F(z) yra vienareikšmė ir …
Excerpt
Pažymėkime sritį, gaunamą iš visos kompleksinės plokštumos „iš- metant“ neigiamą realiosios ašies dalį (su nuliniu tašku), G,, o sritį, gau- namą „išmetant“ iš kompleksinės plokštumos teigiamą realiosios ašies dalį, — G,. Funkcija 2 KO= LV (2) (x yra lygi …
Excerpt
Pažymėkime G, ir G, sritis, apibrėžtas 1 pavyzdyje. Srityje G, funkcija fa. (z)=1n z=In |z |+arg z (5) yra vienareikšmė ir analizinė. Srityje G, funkcijos A(z)=1n|z|+i40, | (6) f-,(2)=1In|z|+ixC0, Čia 0 yra Arg z reikšmė iš intervalo (0, 27), o «D — Arg z …
Excerpt
Sakykime, F(z) — daugiareikšmė pilna analizinė funkcija. Jeigu, analiziškai pratęsdami išilgai bet kokio pakankamai mažo apskritimo y su centru taške z, kokią nors funkcijos F (z) vienareikšmę šaką /(z), grįž- tame prie pradinio taško z, (z, sy) ir gautas …
Excerpt
ju, kai yra be galo daug nelygių nuliui koeficientų c, su neigiamais indek- sais m, taškas z4 yra transcendentinis išsišakojimo taškas. Paprasčiausiu atveju, kai z;=0, c;=1, o visi kiti c,=0 (11), gau- | k name F(z)= |/ = su algebriniu išsišakojimo tašku …
Excerpt
88 brėž. vienoje vaizduojame taškus z=re'9, kai (4k—1)z …
Excerpt
90 brėž. Norėdami panašiu būdu sudaryti Rymano paviršių funkcijai w= =Ln z, galėtume imti be galo daug kompleksinių plokštumų, sudėtų vie- na ant kitos, perpiautų išilgai neigiamos realiosios ašies dalies ir sukli- juotų taip, kad kiekvienos plokštumos …
Excerpt
X S K Y R 1 U s KONFORMINIS ATVAIZDAVIMAS $ 69. Vaizdavimas analizinėmis funkcijomis Sakykime, funkcija w=/(z) yra apibrėžta kompleksinės plokštumos („„z plokštumos“) srityje G. Kiekvienam taškui z ) susikirtimo taške w4=/ (z9). Įsitikinkime, kad …
Excerpt
Konstantos c, argumentas yra pastovus, todėl A; Arg €1= 0, taigi, Apu) Arg (w—w4)=n- A; Arg(z—2,) + + A; Arg [+ 22 (Z—2Z)-1--. a) (2) [4 Kadangi A; Arg (z—z,) yra lygus kampui tarp kreivių y; ir y, kirstinių, tai lim A; Arg (z— z,), kai z, ir z, artėja į …
Excerpt
Pastaba. Teoremos teiginys lieka teisingas ir tuomet, kai funkcija f(z) taške z, turi k-tos eilės polių. Iš tikrųjų, tuo atveju galima taikyti įrodytą teoremą funkcijai E=g (z)=[f(z)] ?, kuri taške z, turi k-tos eilės nulį. Po to, pakeitimu w= —, gauname …
Excerpt
Jeigu funkcija /(z) yra vienalapė srityje G, tai f“ (z)*0 srityje G, taigi, atvaizdavimas w=/(z) yra konforminis srityje G. Iš tikrųjų, remiantis $ 69 pirma teorema, jei f“ (z4)=0, z4 €G, tai bet kokioje pakankami mažo- je taško z, aplinkoje atsiras ne …
Excerpt
nuo tam tikro numerio, z„£U. Todėl taškai w,=/ (z„) nepriklauso skritu- liui |w—w4| p ir lim f(z,)žw). Taigi, neegzistuoja tokia seka (z,|, z,—> 00, kuriai lim f (z,)= wo, todėl pagal Sochockio teore- mą ($ 54) be galo nutolęs taškas negali būti esminiu …
Excerpt
w iš pakankamai mažos taško Ww; ( Wo=f (eo) aplinkos ($ 69, 1 teorema), t.y. lim/z=zų, kur zS75(0)Y Funkcija z=/7! (w) yra meromorfinė srityje G. Iš tikrųjų, 7“ (z) £0 visoje srityje G, išskyrus, gal būt, vieną tašką z,, kuriame f(z) gali turėti polių, ir …
Excerpt
atvaizduoja skritulį |C| …
Excerpt
bet kokiam |z| < R. Nuliniame taške (1) nelygybę patikriname tiesiog įstatydami vietoj z nulį. (2) nelygybę gauname iš (4) nelygybės, pastebėję, kad z—0 2 z—> 0 Jeigu kokiame nors taške z4, O Ei AVA J0= > B= Jeigu Pin „M tai funkcija |o (z) | įgyja …
Excerpt
bus vienalapė ($$ 70, 71) skritulyje | w | …
Excerpt
$ 73. Konforminio atvaizdavimo egzistavimas Nagrinėdami konforminį vaizdavimą iki šiol nelietėme klausimo, ar visuomet galima surasti vienalapę funkciją, kuri vieną duotą sritį konfor- miškai atvaizduotų į kitą duotą sritį. Pasirodo, kad labai plačiai …