Excerpt
$ 15. Reguliarūs ir pavieniai taškai 115 gos. Iš tikrųjų, jei ši sąlyga būtų išpildyta, turėtume, esant y reikšmei pakankamai artimai y, nelygybę Ig 0) —z(0)| iš kur, atsižvelgę į sąlygą g(y)=0, gautume 1 N PZTT = TE0T" (4) Funkcija g(y), būdama lygi …
Excerpt
116 VI: Pavieniai sprendiniai 1) Taške (x0, yo) lygtis apibrėžia baigtinį skaičių n krypčių, tai yra lygtis Flo Yo P) =0 (6) turi lygiai n skirtingų realių šaknų pi, D2, …
Excerpt
$ 16. Pavieniai sprendiniai. 117 tai dalijimo kreivės yra diskriminantinės. Iš tikrųjų, kiekvienoje dalijimo kreivės taško aplinkoje yra skirtingoms dalinėms sritims priklausančių taškų, kuriuose lygtis (5) apibrėžia skirtingą krypčių skaičių. Kiekviename …
Excerpt
118 VI. Pavieniai sprendiniai Iš $ 15 teiginių išeina, kad pavienės integralinės kreivės taškų aplinkoje turi būti nepatenkinta bent viena iš Koši sprendinio egzistencijos ir vienatinumo teoremos sąlygų. Pavyzdžiui, diferencialinė lygtis 2), 2) nagrinėtu …
Excerpt
120 VI. Pavieniai sprendiniai lygties (3) pavienė integralinė kreivė, būdama visuose taškuose liečiama kitų integralinių kreivių, yra tų integralinių kreivių šei- mos gaubiamoji. Iš čia turime dar vieną metodą pavieniams sprendiniams gauti, Norint gauti …
Excerpt
122 VI. Pavieniai sprendiniai Eliminavę parametrą p, gauname lygties (9) sprendinių šeimą (bendrąjį spren dinį): : (G«G—C*+0y—C)=1. (15) Lygtis (15) reiškia vienetinių (vieneto spindulio) apskritimų šeimą, kurių centrai yra taškuose x=C, y=C, tai yra …
Excerpt
$ 16. . Pavieniai sprendiniai 123 1) Išdiferencijavę lygtį (19) parametru p, turime 94p2 —24p=0, iš kur p=0 arba p=1. Įstatę abi p reikšmes į lygtį (19), gauname dviejų tiesių lygtis x—y=0, —= 25 (20) Abi tiesės kartu sudaro diskriminantinę liniją. Iš …
Excerpt
$ 17. Skaitiniai metodai 127 sąlygą y(xo)=yo, ieškome taip. Išreiškiame vi=y(xi), paėmę tris Teiloro eilutės narius: auks v1=Y0 + 51 5 Vo (4) ir įrašome y, ir y4 Ieikšmes, apskaičiavę jas iš akivaizdžių formulių , „ d 1 "pt 35 = E X) = To 30-67, (o J0)- …
Excerpt
128 VII. Artutiniai metodai diferencialinėms lygtims integruoti Tuo atveju sukauptoji paklaida yra apytikriai išreiškiama formu- lėmis 8 =A1B(—-)"+ 57, kai 550, n n I = (6) 8„=A(—- g" + Bg" T ajz kai g 1, todėl paklaidos kitimo pobūdį nulemia pirmasis …
Excerpt
$ 17. Skaitiniai metodai 129 Jei y“) (x) yra tolydinė, lygybės (7) paklaidai pritaikome vi- durinių reikšmių teoremą =— E (Ė5) > Ep (Ė4) Dakų y (E5) + - [T (E,) — y" (2) 2 — - y (E2) L ( < Es < ii). Čia |š) — Ė5| < A, todėl, atmetę ketvirtosios eilės …
Excerpt
ee d 130 VII. Artutiniai metodai diferencialinėms lygtims integruoti Įrodysime minėtųjų sekų, gautų kartojant skaičiavimus pagal formules (9), konvergavimą ir rasime jo greitį. Skaičiuodami kaita- liojome įstatinėjimą į trapecijų formulę ir į …
Excerpt
, $ 17. "Skaitiniai metodai 2 ; 131 Kartu konverguoja sekaVi415 Vatas A „.. Iš pirmosios formulės (9) tipo lygybių, kartodami 3-4 operaciją, riboje gauname formulę SEA (13) ir duotąją lygtį (1) taške x=x„. Praktikoje dažnai stengiamasi imti tiek mažą h, …
Excerpt
132 VII. Artutiniai metodai diferencialinėms lygtims integruoti Iš čia artutinė vieno žingsnio paklaidos išraiška h* eilės tikslumu yra 1 I Tafi 5 Cj= Hi O +1 — Vata). 5. Tegul funkcijos f,(x, y) ir =“ (x) yra, kaip ir aukščiau, ar- timos konstantoms. …
Excerpt
134 VII. Artutiniai metodai diferencialinėms lygtims integruoti y“/=0, ir visos aproksimavimo paklaidos yra lygios nuliu: nepriklausomai nuo parinktojo žingsnio R. Tai lengva patikrinti, išsprendus lygtį kintamųjų at- skyrimo būdu. Lygties bendras …
Excerpt
$ 18. Grafiniai metodai 137 Taškų (5) geometrinę vietą vadiname ve damąja kreive. Homogeninės lygties y'-+-p(x)y=0 atveju ši kreivė virsta x ašimi, nes iš antros lygties (5) turime y=0. Paprasčiausias grafinis būdas lyg- 17 ties (1) integralinei kreivei, …
Excerpt
VILI SKYRIUS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS, JŲ SPRENDINIŲ EGZISTENCIJA IR VIENATINUMAS $ 19. Diferencialinių lygčių sistemos. Kanoninės ir normalinės sistemos 1. Panagrinėsime bendriausio pavidalo n diferenciali- nių lygčių su n nežinomųjų funkcijų yr …
Excerpt
$ 19. Kanoninės ir normalinės sislemos 139 Iš sistemos (2), pažymėję ypa =75 (6 = 1525 5 m), iš Čia pakeitę Ya = 9 Va =Yja Ip Yi YIT ir įstatę į sistemos (2) Fi=0, .-., F„=0 pavidalo lygtis (li- kusios tos sistemos lygtys virsta tapatybėmis), gauname vėl …
Excerpt
140 VIII. Diferencialinių lygčių sistemos įstatydami išvestinių Yi Yž> ---> y, Teikšmes iš lygčių (4) ir ati- tinkamai pažymėdami dešiniąsias gaunamų lygybių puses, gau- name lygčių sistemą: =fi (X; Yas Ya > > Ya)> G 0 0 vi Mi A A+ Ža = F,(x; Yy> «> Ya)> …
Excerpt
A $ 19. Kanoninės ir normalinės sistemos 141 wi=f,, išvedame lygybę, prie kurios prirašome lygybes, analo- gišku būdu gaunamas iš kitų sistemos (4) lygčių: i 0 A-Ž 0-0 =0 2 Št 2 Gi—-f)=0, AJ) 1 ES 0. Šios lygybės sudaro tiesinių S lygčių sistemą dydžių …
Excerpt
'142 VIII. Diferencialinių lygčių sistemos “Šios sistemos sprendinys yi=yi(t), ..., yn=Yn(t) apibrėžia erdvės R, tašką, o išvestinės y; (t), . -,y, (t) yra to taško greičio vektoriaus komponentės — projekcijos į atitinkamas koordinačių ašis. Lygčių …
Excerpt
£ 20. Diferencialinių lygčių sis'temų sprendinių egzistencija 145 pavyzdžiui, 3 svorio centro koordinatės, 2 kampai, nusakantieji einančios per svorio centrą ašies kryptį, ir pasisukimo kampas apie šią aši, II t. t. Pavyzdys. Suvesti normalinę sistemą y …