Excerpt
atvaizduoja y į d, tai, apeinant taškui z vieną kartą kontūrą y, taškas w=/ (=) apeis vieną kartą kontūrą 0. Vadinasi, 1 į , N=5- A,Arg[/f(z)—wl= 5> A5 Arg(w—w)= *1, jei w, yra kontūro y viduje D, ir N=0, jei w, yra kontūro 6 išorėje. Funk- cijos f(z) — …
Excerpt
2 teorema. Sakykime, vienkartsusijusios sritys G ir D yra apribotos uždaromis išplės- tinės plokštumos Žordano kreivėmis y ir Š. Tuomet vienalapė funkcija, konformiškai at- vaizduojanti G į D, yra tolydinė (plačiąja prasme) aibėje G ir atvaizduoja abipus …
Excerpt
91 brėž. ir išveskime apskritimo |1—z|= ę lanką y, viršutinėje pusplokštumėje nuo taško z, iki realiosios ašies dalies, esančios tarp O ir 1 (91 brėž.). Funkcijos w=/ (z) reikšmę taške z, skaičiuosime, integruodami (1) integralą nuo 0 iki I —pišilgai …
Excerpt
Kai z juda realiąja ašimi nuo O iki 1, pointegrinė funkcija f“ (z) įgyja teigiamas reikšmes ir funkcija f(z) monotoniškai didėja nuo O iki skai- čiaus K: 1 dt Aaa MOEDAS Eijų a Taigi, z plokštumos realiosios ašies intervalo (0, 1) vaizdas yra w plokštu- …
Excerpt
o kiti nariai nepasikeis, vadinasi, arg f" (z) padidės nuo = iki z. Kai z judės La k tome iš (4) formulės, nepasikeis ir bus lygios x. Vadinasi, visiems realiems realiąja ašimi tarp — ir be galo nutolusio taško, arg f" (7) reikšmės, kaip ma- z, didesniems …
Excerpt
santykį 2. Galima įrodyti, kad viršutinę pusplokštumę galima konfor- miškai atvaizduoti į bet kokį iš anksto duotą stačiakampį, panaudojant funkciją w= C,/(z)+- Cs; čia f(z) yra funkcija, apibrėžiama (1) integralu su tinkamai parinkta parametro k reikšme. …
Excerpt
I 453 94 brėž. | kame I kraštinės atžvilgiu duotam stačiakampiui, analizinis tęsinys įgys visas reikšmes iš apatinės pusplokštumės. Pratęsimą žymėsime tuo pačiu simboliu sn w. 2 Toliau galime vėl pratęsti funkciją sn w iš naujo stačiakampio per kurią nors …
Excerpt
(«o — realus, «' — grynai menamas). Taškas w, buvo parinktas laisvai, todėl tokios pat lygybės galios ir bet kokiems taškams w, taigi, funkcija sn w turi du periodus: 20 (realus periodas) ir 20' (grynai menamas perio- das). Be to, funkcija sn w bet …
Excerpt
| | Apl | 96 brėž. | (1) lygybės dešinėje pusėje pasirinkime užrašytos daugiareikšmės funkcijos tą vienareikšmę viršutinėje pusplokštumėje šaką, kuriai Arg ag C+ (4 Iarg(z-a,)+ +(x5— LJarg(z—a,5)+-.. +(+,— 1)arg (z—a,). Jei z yra realiosios ašies taškas …
Excerpt
atvaizduoja realiąją ašį į daugiakampį su duotais kampais tarp kraštinių. Jei to daugiakampio kontūras yra Žordano kreivė (t.y. nekerta savęs), tai (2) funkcija yra vienalapė ir konformiškai atvaizduoja viršutinę pus- plokštumę į daugiakampį. (2) formulė, …
Excerpt
XI s K Y R 1 U 5 HARMONINĖS FUNKCIJOS $ 78. Vienareikšmės harmoninės funkcijos ir jų ryšys su analizinėmis funkcijomis Vienareikšme harmonine srityje G funkcija yra vadinama vienareikš- mė reali dviejų realių kintamųjų funkcija u (x, y), apibrėžta ir …
Excerpt
Kadangi analizinė funkcija /(z) turi bet kurios eilės tolydines išvestines, tai jos menamosios dalies v (x, y) antrosios išvestinės yra tolydinės, todėl Ša pas Ox Oy. "Oy Ox Sudėję (3) lygybių kaires ir dešines puses, gauname; 0žu Ožų "aka Oy* =04 t.y. …
Excerpt
97 brėž. ! ir 0v 2 7PU0 y), 0v 255700 V). ty. 00 22 Ou 0 ne Oy k Oy Ox Bet (6) lygybės yra Dalambero— Eulerio sąlygos, užrašytos funkcijai f(z)=u (x, y)+-iv (a, V), todėl f(z) — vienareikšmė ir analizinė srityje G. Tokiu būdu, kai sritis G yra …
Excerpt
remiantis jau įrodyta teoremos dalimi, bus vienareikšmė ir analizinė, jeigu keisime tik dalinei sričiai g priklausančią integravimo kelio dalį nuo taš- ko (34, »,) iki taško (x, y) (tuomet integralas nuo taško (x4, yg) iki taško (X Ji) bus konstanta). …
Excerpt
sinio sąvoką (panašiai, kaip $63 buvo apibrėžta tiesioginio analizinio tę- sinio ir analizinio pratęsimo sąvoka) ir, pagaliau, daugiareikšmės harmo- ninės funkcijos sąvoką. Galima ir kitu būdu apibrėžti daugiareikšmes harmonines funkcijas. Iš $ 78 teoremų …
Excerpt
VI s“ Di Enio ie 0 is FUNKCIJOS IŠREIŠKIMAS LAIPSNINE EILUTE $ 39. Koši integralinė formulė Tarkime, kad funkcija f(z) yra vienareikšmė ir analizinė srityje G, o L — uždara ištiesiama Žordano kreivė, priklausanti sričiai G kartu su savo vidumi D (74 …
Excerpt
f) yra analizinė srityje G, išskyrus tašką z4, todėl pagal Funkcija —— sudėtinio kontūro teoremą gauname f (0) sė f£(0) [ €—2) dt= [ C-Z0 dč. (2) L To Vadinasi, pakanka įrodyti, kad 1 fel=> 5 | LT ar. To Tuo tikslu, turėdami mintyje, kad = 2ai L ($ 34), …
Excerpt
(skaičiaus modulis gali būti mažesnis už bet kurį teigiamą skaičių < tik tada, kai šis gs lygus 0). Vadinasi, “A A(9)S J(z0)= = Ikaro g dč. p Iš šios lygybės, turint mintyje (2) lygybę, išplaukia Koši integralinė formulė (1). 1 Pastaba. Integralas Dai || …
Excerpt
a r Dabar pakanka trupmeną išdėstyti z—z, laipsnių eilute ir gautą- ją eilutę suintegruoti panariui. Tuo tikslu perdirbame 2 1 Ri 1 1 t-z £ (E—2)—(z— 20) " €-2 2 23 ž C- 2 Paskutinę trupmeną galima laikyti begalinės geometrinės progresijos su- 1 C-z ma, …
Excerpt
Pastebėsime, kad šie koeficientai nepriklauso nuo spindulio p, nes imda- mi p'žp(p' …
Excerpt
Jei f(z) — aprėžta uo Keijas tai |/(z)| kurioje o gali būti kiek norima didelis skaičius, gauname a,=0 (k=1, 2, ...), nes |a, | gali būti mažesnis už kiek norima mažą skaičių 8 tik tada, kai |a,|=0. Vadinasi, J(2)=a,. t. y. funkcija f(z) yra konstanta. Iš …
Excerpt
eilę nuostabių analizinės funkcijos savybių. Vieną iš jų, tiesiog išplau- kiančią iš $ 40 gautų rezultatų, išnagrinėsime dabar. Teorema. Bei kuri funkcija f(z), vienareikšmė ir analizinė srityje G, yra toje srityje be galo diferencijuojama, t. y. ta …
Excerpt
Vadinasi, JNC f (6) asi Už) E S arba 4 k! PA(S f0 (z9)= Bai [ Kas dC. (2) [+] Kai apskritimo y, spindulys > pakankamai mažas, tai šis apskritimas yra kreivės L viduje. Tada pagal sudėtinio kontūro teoremą turime BP „BL o e Dabar iš (2) ir (3) lygybių …
Excerpt
(Z) 76 brėž. Lema. Tarkime, kad srityje G duota aibė 6, turinti toje srityje bent vieną sankaupos tašką. Jeigu funkcija o (z), analizinė srityje G, aibės 6 taškuose įgyja reikšmes, lygias nuliui, t. y. p(z)=0, kai zEd, tai ji lygi nuliui ir kiekviename …
Excerpt
Iš čia, atsižvelgdami į tai, kad z,—z,40, gauname C+ Cps1 (Z,—Z0) +... =0. (3) Laipsninė eilutė CT Crsi(Z—20) + Cp+> (Z— 21, (4) kaip ir (2) eilutė konverguoja skritulyje K. Jos suma V (7) yra funkcija, analizinė skritulyje K ($ 31), o iš (3) lygybės …
Excerpt
Pasinaudodami įrodytąja lema, išnagrinėsime labai svarbią anali- zinės funkcijos vienatinumo savybę. Teorema. Tarkime, kad srityje G duota aibė 6, kurios vienas sankau- pos taškas priklauso šiai sričiai. Gali egzistuoti tik viena funkcija, anali- zinė …
Excerpt
Teorema. Jei funkcijos f(z), analizinės srityje G, modulis |f(z)| ku- riame nors srities G taške įgyja maksimumą, tai f (z)=const. Kitaip sakant, jei f (z)==const yra funkcija, analizinė srityje G, tai |f(z) | srities vidinia- me taške negali įgyti …
Excerpt
Dabar, remdamiesi analizinės funkcijos vienumo teorema (aibė 4 būtų skritulys |z—z4| 0 yra analizinė srityje G, ir įsitikinsime, kad jos nuliai, esą šioje srityje, yra izoliuoti, t. y. apie kiekvieną nulį, kaip apie centrą, galima nubrėžti skritulį, …
Excerpt
Tada f(2)=c„(Z—2)Y+Ca+1(Z—2Y"77T---, arba J(z) = EZ2 [6- Sala 11 (z7—2,771+ 220 sl: Skaičius 1 vadinamas funkcijos f(z) nulio z, eile. Kai n=1, nulis 2 £ sti 2 (k vadinamas paprastu, okai1> 1—kartotiniu. Kadangi Žž — tai n-tos eilės nulis 74 apibūdinamas …
Excerpt
Teoremos sąlygas galima supaprastinti: užuot reikalavus, kad integ- ralas bet kuria uždara ištiesiama kreive būtų lygus nuliui, galima tarti, kad integralas bet kurio trikampio, esančio srityje G, kontūru lygus nuliui. Norėdami tuo įsitikinti, pirmiausia …