Excerpt
Įrodymas. 1. Pasirinkime bet kurį srities G tašką, sakysime, zą, ir įrodykime, kad funkcija s(z) šiame taške turi baigtinę išvestinę. Kadangi taškas z, priklauso sričiai G kartu su savo aplinka, tai eg- zistuoja uždaras skritulys …
Excerpt
verguoja tolygiai. Vadinasi, gautąją eilutę apskritimu y, galima inte- gruoti panariui. Tokiu būdu iš (3) lygybės gauname = s(2)= I (25 | B at). Zai V (0-2) k=l s e Kadangi funkcijos u; (z) srityje G analizinės, tai, vėl remdamiesi (1) formule iš $ 42. …
Excerpt
Vadinasi, , = J) 1 r - > - ()- X d= 55 | +2> £- X (5 | 8 4)- k ži = k i 1 a s(O- 2, 0) ŽŽ (4) 2ni o Duotoji eilutė * u„(z) apskritime y, konverguoja tolygiai, todėl (=! kiekvieną laisvai pasirinktą skaičių 0 atitinka toks numeris N, kad, imant 1> N, …
Excerpt
$ 48. Analizinės funkcijos aproksimavimas polinomais Funkcija /(z), analizinė skritulyje |z—z,| < R, šiame skritulyje gali būti išreikšta z—z, laipsnių eilute. Tarkime, kad eilutės a) -a (z—Z))-05 (z—2))ž1- ... 95 (z—2))F1 ..., konverguojančios skritulyje …
Excerpt
> kurios nariai v, (z)=p; (z)—p,—, (z) yra funkcijos, analizinės visoje plokštu- moje. Kadangi (4) eilutės dalinė suma yra s,(2)=p.(2)+ X (P. (=P: (2)) =. (2), k=! tai skritulyje | z—z4 …
Excerpt
Panašiai įsitikiname, kad baigtinėje plokštumoje ' 2 zš COS Z= BPT GE Arta ZėL ZAZ = Gr Br 1T- +. Apskaičiuodami funkcijos išvestines, dažnai susiduriame su labai su- dėtingais reiškiniais, todėl tais atvejais sunku betarpiškai apskaičiuoti laipsninės …
Excerpt
Vadinasi, gauname eilutę o ež 1 1 1 =įl Pe, "an 22 (+ 2 = n=l kuri konverguoja skritulyje |z| +4,b, +d5b,) (z—20))*+ > (T +(db,+-db, + (T +4,b,) (z7—24)"+ L Za Ta (Z— 2) Ta (Z—2)ž L 0, (z—2)" T... Gautosios lygybės kairėje ir dešinėje yra laipsninės …
Excerpt
a,b.+a,6 = 1 B 0 “ Tokiu pat būdu apskaičiavę koeficientus d;, ..., d,-1, iš (14 1)-mos lygties galime rasti d: į. Au=dabn=di bn-1—. dnei bi | n b, Šitaip apskaičiuosime bet kurį (4) eilutės koeficientą. Galima nustatyti ir bendrą koeficiento d, išraišką. …
Excerpt
$ 50. Eilutės įstatymas į eilutę Tarkime, kad funkciją f(z) galime išreikšti analizinių skritulyje |z— —z4| f. (z) suma, jos laipsninės eilutės koeficientus galima n=! apskaičiuoti, sudedant atitinkamus koeficientus iš funkcijų /,(z) laipsni- nių eilučių. …
Excerpt
Įsitikinsime, kad funkcija f(=z)=A (š (2) yra analizinė skritulyje |z—z;| …
Excerpt
ak S 4. (Inis ko) 6) (4) eilutę įstačius į (5), reikia apskaičiuoti w“=(z41224 ... 17741 „JK. Bet čia, užuot eilutę kėlę k-ju laipsniu, galime išreikšti z laipsnių eilute funkciją (12) ma k(k+) | 1 Zz: TI k(k+1)... (kitm-l) m! -(l-Ą-k- k (1+ E + 2 — I) 22 …
Excerpt
Vadinasi, galutinai Uždaviniai A dz 2 i 22 1. Apskaičiuokite || 211v kai L: a) apskritimas |z—1 |=1; b) apskritimas Jž |z+1 |=1; c) apskritimas | z|=2. dz š S b ==“ kai LZ — uždara ištiesiama Zordano kreivė, nei- 2. Apskaičiuokite || z(= 72 nanti per …
Excerpt
11. Išreikškite laipsninėmis eilutėmis taško ==0 aplinkoje šias funkcijas: a) chz; b) sh z; i Zz c) sinž z; d) nesa - e) In(1+2). 12. Raskite pirmuosius penkis z laipsnių eilutės narius: 2 a) tgz; b) E 4 e) eiNnz. b) /cosz (Vcosz=1, kai > …
Excerpt
VII Šiek aa bdimieNi UA AgUgėS YPATINGI TAŠKAI. REZIDIUMAI $ 51. Lorano eilutė Laipsninė eilutė a) +0,Z1-a;2*1 R, t. y. skritulio | z | < R išo- rės taškuose. Apskritimo | |= R taškuose ši eilutė gali konverguoti arba diverguoti. Skaičius R yra vadinamas …
Excerpt
ir neigiamais numeriais), tai reikia iš naujo apibrėžti jos konvergavimo ir sumos sąvokas. Apibrėžimas. Sakysime, kad (4) eilutė taške z konverguoja, jeigu konver- guoja dvi eilutės: ca+0 (z—Z))+-c5(Z— …
Excerpt
sal Oni (z—z)k*1 (k — natūrinis skaičius) ir suintegruokime panariui išilgai apskritimo C. Sio apskritimo taškų aibėje (4) eilutė tolygiai konverguoja, todėl Įrodysime šią savybę. Padauginkime (4) eilutę iš +0 P) - Bei "2 (GB | (25-42 (9) 2ri J (z—z,)7*1 …
Excerpt
$ 52. Analizinės funkcijos skleidimas Lorano eilute Kiekvieną analizinę skritulyje funkciją, kaip žinome, galima išskleis- ti laipsnine eilute su teigiamais rodikliais. Panašų teiginį galima įrodyti ir apie analizines žiede funkcijas. Lorano teorema. …
Excerpt
(1) formulės antrojo integralo pointegralinėje funkcijoje |€—z4|="“, todėl 00 1 | 1 Ša (G==20A6 4 tk RM EE Ž 1 E-z4 Ž. (22) Lai (A “ z=2 ai |LiG5=Z04 || (G =ž0l le dr EET S todėl (4) eilutė tolygiai konverguoja apskritime y. Padauginę, kaip ir anksčiau, …
Excerpt
Nagrinėsime vienareikšmės analizinės funkcijos f(z) kitimą, kai z ar- tėja į izoliuotą ypatingą tašką z,. Galimi 3 atvejai: 1) egzistuoja baigtinė riba lim f(z)= 400; 2) lim f(z)= 00; 3) funkcija f(z) neturi ribos, kai z—z,. Pirmuoju atveju tašką z4 …
Excerpt
ius ypatingas taškas, tai Lorano eilutės pagrindinė dalis turi be galo daug nelygių nuliui koeficientų. į Kid: Įrodymas. Pataisomo ypatingo taško atveju funkcija /(z) turi baig- tinę ribą, kai z—z4, ir todėl yra aprėžta tam tikroje taško Zą aplinkoje. Iš …
Excerpt
Lengva matyti, kad abu apibrėžimai yra ekvivalentiški: jei f(z) Lorano eilutė yra (2) pavidalo, tai sedi a (z— 2)" f(z) c ATC nn 1(Z—Z)T 2 t.y. funkcija taške z, turi n-tos eilės nulį; ir atvirkščiai, jei funkcija f) B ) taške z, turi 1-tos eilės nulį, …
Excerpt
skleidimas Lorano eilute turi tik vieną narį su neigiamu z š i š. 1 Kaip matyti, funkcijos S 1 laipsniu: == ec M 0 y taškas = 0 yra funkcijos S 7 pirmos eilės polius. 1 3. Funkcijai f(z)=e“ taškas z=0 yra esminis ypatingas taškas. Iš tikrųjų, jeigu pa- 1 …
Excerpt
su teigiamais z laipsniais. Analogiškai, jei z,= co yra funkcijos /(z) esmi- nis ypatingas taškas, tai (6) eilutėje yra be galo daug nenulinių narių su teigiamais z laipsniais. Taigi, ypatingo be galo nuotolusio taško rūšį nusako Lorano eilutės …
Excerpt
būti tik nulis. Kadangi BEI A Z i 7 =(, tai Ian O) Al= 0 ir AunjAS = 00, t.y. gauname, ad "taškas a yra funkcijos (=) polius, o tai prieš- tarauja teoremos sąlygai. Teorema įrodyta. Teisingas ir „,stipresnis“ teiginys, vadinamas didžiąja Pikaro teo- rema: …
Excerpt
čia C yra apskritimas | z|=p su tokiu spinduliu, kad funkcija f(z) būtų analizinė, kai p , ..., Z, ir be galo nutolusiame taške suma yra lygi nuliui, t.y. ba Res LEA BS T(2)20! (6) ss 74 Iš tikrųjų, paimkime apskritimą T su centru nuliniame taške ir tokiu …
Excerpt
jos integravimą galima suvesti į rezidiumų skaičiavimą. Ypač paprastai rezidiumai skaičiuojami funkcijos poliuose. 1 atvejis: taškas z4 (Zz, 00) yra funkcijos f(z) pirmos eilės polius. Tuomet f= +00+ 4 (Z—Z)+--., (z—20) f(2)=c-1+c0(Z—2) +01(Z—29)1--. ir …
Excerpt
1 Pavyzdžiai. 1. Rasime funkcijos f(z)=e* rezidiumą taške z=0. 1 Tuo tikslu išskleisime nulinio taško aplinkoje e= Lorano eilute, naudoda- miesi žinomu elementarios funkcijos ež skleidimu ($ 53,3 pavyzdys): = 1 ez=11+— Z + 1 2! 22 E Koeficientas prie z—1 …
Excerpt
Įvertinsime paskutinį integralą, kai R—-c0: dz | ds TR " | | (141727 < J (R2- 1) m TRTSA —0, | CR CR todėl d P d. (2n—2)! K ; Ix T ! EE = Am | (1+x2)2 S I1— 19192 - 2an=s > 2 pavyzdyje panaudotą netiesioginių integralų apskaičiavimo me- todą galima …
Excerpt
Iš čia "|| rae| < f rd as L) aRSO, CR į CR kai R-—-00. Pereidami dabar (10) lygybėje prie ribos, kai R-> c0, gausime (9) lygybę. $ 56. Argumento principas Tarkime, kad, taškas a yra uždaro kontūro T' viduje. Pagnarinėsime funkcijos Arg (z—a) kitimą, kai z …
Excerpt
arba = Ar Arg R(z)= N- 2; (1) čia N yra racionalios funkcijos sy. (z-a)).--(z—ay) RO > TJ Eh) nulių skaičius, o P— jos polių skaičius kontūro T' viduje. Kyla klausimas, ar (1) formulė liks teisinga, jei vietoj racionalios funk- cijos R (z) bus bet kokia …