Excerpt
(1) lygybės dešinėje pusėje visi dydžiai yra žinomi, todėl integralą ga- lima suintegruoti ir tada, kai iš anksto nėra žinoma, ar egzistuoja nagri- nėjamo Dirichle uždavinio sprendinys. Natūralu spėti, kad integralas 27 1 0 R2?-r;ž = | 9 (Re?) RT RR, cos …
Excerpt
yra uždara aibė, priklausanti skrituliui | z | < R, todėl to apskritimo tašk- kuose (4) eilutė konverguoja tolygiai. Kitaip sakant, bet kokiam r < R (4) eilutė konverguoja tolygiai kintamojo x atžvilgiu. Bet kintamieji « ir 0 į (4) lygybę įeina …
Excerpt
Via 78 S m LVL J |p(Re'?)| d. Iš čia gauname: k im Viužiė] . t. y. (5) nelygybę. Taigi, įrodėme, kad (2) integralu apibrėžta funkcija u(z) yra harmoninė skritulyje |z| < R. Sakykime, 0, — bet koks skaičius iš intervalo [0, 27). Įrodysime, kad funkcijos u …
Excerpt
98 brėž. (užrašydami paskutinę (9) formulės lygybę, rėmėmės (6) lygybe). Tam, kad įvertinti antrąjį integralą, esantį (8) formulės dešinėje pusėje, kai ; Ė O š z—> U,= Rei“, tarkime, kad | z—C,| < Rsin 5, z=re'“. Tuomet nesunku matyti, (98 brėž.), kad …
Excerpt
lim v(z)=09(€5). z=t. Įzi …
Excerpt
Panariui integruodami šią lygybę, gauname: +0 Ck (z—z0)K*! |+ , ..., nesutampančius 257 …
Excerpt
su tašku z=0, ir, gal būt, logaritminį polių z=0. Tarsime, kad |C,| < …
Excerpt
čia r= |z|, «=argz. Įstatę Z(z) išraišką, gausime n u (=) — Y. 4(2= k=0 I a = Iš io i0 : R2-—p2 2. 55 J [u (Rei?) 2 i (Re?) r 19= Ga S a io R2-—r* r | 20) R*+r2— 2Rr cos (4 —0) do, (4) 0 nes k (Re'9)=1In 1=0. Įstačius į (4) lygybę funkcijų v,(z) …
Excerpt
nuliai ir poliai yra šio apskritimo išorėje. Užrašę (5) formulę funkcijai u(z)=1n | (=) |, gausime: | 21 1 r 4 i Rž-r* D | In f(Re“)| R*4r2—2Rr cos (x—0) d0= ADB = Riz-ak| =n | 2 pa lnR- 2 RRT k=l! 2 R|z-bk| „In. 6 "2 Egon (R*— byz! (0) Jeigu funkcijos …
Excerpt
VU BIBLIOTEKA EL 3 07924318 7 …
Excerpt
VU BIBLIOTEKA JoK 21874 …
Excerpt
98 IV. Diferencialinių lygčių sprendinio egzistencija Panaudoję Lopitalio taisyklę, lygtį (38) ir pradines sąlygas, ap- skaičiuojame paskutiniojo integralo (40) pointegralinės funkcijos ribą taške x=a: lm = in TO yla, x(0))-7 (2; += 7-4 rr x> 3 =f (as …
Excerpt
100 IV. Diferencialinių lygčių sprendinio egzistencija Įrodymas. Pagal neišreikštinės funkcijos egzistencijos teo- remą kiekvienas taškas (Xo, yo, p„) turi xyp erdvėje aplinką G, ku- rioje lygybė (1) apibrėžia p, kaip vienareikšmę ir tolydinę. kinta- mųjų …
Excerpt
V SKYRIUS (ZOLIUOTIEJI PAVIENIAI TAŠKAI. RIBINIAI CIKLAI $ 13. Lygties y'= (ax +-by) : (cx-+-dy) pavieniai taškai 1. Tegul diferencialinėje lygtyje D(x, y) dx +a(x, y)dy =0 (1) funkcijos p(x, V) ir g(x, y) yra tolydinės ir turi tolydines pirmos eilės …
Excerpt
102 V. Izoliuotieji pavieniai taškai. Ribiniai ciklai Sakysime, kad funkcijos p(x, y) ir g(x, y) galima išskleisti Teiloro eilute taško (0, 0) aplinkoje. Tada lygtį (2) galime parašyti IAE 2 cxždy+ 0(x, y) ? kur funkcijos P(x, y) ir O(x, y) yra …
Excerpt
$ 13. Lygties y/=(ax+-by): (cx+dy) pavieniai taškai 103“ Iš pakeitimo formulių (7) išvedame lygybę EA ja B a+8 — i į kurią įstatome = reikšmę iš lygties (6) ir pertvarkome dešinią- ją lygybės pusę: dn | (rcžBa)x+(7d+8)y (9) "E act Ba) x 1 (ad +- 86) y . …
Excerpt
104 “V. Izoliuotieji pavieniai taškai. Ribiniai ciklai o u patenkina tą pačią charakteringąją lygtį, kaip ir " ž už— (b4-0)ų +-(bc— ad) =0. (17 išnagrinėsime transtormuotos diferencialinės lygties (10) inte- gralinių kreivių eigą įvairiais kvadratinės …
Excerpt
Gai Lygties y'=(ax+-by) : (cx+-dy) pavieniai taškai 107 Šią lygtį suintegruojame, panaudoję integruojamąjį daugiklį M= zi Klijadp menka 00 Abi lygties puses dalijome iš £: prilyginę šį daugiklį nuliui, gauname integralinę tiesę Ę=0. Integralinės kreivės …
Excerpt
108 V. Izoliuotieji pavieniai taškai. Ribiniai ciklai Jos yra skirtingos, todėl, kaip ir realių šaknų atveju, lygtį (6) galima pakeisti (19) pavidalo lygtimi, įvedant naujus menamus kintamuosius Ę=ax13y, 1 —1x 187. (27) Konstantos a ir B patenkina (13) …
Excerpt
110 V. Izoliuotieji pavieniai taškai. Ribiniai ciklai Šiuo atveju šaknų A4 ir A> realios dalys yra lygios nuliui, to- dėl Perono dėsnis negalioja, ir atitinkanti lygtį (6) bendresnioji lygtis (3) gali turėti taško (0, 0) aplinkoje kitokio pobūdžio …
Excerpt
$ 13. Lygties y/=(ax-4-by) : (cx4-dy) pavieniai taškai 111 1) Per balno tašką (9 brėž.) eina tik dvi integralinės linijos, turinčios tame taške skirtingas kryptis. 2) Per mazgo tašką (10 brėž.) eina be galo daug integralinių linijų; jos visos, išskyrus …
Excerpt
112 V. Izoliuotieji pavieniai taškai. Ribiniai ciklai Integralinės kreivės yra Archimedo spiralės, išeinančios iš taško (0, 0) visomis kiyptimis, todel šis taškas yra dikritinis mazgas, tad turi tą patį po- būdį, kaip ir lygtyje 2- 2 (žr. 16 brėž. ir 12 …
Excerpt
$ 14. Ribiniai ciklai 113 $ 14. Ribiniai ciklai. Integralinių kreivių eigos tyrimas visoje srityje, kurioje yra duota diferencialinė lygtis, daug sunkesnis, negu vieno taško ap- linkoje. Šiuos klausimus nagrinėja kokybinė diferencialinių lygčių teorija. …