Excerpt
1 286 XII. Antros eilės tiesinės lygtys | čių metodu suvedame į jau išnagrinėtą atvejį. | 4 Tada pakeitimu x—a=Ę lygties (1) sprendimą laipsninių eilu- | Pastebėsime, jog nurodytu metodu galime spręsti bet kurios eilės tiesinę diferencialinę lygtį. Tik …
Excerpt
"—" $ 32. Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas eilutėmis 287 Ištirsime sprendinį, atitinkantį reikšmę r,=n, tuo atveju, kai n nėra sveikas skaičius. Lygties (6) sprendinį taško x=0 aplinkoje ieškome apibendrin- tos laipsninės eilutės pavidalo į ao = …
Excerpt
288 XII. Antros eilės tiesinės lygtys Išskaičiuotas koeficientų reikšmes įstatę į formulę (8), gauname:: co =" AA 1 Yv 4, ži 2 2 "Ei S jai) er (10) kur ad; — laisvai parenkama konstanta, o eilutė konverguoja visoje x ašyje. Tokiu būdu, funkcija (10) yra …
Excerpt
E $ 32. Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas eilutėmis 289 Sprendiniai (12) ir (13) yra tiesiškai nepriklausomi. Tokiu būdu, kai n nėra sveikas skaičius, funkcija v= CJ, (x) + GC: J (X) (+ 70) yra Beselio lygties (6) bendrasis sprendinys. Jeigu n …
Excerpt
290 XII. Antros eilės tiesinės lygtys iš kurios, kai y> 0, turime: = 07 Surinkę narius su x, jo koeficientą prilyginame nuliui: 22, +2x2;—(2+84 1)a,—a84,=0, arba 2(x+1)a;=(21-1)(811)a,. Iš čia, jei y> 5—1, gauname: — G+DG+D „— *C+D86+1) 22 Zt+D 1 12tGtD …
Excerpt
$ 32. Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas eilutėmis 291 Eilutė (15) yra vadinama hipergeometrine eilute, nes, kai a=1, B=y, iš jos gauname geometrinės progresijos eilutę 2 | i 22 ai (I B, B; )=14+ 35-17 (lsĮ < I). n=0 Be to, lengva įsitikinti, kad …
Excerpt
292 XII. Antros eilės tiesinės lygtys Ši lygtis yra Gauso lygtis (14), kurioje vietoje parametrų a, p ir y įeina atitinkamai a4+1—y, 84+1—y, 2—y. Tokiu būdu, funkcija w apibrėžiama lygybe w=F(a41—15,) B+l—-7, 2—4 x). o lygties sprendinys, tiesiškai …
Excerpt
294 | XII. Antros eilės tiesinės lygtys Lygtyje (27) pakeičiame Ę=kx (28) Tada „yi Sd ME p B "-Ž( ) p dy ia UE ME UE dęž | Tokiu būdu, duotą lygtį parašome pavidalu —n*)y=0, iš kurios, atsižvelgę į pakeitimą (28), turime Beselio lygtį p T AG-)y-0, 29) dę* …
Excerpt
k $ 32. Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas eilutėmis 295 Tokiu būdu, iš formulės (16) gaunamas lygties (32) sprendinys yra „=F(-n, n+1, 1; Ę). (33) Jeigu lygties (32) antrojo sprendinio ieškotume pagal formulę (17), tai gau- tume tą pačią funkciją …
Excerpt
XIII SKYRIUS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDINIŲ STABILUMAS $ 33. Sprendinių diferencijavimas parametru ir pagal pradines reikšmes 1. Sprendžiant įvairius mechanikos ir fizikos uždavinius, svarbu ne tik nustatyti gautos diferencialinių lygčių sistemos …
Excerpt
E $ 33 Sprendinių diferencijavimas parametru ir pagal pradines reikšmes 297 " egzistavimo srityje (žr. $ 20) |Įx—a| 1), (6) Oy; : 2— Vi (05 Xos Vi0> V20> + + 5 Va05 p) (i, E= 12 2. k, 1), (7) ko Oyį į ; Už (55 03 Jun Jan i Ja EL B m GD Of; o + EAG Jas Ya …
Excerpt
$ 24. Tiesinių homogeninių lygčių sistemos 199 visame intervale (a, b). Iš čia nė viename intervalo taške negali virsti nuliu visi sprendinių (29) matricos (30) m eilės minorai, nes kitaip, išskleidę determinantą (12) pagal Laplaso teoremą jo pirmųjų m …
Excerpt
> 200 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos Kai f(x) =0, n eilės tiesinė lygtis (32) ir atitinkama normalinė tie- sinių lygčių sistema (33) virsta homogeninėmis. Kaip ir sistemos (1) atveju, lengvai įrodome, kad tiesinė di- ferencialinė …
Excerpt
$ 24. “| Tiesinių homogeninių lygčių sistemos 201 normalinės n tiesinių lygčių sistemos (33) sąryšį (34). Kai kurios lygties (36) savybės tiesiog išplaukia iš formulės (37). Homogeninė lygtis (36) visada turi trivialų sprendinį y=0. Kaip 1' teorema rodo, …
Excerpt
202 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos Pavyzdžiui, funkcijos x* ir x x| yra tiesiškai nepriklausomos in- tervale (—1, +1), o jų Vronskio determinantas yra tapatingai lygus nuliui. Iš tikrųjų, jei funkcijos būtų tiesiškai surištos, …
Excerpt
$ 24. Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos 203 ir, įstatę į Jakobio formulę (13), gauname Eiuvilio: (J: Lio- uville) — Ostrogradskio formulę - Jao40 W()= V (x)e " i …
Excerpt
206 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos Pastebėję, kad duotoji sprendinių sistema yra normalinė (patikrinti!), galėjome parašyti bendrąjį sprendinį tiesiog iš formulių (20). 2 pavyzdys. Rasti normalinę diferencialinės lygties y“ — y=0 …
Excerpt
a $ 25. Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos 207 $ 25. Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos ir tiesinės nehomogeninės aukštesniųjų eilių diferencialinės lygtys. Konstantų varijavimo metodas 1. Panagrinėsime normalinę tiesinių nehomogeninių lygčių …
Excerpt
208 X. Normalinės tiesinių dilerencialinių lygčių sistemos Panaudoję tapatybę (5), gauname tiesinių homogeninių lygčių sis- temą 2 dZ isss ) turinčią tuos pačius koeficientus, kaip ir sistema (3). Nagrinėdami sistemą (3), vadinsime sistemą (7) atitinkama …
Excerpt
$ 25. Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos 209 2 teorema. Normalinės n tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos bendrąjį sprendinį galime rasti kvadratūromis, kai yra žinoma n tiesiškai nepriklausomų atitinkamos homogeninių lygčių sistemos sprendinių. …
Excerpt
210 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos Atskliautę skliaustus kairėje lygties pusėje ir panaudoję tapaty- bes (16), gauname lygybę GA Z= E, k=i ekvivalentišką algebrinių lygčių sistemai Ci (x) Zu (x) 1-1 Ca (4) 21,(*) = 11 (3), ŠUSA E …
Excerpt
$ 25. Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos 211 kur io Y.=|| --- ||| Yno jei yra žinomas atitinkamos homogeninės sistemos (7) bendrasis sprendinys (8). Įstatome pradines sąlygas į gautą konstantų varijavimo me- todu bendrąjį sprendinį, kuriame imame tą …
Excerpt
212 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos Įrodymas. Diferencialinė lygtis (20) yra ekvivalenti norma- linei $ 24 (33) pavidalo tiesinių diferencialinių lygčių sistemai N=Y5 Yi=Y2 5 Ya = Ym (23) Ya= —Pa(2)Y1—Pa-1(*)Y2— > > > — Pi (2) …
Excerpt
$ 25. Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos 213 kur C; — konstantos, ir, įstatę į pirmąją sistemos (24) lygtį bei prisiminę, kad y;=y, parašome lygties (20) bendrąjį sprendinį k=l M X Zr (X) J g, (E) LE 1+C12,(x)1--.. EB G-Z. 0). 1 pavyzdys. Rasti …
Excerpt
214 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos 2 pavyzdys. Rasti diferencialinės lygties xy“—y = Š8x (28) bendrąjį sprendinį ir išspręsti Koši uždavinius: a) y(0=0, x (0)=0, b) x(0=0, x“ (0)=1. Pastebėję, kad atitinkamą homogeninę lygtį xz''—z …
