Excerpt
508 Polinomai su racionaliniais koeficieniais [XI sk. Imdami toliau galimą šaknį 3, turimė || | | — 12 1 1 i | x21x—12=(+—3)(x414). Todėl galutinai gauname, kad polinomas f(x) turi keturias paprastas (nekarto- tines) sveikąsias šaknis 1, 2, 3 ir —4. …
In:
Excerpt
522 “ Polinomai su racionaliniais koeficientais [XI sk. „tai mūsų lygtis turi dvi- 2 IEA Kadangi polinomo x*4-x4-3 šaknys yra DRA gubą šaknį —4, paprastas šaknis 1 ir 7 ir dvi kompleksines sujungtines šaknis —144Y II 2 . Šaknų suma 1+2(—-4)+74+— o šaknų …
In:
Excerpt
TREČIOJI DALIS TIESINĖ ALGEBRA XII SKYRIUS TIESINĖS ERDVĖS $ 55. Apibrėžimas, savybės ir pavyzdžiai Penktajame šios knygos skyriuje nagrinėjome kai kurias aibes, kurios sudaro tiesines algebras. Tai buvo stačiakampės 7 xm matri- cos, tos pat eilės …
In:
Excerpt
— 524 Tiesinės erdvės [XII sk. — L 1. 4+8-=, 6. aa —=xa—=3, 2. (045) +1=2+(811); 7. a(ba) = (ab) a, 32 "Da. 8. (a+-b) x =a44-ba, 4. 44-(—2)=9, 9. a(z—-8) =a11-a3, 5. 218=84+-a; 10. ea=a, tai tą aibę $ vadinsime ziesine erdve, arba tiesine afiniue erdve. …
In:
Excerpt
6 55] Apibrėžimas, savybės ir pavyzdžiai 525 * Analogiškai gauname ir skaliarų atimties distributyvumo dėsnį (a — bt — 24 — ba. (4) Nesunku įrodyti, kad kiekvieną vektorių padauginę iš skaliaro 0 ir nulinį vektorių padauginę iš bet kokio skaliaro, gauname …
In:
Excerpt
526 Tiesinės erdvės „[XII sk. a Pastebėsime, kad duoto laipsnio (pvz., 7 — 1) polinomai nesudaro vekto- rinės erdvės, nes jų suma gali būti ne 7 — 1, bet žemesnio laipsnio polinomas, pavyzdžiui, (857 +2x2 — x) 1+(—3x17 1 x) = 2x2. 6) Šio paragrafo …
In:
Excerpt
$ 56] Erdvės matavimų skaičius 527 Iš lygybės (15) seka lygybė (14). Tai matyti iš ei Gia Ba AT 1 +(—1) A Ai Uri pp, "nes, kala GT 1 S no LZ — 1, gau- name lygybę (14). Iš sąlygos (14) gausime lygybę (15), jei, pažymėję 7 indeksą to vektoriaus, kuris …
In:
Excerpt
528 Tiesinės erdvės [XII sk. Pavyzdžiui, vektorių-eilučių, kurių ilgis yra m, erdvė yra »-matė, nes vektorių-eilučių [60] =[1, 0, 0, ..., 0, 0], [9] =[0, 1, 0, ..., 0, 0], [669] = [0, 0, Ll - 0, 0]. t [e6] = [0, 0, 0, 5 1> 0], [60]= [0, 00472; 0; 1] (16) …
In:
Excerpt
$ 56] 2 Erdvės matavimų skaičius 529 jei tik matricos Ci G1p Cn Ua a 21 C22 2 p L a aa, Ga Ce aus Le rangas yra n, t. y. jei determinantas |4| 0. Nagrinėsime bet kokią tiesinę erdvę ir jos bazę. Jeigu m-matės tiesinės erdvės bazės vektoriai yra e4;5 625. …
In:
Excerpt
530 Tiesinės erdvės Jų [XII sk. Iš lygybės (20) atėmę lygybę (20'), turėsime, kad o=(a,— 21) *,4-(2> — 5) 651 > > > +-(4,— a,) E, Bet vektoriai e, €5 ---> €„ Yra tiesiniai nepriklausomi, todėl koefi- cientai prie visų =, (k=1; 2, ---, 2) yra lygūs nuliui. …
In:
Excerpt
$ 56] Erdvės matavimų skaičius 531 arba [= + 8], = [2], + [8]; Padauginę vektorių a iš skaliaro /, turėsime Ia = Ia e, 058, + > > > La e) = = (Ja) — s vektorius i ir j, kiekvieną vektorių a galėsime taip išreikšti; — — — a=a i+a,j. — — Vektoriai i ir 7 …
In:
Excerpt
532 Tiesinės erdvės [XII sk. kurie yra tiesiniai nepriklausomi. Kiekvieną polinomą f(x) galime vieninteliu būdu išreikšti pavidalu fx)=a3, 4, x Lapkr ban 5 anoi m Mes ir parinkome 5 pavyzdį ne n-to, bet m—l1 ir žemesnio laipsnio polino- mus tam, kad tų …
In:
Excerpt
$ 56] Erdvės matavimų skaičius 533 | Kad dvi erdvės būtų izomorfinės, būtina ir Dakanka, kad jos turėtų vienodą matavimų skaičių. Įrodymas. Sakykime, kad ? — $? ir jų matavimų skaičiai 2 ir 7 nesutampa. Tada galime laikyti, pavyzdžiui, kad 1 > > Ta, …
In:
Excerpt
$ 60] "Dvitiesinės formos 547 Tegu antras vektorius yra pastovus, atseit [4]=[a,; 25, ..., a,], tada nežino- mo vektoriaus [g] ir [4] skaliarinė sandauga (Iš]- [4 =61 1 445454 > > 4 dn Xr bus pirmos rūšies tiesinė forma. Antros rūšies tiesinė forma bus …
In:
Excerpt
548 Tiesinės erdoės | [XII sk. Tada dvitiesinę formą (E, 1) pagal formulę (48) galėsime taip pa- rašyti: e(E m= 9 xe oi Mae T d =x 3 965 + 43-96 1-7 +419,9 (65 6) + Ta o (ex e) 4Y29 (6 L --- TV, 9 (655 „7 + x, 1 9(p e) 1 X 9 (Ep €> ) "r Era Žž …
In:
Excerpt
$ 60) Duitiesinės formos 549 iš formulės (58) gausime Gi 3 os Ci Yi asi Ga 2 (E, 1) = [515 Xp 5 *,l sis Žr J2 A 2.2 O Lu sa Prisiminę, kad, transponavę vektorių eilutę, gausime vektorių ko- loną ir, sutarę brūkšniu virš matricos žymėti matricą, kurios …
In:
Excerpt
550 Tiesinės erdoės EXIT sk: Iš formulės (55) matome, kad dvitiesinės formos kiekvienas narys iš tikrųjų koordinačių atžvilgiu yra kvadratinis. Nagrinėdami kvadratines formas tikrojoje erdvėje, vietoje formu- lės (55) turėsime " ą(E = D, 4 =IE] Aš (57) …
In:
Excerpt
XIII SKYRIUS TIESINĖS TRANSFORMACIJOS AFININĖJE ERDVĖJE $ 61. Tiesinės transformacijos ir jų veiksmai Pereitame paragrafe nagrinėjome funkcijas, kurių argumentai buvo vektoriai, o pačios funkcijos — skaliarai, kurių argumentams ga- lioja tiesiškumo …
In:
Excerpt
552 Tiesinės transformacijos afininėje erdvėje [XIII sk. Šios formulės yra ekvivalenčios pareinamybėms (3), nes antroje for- mulėje (4) paėmę vieną kartą /—a, o kitą kartą vietoj Ę vektorių C ir Į=b, ir vėliau vektoriams at ir bC panaudoję pirmą formulę …
In:
Excerpt
$ 61] Tiesinės transformacijos ir jų veiksmai ARS 553 Kad ši transformacija (integravimas) yra tiesinė, atseit, kad [af(2) +08(+)19 =2[A (417 +0U/16)19, įsitikiname iš šios integralo savybės: x x x [iar +te (+)1 dx=3 [fu)dx 45 [a 0ax. 0 0 0 Aišku, erdvė, …
In:
Excerpt
554 T Tiesinės transformacijos afininėje erdvėje [XIII sk. Kad abi tos transformacijos yra tiesinės, įsitikiname taip: (ax+68) O =, a(40)4-b(80)=20 4+b0=o, vadinasi, (ax 163) O =a(+0) +-b(80) ir transformacijai C (ax +-68) Č =a2 41-63 =a(2€)1-6(8C). Šios …
In:
Excerpt
5 61] Tiesinės transformacijos ir jų veiksmai 555 Taigi, tiesinių transformacijų aibė visų trijų tiesioginių veiksmų atžvilgiu yra uždara. Šioje aibėje transformacija O iš tikrųjų yra nu- linis elementas, nes E(Sl+0)=E+1+50 =Es/4+0=E51, s =0. Nesunku …
In:
Excerpt
556 Tiesinės transformacijos afininėje erdvėje [XIII sk. $ 62. Tiesinės transformacijos ir matricos. Tiesinių transformacijų žiedas Tegu turime 1-matę erdvę € ir joje bet kurią bazę (EK IE ES Įrodysime šią teoremą. Kiekvienai n vektorių sistemai aj, …
In:
Excerpt
$ 62] Tiesinės transformacijos ir matricos“ 557 Pirmą lygybę pakeitę transformacija - (ax; > 625) Up +....5 (0x,1-62,) 2, Palyginę paskutinę lygybę su anksčiau gauta, matysime, kad (a5 -bC) S! =a(E51) -b(C 51). …
In:
Excerpt
558 Tiesinės transformacijos alininėje erdvėje [XIII sk. transformacijų duotoje bazėje ir matricų yra vienareikšmė apverčiama atitinkamybė. Surasime, kaip pasikeičia vektoriaus E= 4 E Ir 65 T E, (15) koordinatės, jeigu jį transformuosime transformacija …
In:
Excerpt
$ 53] Polinomų racionalinės šaknys 509 Laisvojo nario dalikliai yra +1, 4:2, +3, T-4, +5, 26, +10, 212, 415, 1+20, +-30, 41-60. Z()= —12, f(—1)= — 144, Pasinaudoję bandymo lygybėmis, gauname galimas šaknis: 4-2, 1-3, 1-5, Sudarome sveikųjų šaknų lentelę: …
In:
Excerpt
510 Polinomai su racionaliniais koeficientais [XI sk. o tai reiškia, kad polinomas F(x) turi dukart kartotinę šaknį Š ir paprastą Ė 1 šaknį = 2 . 5) Rasime racionalines polinomo F(x)=941—125—71 x2— 40 x41+16 šaknis. Visos galimos sveikosios šaknys yra: …
In:
Excerpt
$ 54] Polinomų šaknų radimas 511 linomų koeficientus laikysime sveikaisiais skaičiais. Tegu polinomas fo)=32,£ 01 Tak ir mums reikia rasti visas jo tikrąsias, o jei galima, tai ir kompleksi- nes šaknis. Kadangi visi iracionalinių šaknų radimo metodai yra …
In:
Excerpt
512 Polinomai su racionaliniais koeficientais, Eė1/sk2 —8, todėl pagal $ 48 formulę (5) R,=9. Neigiamų šaknų apatinei ribai rasti imame polinomą f. (0)= —f(—1)=x*1-x1—817 57125 x—26. Sugrupavę polinomo f(0)=R (5715 —8)1-(7 x7125x—26) narius, matome, kad …
In:
Excerpt
$ 54] Polinomų šaknų radimas 513 Vadinasi 2 yra ę, (x) ir f(x) šaknis, atseit, PLA = (x —2) (1 —6x— 13) = (x — 2jų (x). Polinomas ę (x) racionalinių šaknų jau negali turėti, nes 13 nebesidalija iš 4-2, o kitų sveikųjų šaknų nėra. Polinomui * p(x)=x3—6x—13 …
In: