Excerpt
$ 71] Matricų panašumas 645 2) Paimkime 1 pavyzdžio matricą 3 ir transformuokime ją unimoduline matrica 2 —1 0 = l 0 —2 —2 0 3 Gzusime jai panašią matricą 2-—l 0 — 25 20 —17 0 —3 —2 „C=T,BT;1= l 0 —2 —l1ll 87 —72 —l —6 —4į= —2 0 5) — 91 71 —58 0 —2 —I …
In:
Excerpt
„m A "A 646 Matricų perdirbimai [XIV sk. arba "([14.)ro =[ [74 75, AL) s=1: Zi! iš kur matome, kad, norėdami transformuoti matricų sandaugą, turi- me transformuoti kiekvieną dauginamąjį ir iransformuotas matricas sudauginti. Šioje formulėje paėmę A,=A;= …
In:
Excerpt
572 Tiesinės transformacijos alininėje erdvėje [XIII sk. Įrodysime, kad skirtingoms oms reikšmė atitinka tiesiniai nepriklausomi nuosavi vektoriai. Tegu L2Bl5 G, s=1, 2, ..., m, JS) (35) ir I; atitinka nuosavas vektorius a;, t. y. a; = jap. (36! Kadangi …
In:
Excerpt
$ 65] Nuosavi vektoriai 573 n skirtingų šaknų, taigi, tiesinė transformacija gali turėti daugiausia m skirtingų nuosavų reikšmių ir pagal tik ką įrodytą tvirtinimą dau- giausia 2 tiesiniai nesurištų nuosavų vektorių. Pastarasis tvirtinimas aiškus ir iš …
In:
Excerpt
574 Tiesinės transformacijos ajininėje erdvėje SIT sk Kadangi tos pačios transformacijos matricos, pereinant iš vienos bazės į kitą, yra panašios, tai ir, esant duotoms sąlygoms, matrica A bus panaši į matricą L, t. y. HE JaIS kur T yra neišsigimusi …
In:
Excerpt
$ 65] | Nuosavi vektoriai š e 575 vietoje = atitinkamai 1, 3 ir —2. Parinkę sistemos a, Sur 0) 14x, 1 12x4 +3x,=0, —Xi— Aa =0 nenulinį sprendinį [3, —3, — 2], sistemos 9x, — 9x, —3x4—0, 14x, +14x, +-3x4—=0, —X1—x*;5 1 2x5=0 sprendinį [1; — 1; 0] ir …
In:
Excerpt
576 “ Tiesinės transformacijos ajininėje erdvėje [XIII sk. Imame transformacijos 73 charakteringąją lygtį z—2—3 —11+2 || — 2 Li Sutvarkę ją, gauname 2—(1+/)z—(41 7) =0. Šios lygties šaknys )=342i ir /;— —2—7 yra transformacijos J nuosavos | reikšmės. Šias …
In:
Excerpt
$ 65] : Nuosavi vektoriai 577 paprasčiausio pavidalo transformacijos matrica gali būti skaliarinė E E) (44) arba žordaninis (Jordan) langelis i. Ši , (45) EOS 005015 102 bet gali būti ir pseudodiagonalinė matrica, kurios įstrižainę sudaro įvairūs, …
In:
Excerpt
578 Tiesinės transformacijos afininėje erdvėje [XIII sk. Kadangi kompleksinių skaičių kūnas yra algebriškai uždaras, tai jam galioja anksčiau parašytas dėsnis. Todėl kiekviena kompleksinės erdvės tiesinė transformacija turi bent vieną nuosavą reikšmė ir …
In:
Excerpt
$ 65] Nuosavi vektoriai 579 Iš sujungtinių skaičių savybių seka, kad, kai lygybė (49) yra tei- singa, galioja ir lygybė [2] 4 =/[2], (51) arba š IZ5 5.55 dA = [d d 5 (52) Paskutinėje lygybėje vietoje A parašėme A, nes visi matricos A. ele- mentai yra …
In:
Excerpt
580 Tiesinės transformacijos alininėje erdvėje [XIII sk. Įstatę a ir 2. reikšmę, turėsime (y —-:8) 1 = (a) bi)(a 4-16), (1 15) £1=(a— bt)(a — 18). „Atskyrę šiose lygybėse tikrąsias dalis nuo menamųjų, gauname sis- temą (53). Pavyzdžiai. 1) Surasime …
In:
Excerpt
$ 65] Nuosavi vektoriai “e 581 Patikriname, ar; vektorius « tikrai yra nuosavas vektorius: , [la 4A=1[l]o> tikrai LE—2 7 [7 — 7 1] 5 2 5 |=[28, —28, 4]=4[7, —7, 1). 4 0. — 10 2) Surasime visus tiesinės transformacijos “3 nuosavus vektorius dvimatėje …
In:
Excerpt
582 Tiesinės transformacijos alininėje erdvėje [XIII sk. Sudarome matzicos A charakteringąją matricą + z—12 14 — Į] zE—A=| —9 z+1l —1] : —3 2 z—l ir charakteringąjį polinomą |=E— A|=z3—22*—5z 1+6=(z7—1)(z—3)(z +2). Matome, kad transformacija sl turi tris …
In:
Excerpt
5 65] Nuosavi vektoriai 583 Transformacijos < matrica naujoje bazėje £e) yra diagonalinė: 1 0 0 L=| 0 3 04. 0 0 —2 4) Transformacija …
In:
Excerpt
622 Matricų perdirbimai [XIV sk. |P|= |JP|= 0 UšP]= [73] = |JB]= |B]= 1 Jeigu turima matrica yra kvadratinė (A,„„= A€0), tai kolonų ir eilučių elementarinių perdirbimų atitinkamos matricos sutampa. Pavyzdžiai. Tiria EOS Tau Gia Z 411 AE 92) 4 ABS D: 6020 …
In:
Excerpt
$ 69] Matricų ekvivalentumas 623 ba ba Žas mA bzi L bs 1 0 L ba ba5 LFS r Ibsi Bs44 KV = bai Dsa Pas 0 1 0[=| 61 ba bs, + [> Esekse OS A2 ba ba Ibis | bai bsa Dža Oi b53 L ba Piabas | "ou +ba Bin dia bai LT b55 1 0 0 ba ar Ibzp b5> bass Bs45J6)=| Ba Dan …
In:
Excerpt
624 Matricų perdirbimai [XIV „sk. L 1080 A 210 31—[2] 01 151 327—3 0 0 150 0 0Ž.L2 0) A. —41 2 0 LE T 11+20) 0: 10-71 372—-3 0 0 1.0 0 d+12 0 AJ) — Aš 0 EDS 0 1|=4, 18] 0; 187 2-1 0 0 L-A0 015 641 2.07 4,9 —4A4 70 E DE O 0 LSAS BB o i 2-1 0 0| 111070 I …
In:
Excerpt
$ 69] Matricų ekoivalentumas 625 1410:0 Ž 4 0 Fra) =| 010 3 227 4|= B1—2[1) 201 622—2 4548 8 Šu 420 =| 3 22 4|=B(2) 6:2 45 8 ir dit 1 10 408 [E 4 01 5 RO= L RBŽ IU 3 25 4|= (8]—2[1] 81+2i1] 20 I 632 a 5 | E A ON = 3 27 4 = A(2). 6:7—92 47-48 8 | …
In:
Excerpt
620 Matricų perdirbimai [XIV sk. Iš B—A turime lygybę (58) Kiekvienos matricos Jf) = =1,2, ...,5) ir JO) (k=1,2 ... O) atvirkštinės matricos Vi ir P — yra taip pat tipo J A aGe todėl Zi 1 —1 —1 —1 -1 —1 „—1 e J ou ES JI atseit, A — B. 3. Tranzityvumo …
In:
Excerpt
$ 69] Matricų ekvivalentumas 627 Gia As žo Ad Aa A, yra matricos-eilutės. Dau- gindami matricas iš atitinkamų unimodulinių matricų, pereisime nuo matricos A prie A: Ina S A, = A;—- A, k Bi GS A, iš 2 Pi Ė (i E Un Utd, A, 00 A;- A, — A;— A, iš IEl+7571 2 …
In:
Excerpt
698 Matricų perdirbimai [XIV sk, Taigi, 4 — [(m) (mi 12 4: L LUl < => [kl L1+> 1k1 Vadinasi, perdirbimo matrica yra unimodulinė. Analogiškai parodoma, kad, norint sukeisti dvi kolonas, matricą > S B aiVų S AA MI Ž A reikia iš dešinės padauginti iš Jx1r- …
In:
Excerpt
š 70] Ekvivalenčių matricų kanoninis pavidalas 629 kur P00 ir 000, kaip unimodulinių matricų sandaugos, yra taip pat unimodulinės matricos. Taigi, įrodėme, kad ekvivalenčioms matri- coms A.„„ir B.„„ egzistuoja tokios unimodulinės matricos Ptm) ir O), …
In:
Excerpt
630 Matricų perdirbimai [XIV sk lonas taip, kad elementas a, atsidurtų pirmoje cilutėje ir pirmoje ko- Ionoje. Tai atlikę, turėsime 4 415 Ci, S Gi Ra 0 LSA, (63) Lai 2.2 Ann kurioje g(a,) < g(a;„),) kai 7/= 1,2, ..., m ir k=1,2, ..., n. Parody- sime, kad …
In:
Excerpt
š 70) Ekvivalenčių matricų kanoninis pavidalas 631 mūsų prielaidai, EE g(a,) yra visų mažiausias. Taigi, a, Nbjz, todėl visi matricos A, ir A,, elementai dalijasi iš aj. Jeigu visi Bb, yra O, tai A, laikome kanonine matrica, o jei ne, tai, pritaikę …
In:
Excerpt
632 „Matricų perdirbimai į [XIV sk. a; 0 0 0 0 0 0 0 0 025, 0 p“ D 0 070 0 DO T o 20 0P UŽ 0 | o A A Us E, 0- 0 0 01 0 A, 0 0 o“ 0' 7 2206 0 aaa aėdaa--auaaso us o Aišku, kad i gali būti ekvivalenti pirmajai matricai, kai m m, trečiajai, kai m=», ir …
In:
Excerpt
$ 701 *. Ekvivalenčių matricų kanoninis pavidalas 633 nenagrinėjant jos ekvivalenčių matricų, o tiriant tik turimą mat- ricą. Išnagrinėsime matricos A..„„s-tos eilės minorų bendrą didžiausią daliklį D, ir įrodysime teoremą. Ekvivalenčių matricų kiekvienos …
In:
Excerpt
$ 73] Polinominių matricų dalumas 659 Kadangi B(z) A(z) vyriausiųjų narių sandaugos matrica nėra nulinė, tai ta sandauga bus penkto laipsnio polinominė matrica, bet ji taip pat nebus re- guliari. Padauginę B(z) iš A(2), gausime GEA p Žaki as 5 BBD B Žo) …
In:
Excerpt
660 Polinominės matricos [XV sk. Pagal prielaidą A (> ) laipsnis 1 yra ne mažesnis už B(+) laipsnį I, o R(z) laipsnis yra mažesnis už /, todėl dalmens O(z) laipsnis turi būti 11 — /= p. Laikysime, kad R(z) yra (jei reikia, tai nors nomina- liai) /-—1 …
In:
Excerpt
$ 73] Polinominių matricų dalumas 661 Iš lygybių (17) randame polinominės matricos R(2) koeficientus: R, „=Ar,— (0.B;,+ RO B,), R; > = Ap -;— (0, B-,+ r O,-,B, > R, =4:--(00.B, 1-0, B +-0,B;), R. =A,— (0, B, + O, B,), R, =A,— 0,54. Kadangi visų R(2) ir …
In:
Excerpt
662 Polinominės matricos [XV sk. jos elementas yra matricos A(z) adjunktas. Sudauginkime matricas A(z) ir A(2). Iš matricų teorijos (V skyrius, formulė (49)) žinome, kad ta sandauga bus skaliarinė matrica |A(2)|E, t. y. A()A(g=4()A()=|A(2)|E. (20) Kadangi …
In: