Excerpt
$ 179 Laplaso teorema 163 Kadangi sandaugos pirmieji indeksai yra natūralioje tvarkoje, tai, su- darę iš antrųjų indeksų perstatinį Bas Ba > Bm Bm Tetas Ym+2 15 Yao į kurį įeina visi skaičiai 1, 2, ---, m, ---, 2 po vieną kartą, leng- vai įsitikinsime, …
In:
Excerpt
164 Determinantai [IV sk. Pažymėsime | 4.„;| determinantą, gautą iš determinanto |A|, persta- čius jo eilutes ir kolonas taip, kaip aukščiau nusakyta. Tada ji ti: +: -+i,+kitk:- pr +k,-m(m+-1) |A(mi) | 2 |A|=(-1) Determinanto |A(„,| minoras M bus viršuje …
In:
Excerpt
$ 17] Laplaso teorema 165 minantų turėsime (") ir jie vienas nuo kito skirsis bent viena ei- lute.) Minėtus determinantus vadinsime matricos A„x„ m-tos (n-tos) arba aukščiausios eilės minorais. Grįšime prie determinanto |A|. Iš jo parenkame 72 eilučių, …
In:
Excerpt
166 Determinaniai [IV sk. L] Įrodėme, kad sandaugų sumoje yra m! narių, kurie visi yra skir- tingi, o kiekvienas jų atskirai sutampa su vienu išskleisto determinanto |A| nariu. Pats determinantas |A| taip pat turi 1! narių, kurie visi yra skirtingi, …
In:
Excerpt
$s 1 Laplaso teorema 167 - ; 3 Cu Gp a. a; 22 G25 2444245 2 (RT as 233 Ap Gas As, Ū53 tų G53 Gy 4 4 5 ab Gj Ūzp C> Ūą As G53 Ž ą Ui1 Gp 23 G55 2444345 ap Gai Az3 Ga Gas 251 C55 i a Gi 12 24 055 241445 ar RA Zz, G33 Au 045 25, 453 2, Giza 15 ž L 22 21 023 …
In:
Excerpt
168 Determinantai [IV sk. Stačiakampė matrica, sudaryta iš šio determinanto antros ir ketvirtos eilutės, yra A MO 3 OLABA5 6 a Taas5 E Todėl 52230 2 3 1 4.5 : 0 |A6)|= — —4 6|+ —1 —4 6|+ g 5 0 6 112489 29 80 220 2 ies A 054 žo | = 2 99 i 8 | - o 520 2 Ž i …
In:
Excerpt
$ 17] Laplaso teorema 169 Iš šio determinanto antros, trečios ir šeštos eilutės sudarome 3x6 matricą S S = B: eis (0) | 0 5 0:5 Šios matricos vienintelis trečios eilės minoras, neturintis nulinės kolonos, yra determinantas Žali ai 25 = 25 Pagal Laplaso …
In:
Excerpt
170 Determinantai [IV sk: Išdėstę šį determinantą trečios ir penktos eilutės elementais pagal Laplaso teoremą, zausime B 53 |49|= po SL E 1 a 84. 7'3 3014 Panaudoję Laplaso teoremą, įrodysime, kad x-tos eilės determi- nantų sandaugą galima parašyti m-tos …
In:
Excerpt
"5179 Laplaso teorema 171 Gi, Gar Ap Ain 0 0 0 0 a 233 05p a, 0 0 0 0 Ap Apo Ok „0 0 0 i ALB S Ani 2200 0 Č ls į |-| i 0 0 0 bi bi5 Dip bir i . 0-1 0 0 bu bp bar br, 0 0 1 0 bu bp Di JB 0-0 0 —1 ba bp Čai ta E Iš tikrųjų, išdėstę šį determinantą pagal …
In:
Excerpt
E sl , n-mačių vektorių erdvė Šios sistemos determinantas . l 2 15 —4 5:4 |=35, 1 2151 2 todėl pagal Kramerio taisyklę ši sistema turi vienintelį sprendinį === Vadinasi, vektoriai yra tiesiniai neprikiausomi. 2) Tegu skaliarų kūnas yra R. Paimkime penkių …
In:
Excerpt
198 : * Matricos ir vektoriai V sk2 2 teorema. Kiekviena vektorių sistema, į kurią įeina nulinis vek- torius, yra tiesiniai priklausoma. * Įrodymas. Tegu, pavyzdžiui, [15] = [0]. Paėmę bet kokį ska- liarų kūno elementą Ž 0, tokiai 2 vektorių sistemai …
In:
Excerpt
$ 21] "o n-mačių vektorių erdvė 199 Padaliję iš I;, turėsime 151=(—7)l1+(— 7) [«5]-- A [2;-,]-+- + I + (— Ža] (— > ) Ian o pažymėję (R FD (-2)- k ( = 25 2 J — 1, 751, DP gauname lygybę (18). Antra vertus, jei vektorius [«;] lygybėje (18) yra nulinis, tai …
In:
Excerpt
200 Matricos ir vektoriai [V sk. Kiekvienas vektorius [2,], [25], ---, [a,], patenkindamas tapatybę [2;]=0-[2;]4-0-[25]4----1-0-[0;,]+1-[4;]+ 4-0-[z;4,]1---- 1-0- [a] (7=1, 2, 7 siaD, 7), gali būti tiesiniai išreikštas 7 pirmaisiais vektoriais, todėl …
In:
Excerpt
$ 21] n-mačių vektorių erdvė 201 išreikšti tais 7 vektoriais. Jeigu mes jį iš sistemos pašalinsime, tai . naujoje sistemoje liks 7 tiesiniai nepriklausomų vektorių ir todėl jos rangas nepasikeis. Sakysime, kad [x;] yra vienas iš vektorių [«,], [z> j> +--, …
In:
Excerpt
202 Matricos ir vektoriai [V sk. | Jeigu turime dvi sistemas [a,]; [5], ia [e]; i (21) [8]; [851 +--> 18. (22) [2;]= 5 Lp [8,7 (/=1, 2, ---, m), k=1 tai sistema (21) yra sistemos (22) tiesinė kombinacija. Tegu turime trečią sistemą a)> [rs] > [TH (23) …
In:
Excerpt
$ 21] PS n-mačių vektorių erdvė 203 1 . 7 teorema. Ekvivalenčių sistemų rangai sutampa. i Įrodymas. Tegu sistemos (21) ir (22) ekvivalenčios ir jų ran- | gai atitinkamai lygūs 7, ir Tą. Iš sistemų ekvivalentumo turime, kad "sistemą (21) galima tiesiniai …
In:
Excerpt
204 “| Matricos ir vektoriai [V sk. Vadinsime juos vienetiniais vektoriais. Įrodysime, kad vienetinių vek- torių sistema turi rangą m, t. y. kad tie vektoriai yra tiesiniai ne- priklausomi. Parenkame kūno 8 elementus Ą; /, ---, J, taip, kad 4 [e,]-+--[e> …
In:
Excerpt
$ 21] n-mačių vektorių erdvė 205 mas visų galimų > koordinačių vektorių su skaliarų kūnu 1 sistema, i kurią toliau vadinsime erdve, turi rangą n. Bet kokių vektorių erdvė, jei jos rangas yra 1, vadinama n-mate erdve. Tokios erdvės 2 tiesiniai …
In:
Excerpt
206 Midricas Ar nebiorias IV 4 3 Tą patį vektorių, parinkę baze vektorius [1,]= 2, 0, 0, 0, 0], [> ] = [0, 3, Dž 01, [1)1= [0, 0, Ls 0, 0], m [m ]= [0, 0, 0, DE 0], 0, [5] = [0, 0, 0, V, 3], išreiš-iame taip: [469]=2 [m,]— [15] —2 [15] 49 [14] —2 Is]. 3) …
In:
Excerpt
122 $ 22) Mairicos rangas ir jo nustatymas 207 Dabar rasime tokius kompleksinius skaičius G1> G3, a5 ir a,, kad galiotų lygybė [40]=[37, 2—27, 4, DZ aN= ad =a [01] 45 [65] -- a; [05] + a; [064]. š Iš šios vektorinės lygties gauname tiesinių lygčių …
In:
Excerpt
208 Matricos ir vektoriai | [V sk. galime žiūrėti kaip į 77 n-mačių vektorių I41]=[015 2155 > > > 21,5 [25] = [215 2295 -+-> 25,15 Ke e ei je Tu Ce k a a (26) [c„] ŽT5 [215 Cm25 15 Sa sistemą. Atvirkščiai, 11 7-mačių vektorių sistema vienareikšmiai nusa- …
In:
Excerpt
172 Determinantai [IV sk. Panaudoję šio determinanto paskutines 7 kolonas, išdėstome jį x-tos eilės minorais. Vienintelis iš parinktų kolonų sudarytas ir neturįs nu- linių eilučių 7-tos eilės minoras yra determinantas | Išgink ie Čin | Cn Gap Gp Ca | …
In:
Excerpt
$ 17] | Laplaso teorema 173 2) Sudauginsime šiuos determinantus: 1 —3 a 98 AOL | TP 3,14 2 (B 2-1 1-:24+(—3)-3 Le aaN a 2 0 3 4 220 PL Oa Be — 11 S 802 2 Transponuojant determinantą, jo reikšmė nesikeičia, todėl deter- minantų sandaugą, be formulės (38), …
In:
Excerpt
174 Determinantai ; [IV sk. . ir kombinuodami kolonas su eilutėmis — 1 —3 2.53 1 -242-1 L -22- 4 2 0||3 4| [|(—3)-210-1 (—-3)-3> +0-4 4 11 12 G 9 Sudauginsime visais keturiais 'būdais šiuos du trečios eilės determinantus: 3 1 —2 —1l 2 0 ĮA0,=| 0 —4 2 |, = …
In:
Excerpt
d 2 "5 18] Determinantų skaičiavimas 175 pasirinktos eilutės (kolonos) elementai būtų nuliai. Dažnai patogu laikytis šių nurodymų: 1) Jeigu determinanto kurios nors eilutės keli elementai yra pro- porcingi kitos eilutės elementams, tai vienoje jų tie …
In:
Excerpt
176 Determinantai [IV sk. pirmos, iš antros kolonos iškeliame daugiklį 2 ir ketvirtą koloną pridedame prie antros ir trečios. Šiuos perdirbimus patartina daryti ne iš karto, bet dviem žingsniais —taip kaip toliau nurodyta, nes antra kolona keičiama du …
In:
Excerpt
si87i. Determinanli" skaičiūdimas | 0 i ALB 3 Ma = 4 - 5 | ka ARS 1-4) -- ož) 6 0914 al 08115 4] 560 3 6 IS - 44 1 Sa IP 5 [Ga 0 o a kas, I - 35415 2107 621] L 23 So 6 23 4. — 5 321= == m —1 4 —5 3 a] Es ai IN o iai) 55 —3 6-3 4|2=—į Dr GL 5 22 28 k …
In:
Excerpt
178 4 Determinantai [IV sk. kons T TI 14 2151 22 = 744212 = —260 1 = —260 -- 12 —4 42 5 0 25 0|25 la 4-1 M o LT - 30 0 30 0|730 Šį ketvirtos eilės determinantą patogiausia išskaičiuoti, išdėsčius jį antros eilės minorais, panaudojus tam trečią ir ketvirtą …
In:
Excerpt
| $ 18] Determinantų skaičiavimas 179 II metodas. Dažnai I metodą tenka modifikuoti „ir; jį :naudoti kartu su matematinės indukcijos metodu arba su determinanto išdės- tymu kurios nors eilutės (kolonos) elementais, kurių bent du nėra nuliai. Šitas …
In:
Excerpt
180 Determinantai [IV sk. 5) Išskaičiuojame determinantą 4-5 7 —8 1 Da. 0. LSE 0 0 — 5 25 103|=4-3-(—5-10-(-7)=4200. 0 0 0: A0 35 0 0 0 D-— T 6) Išskaičiuosime 1 1-1 eilės determinantą 2 = 1 a 2 E ž 1 x,171 Ž E x= 1 2 2 „n-l aa A XT? ai = Li AU ia a 1 X : …
In: