Excerpt
$ 16] Kramerio taisyklė i 145 Norėdami determinantą išdėstyti ne pirma eilute, o bet kuria kita, sakysime j-ta eilute, turėsime tą eilutę atkelti į pirmosios vietą ir paskui išdėstyti jau mums žinomu būdu. Atkeldami 7-tą eilutę į pir- mos vietą taip, kad …
In:
Excerpt
146 Determinantai [IV sk. U> Cip G Au Gp G14 = —Gų| 23p Up Os4 |T 005 A, Ū33 Ūzų , Gj GU43 Gg4 A Gi3 Ū44 | Uu Gp Gi4 Uu Cup Ci3 —A5gi Ag Op Oz |PŪ4 | Ap Ūzp Ops > G Up Ga4 G Op Gaz į Tas determinantas, išdėstytas trečios kolonos elementais. yra …
In:
Excerpt
| 299 o Mairicos ir vektoriai [V sk. Sulyginę abiejų sandaugų atitinkamus narius, matome, kad jie sutampa. Kadangi abi sandaugos yra m2x7 matricos, tai galutinai gauname, kad B) i = A 2) = E G (38) Įrodėme, kad matricų daugyba yra asociatyvi. Pavyzdys. …
In:
Excerpt
“- $ 23] Matricų -daugyba 223 Įrodę, kad matricų daugyba asociatyvi, galėsime matricų daugybą išplėsti bet kuriam dauginamųjų skaičiui ir dauginant sandaugos na- rius jungti kaip tik norėsime. Daugindami matricas, turime prisiminti, kad negalima Keisti …
In:
Excerpt
294 Matricos ir vektoriai [V sk. Lygybės (42) dešinėje pusėje yra formulės (40) dešinėje pusėje esančios matricos j-tos eilutės K-tos kolonos elementas. Taigi, formu- lė (40) yra įrodyta. Įrodydami kairiosios daugybos distributyvumo dėsnį, pastebėsime, …
In:
Excerpt
$ 23] , Matricų daugyba 225 Matome, kad sandaugos rango negalima nustatyti, žinant tik dauginamųjų matric4 rangus, nes abiejų pavyzdžių dauginamųjų matricų rangai lygūs 1, o sandaugos rangas atitinkamai yra 1 ir O. Jis abiem atvejais nedidesnis už dau- …
In:
Excerpt
226 Matricos ir vektoriai [V sk. $ 24. Kvadratinių matricų algebra Šiame paragrafe nagrinėsime n-tos eilės kvadratines matricas. Jas žymėsime didžiosiomis lotyniškomis raidėmis be jokių indeksų. Praeitame paragrafe matėme, kad dviejų »2-tos eilės matricų …
In:
Excerpt
. | $ 24] Kvadratinių matricų algebra 227 Matėme, kad stačiakampės matricos patenkina abiejų daugybų distributyvumo dėsnius. Kadangi kvadratinės x-tos eilės matricas ga- lima ir sudėti, ir sudauginti, tai ir jos patenkina tuos dėsnius; 14 as Ba k …
In:
Excerpt
228 Matricos ir vektoriai [V sk. Šią transformaciją vienareikšmiai atitinka m-tos eilės matrica A. Ieš- kosime matricos A atvirkštinės matricos, pasinaudoję transformaci- jos (46) atvirkštine transformacija. Atvirkštinė transformacija keis nežinomuosius …
In:
Excerpt
G M $ 24] Kvadratinių matricų algebra 229 Šios transformacijos matricą žymėsime A-1: A An 4 Ap Am |A| |A| |A| |A| Ai Asp į Aps App [4] |Al |A |A| S Še nas SR aa ai Aka Au Aso 5 o Ak I (49) IE) |A| 1Aj Ain Am Akai „Ann |A| |Al |A| |A| Nesunku matyti, kad …
In:
Excerpt
230 Maitricos ir vektoriai , [V sk. Iš bendrosios žiedų + teorijos (III skyrių $ 11) aišku, kad neišsi- gimusios matricos A atvirkštinė matrica 4-1 yra vienintelė. Pastebėję, kad |A| yra skaliaras, matricos A-1 išraiškoje (49) ga- lime iškelti prieš …
In:
Excerpt
$ 24] Kvadratinių matricų algebra 231 [0] — nulinė matrica. Ši pirmos eilės kvadratinių matricų aibė yra izomorfinė skaliarų kūnui, nes jos elementai sudedami ir dauginami kaip skaliarai. Jei tokioms matricoms ir skaliarams nustatysime ati- tinkamybę [4] …
In:
Excerpt
232 Matricos ir vektoriai BV“ sk. Panagrinėsime atvirkštinės ir prijungtinės matricos determinantus. Iš tų matricų savybių, matricų sandaugos determinanto savybės ir lygybės (9) gauname: 1 E Ę |4|-|4-!)=|E|, Zl a ap |> 15 |Al145—1 |A|=|Ap=, GI) t. y. …
In:
Excerpt
S 24] Kuvadratinių matricų algebra 233 gausime vienintelį jos sprendinį IL 1E2O kurį vadinsime matricos A dešiniuoju dalnenių iš kad bendruoju atveju šie dalmenys skirtingi. Pavyzdžiai. 1) Matxicos 9.3 5 59 13 5 8 64) matricos B. Aišku, determinantas | A| …
In:
Excerpt
122 Determinantai Aso [IV sk. viršų, ir vėl, vienoje istrižainėje esančius elementus sudauginę, imame tas sandaugas su ženklu minus. Sudėję visus narius, gauname deter- minantą: , || p 2 41,0550353 +- 45,435013 -- 43,0,5055 7- 33' — Šu l50j5 — 211032453 — …
In:
Excerpt
$ 14] “) Trečios eilės determinantai 123 Pavyzdžiai. —13(—8)-(—4)—1-(—2):0—3-12( — 12) = 136, =3-(—4)-4+(—4)-:2.412.2.121 —4-(—4):2—2.2-3—4.27( —4)= —20. TS ŠTAS a Sie S + nes atitinkami nariai su 4 17 su — gauti pagal trikampių schemą: : | DAS NS X arba …
In:
Excerpt
ŠA “ TL MR £ A UIA Ržadiss ir Mal 124 Determinantai > [IV sk. Parodysime, kaip trečios eilės determinantą išreikšti antros eilės determinantais. Formulės (62) dešinės pusės narius sugrupuojame po du pagal pirmos eilutės elementus. Iš narių, turinčių a, …
In:
Excerpt
en $ 14] Trečios eilės determinantai 125 Pavyzdžiai. 1) Išskaičiuokime determinantą, išdėstę jį pirmos kolonos elementais; 2 —1 0 1 —3 3170 —l 0 i Lina E = 4 —2 4 —2 4 1 —3 1 —2 4 =2-2-Ž(-441. 22 Čia pirmoji sandauga turi ženklą plius, nes indeksų suma …
In:
Excerpt
126 Determinantai [IV sk. III savybę įrodome, išdėstę trečios eilės determinantą ta kolona arba eilute, kurios visi elementai lygūs 0, nes O ir antros eilės deter- minantų sandaugų suma yra lygi nuliui. IV savybę lengvai įrodysime, išdėstę determinantą …
In:
Excerpt
S 14] " Trečios eilės determinantai 127 2) Išspręsime sistemą > 947x, + 841x, + 255x, = 257, 324x, — 128x, + 779x, = 782, 161x, > 183x5 > 140x, = 141. Šią sistemą sprendžiant, labai nepatogu determinantus skleisti scheminiais būdais arba išdėstyti juos …
In:
Excerpt
128 Determinantai j [IV sk. to iš pirmų eilučių elementų atimsime trečią eilutę, padaugintą iš 2, o iš antrų — trečią, padaugintą iš 3: 2 841 255 0 475 — 25 d,=|3 —128 779|=|0 —677 359, 1 183 140| 1 183 140 BA. 32 0255 22570. — 25 d,=|324 3 779|=|-—159 0 …
In:
Excerpt
$ 14] Trečios eilės determinantai 129 Iškšlę iš trečios kolonos daugiklį 2, gausime (žr. 127 psl.) EA 8 2 H d,= —100-2|234 11 3|=2-4= — 153600, 16-31 Sistemos sprendinys yra d d d. TT = 2 == = T Įstatę šias reikšmes į sistemos lygtis matome, kad —2, 1, 2 …
In:
Excerpt
130 š Determinantai [IV sk. Išdėstome šį determinantą trečios kolonos elementais ir iš antros eilės determi- nanto pirmos eilutės iškeliame daugiklį 2: , 444 4461 E Iš antros kolonos elementų atėmę atitinkamus pirmos kolonos elementus, gauname …
In:
Excerpt
S 15] n-tos eilės determinantai 131 Tegu turime kokį nors Kūną 5. Iš to kūno elementų sudarome n eilučių ir 2 kolonų lentelę Au 3 a. a; a „BS 21 622 22) (9) A 42 i Un "Tokią lentelę vadiname n-r0s eilės kvadratine matrica, o kūno 1 ele- mentus a;, — …
In:
Excerpt
132 Determinantai = UVS ir minus, jei jis yra nelyginis. Determinantą, parašytą pavidalu (13), vadiname išskleistu determinantu, o kiekvieną sumos dėmenį su jo ženklu vadiname determinanto nariu. . Išskleidę determinantą ir atlikę veiksmus, gauname tam …
In:
Excerpt
$ 15] n-tos eilės determinantai 133 Kai n= SK Ci A 431 determinanto Ci Ci2 43 09p 43, 233 44, 242 Oi Lis 055 05|=(— 1) 211 25505541-(— IL ai 055 0551 435 33 +(— 1) 050523 +-(— UL aps an 0554-(— 1)ž 215033 0551 +-(— 1)š 013 025 031 = Aj4 455 035 — Ci 225 …
In:
Excerpt
S 17] . Laplaso teorema 159 "Tačiau iš matricos A galime gauti ir žemesnės eilės determinantų; tereikia išbraukti kai kurias šios matricos eilutes ir tokį pat skaičių , kolonų, o iš likusių elementų, nesuardant jų tvarkos, sudaryti deter- „ minantą. Jeigu …
In:
Excerpt
160 3 Determinantai [IV sk. * Jeigu iš duotojo determinanto |A| (matricos A), sudarome mm-tos eilės minorą M, parinkdami 74, 755 73 > > > ; /„ €ilutes ir A,, k5, ką, +++, k„ kolonas, tai iš likusių 2 —m eilučių įa+15 Jao 75 0 J, ir 2—m kolonų kmi1> Rm+9> …
In:
Excerpt
$ 17] Laplaso teorema 161 Pavyzdžiui, penktos eilės determinanto Gi Ci2 Cip Gi4 Gi5 [AB |= A Ū3p OAz3 Ū34 G55 |5 Ė (30) trečios eilės minoro Aj Ang Ū54 Ms3=| G Az3 Gs4 |> Az, G53 Ū54 sudaryto iš antros, trečios ir penktos eilučių ir pirmos, trečios ir …
In:
Excerpt
162 Determinantai "IV. sk. kampe, taip pat išskirtas tomis pačiomis tiesėmis.) Sujungtinis mi- pe, taip p P j noras M“? yra ir minoro MC? adjunktas, nes (— 1)U+2+---+m)+0121---+m) — m(m4-1) i m(m-+1) (A K) i (SM Taigi, reikia įrodyti, kad kiekvienas …
In: