Excerpt
454 Polinomai su tikraisiais koeficientais I5C-Sk: Gali pasitaikyti, kad kuris nors polinomas intervalo pradžioje arba intervalo gale virsta 0. Tada, kadangi polinomai yra tolydinės neži- nomojo funkcijos, galima visada intervalą taip susiaurinti, kad, …
In:
Excerpt
$ 49] Tikrųjų šaknų skaičius 455 Iš pavyzdžio matėme, jei Euklido algoritmu surastas Šturmo grandinės paskutinis polinomas yra konstanta, tai tas parodo, kad duotas polinomas neturi kartotinių šaknų. Jeigu Euklido algoritmu skaičiuodami polinomus rastume, …
In:
Excerpt
456 Polinomai su tikraisiais koeficientais [X sk. x fm 1 (4) Jm (x) Im+i O) Ža) c—e Ž- 3ž — 1 E ia > : 0 = c+s + = — 1 Iš lentelių matome, kad, kai tarpinis grandinės polinomas lygus nu- liui, vidiniame intervalo taške, Šturmo grandinės ženklų pakitimų …
In:
Excerpt
$ 49] Tikrųjų šaknų skalčius 457 o kai tarpinis grandinės polinomas vidiniame intervalo taške neturi šak- nies, tai ženklų pakitimų skaičius nepasikeičia. Ženklų pakitimų skaičius, einant nuo mažesnių nežinomojo reikšmių į didesnes, gali tik sumažėti ir …
In:
Excerpt
458 Polinomai su tikraisiais koeficientais Eš sk. Šturmo -teorema ne tik padeda rasti šaknų skaičių bet kokiame intervale, bet ir tas šaknis atskirti, t. y. rasti tokius intervalus, ku- riuose tėra tik po vieną tikrąją šaknį. Sakykime, kad nustatėme …
In:
Excerpt
384 * Polinomai su keliais nežinomaisiais [VIII sk. Akivaizdu, kad n(n—1) E J) ED L 61) „> k> j> l Palyginę šią formulę su diskriminanto išraiška (48), gauname tokį rezultanto ir diskriminanto ryšį: n(n—1) 2 R(f, £)=(—1) a„d„ (52) arba n(n-1) d„=(—1) > …
In:
Excerpt
$ 39) Diskriminantas 385 Sudauginę ir sutraukę panašius narius, vietoje polinomų 9, (x) ir e, (x) gausi-" me atitinkamai polinomus 25 250 | AO) — Ar V Az ir 6.05) =53—8; Šie polinomai yra pavidalo (56), todėl jiems tinka formulė (57). Pritaikę ją …
In:
Excerpt
386 Polinomai su keliais nežinomaisiais ĮVIII sk. , Duosime dar vieną polinomo f(x) diskriminanto pavidalą. Prisi- mename Vandermondo determinantą . 1 1 Sai! Ai a; +.) 2, Lao A BG ION e 14 ss n=k> i2l | gn-1 a57i Laiko Sakykime, kad formulės (58) …
In:
Excerpt
T lis Ki g Aa * $ 40] Nežinomųjų „eliminavimas 387 Rasime polinomo g,(x) šaknų vienodų laipsnių sumas S Sp» Sg> Są, Išreikš- tas pagrindiniais simetriniais polinomais c,= — 2 9, = L Ia $ 37 paskutiniame uždavinyje randame, kad : , Ž S = 955 5 = Si — 205, …
In:
Excerpt
Su > Polinomai su keliais nežinomaisiais [VIII sk. Tegu turime du žiedo T [x, y] polinomus, sutvarkytus vieno ne- žinomojo, sakykime y, mažėjančiais laipsniais: jAC2 y) Zi CLU + fa (y 11 20 215 + AV == Jo(x), | ee = E OY aka Ya 6)y 8003): J Tegu …
In:
Excerpt
$ 40] ž Nežinomųjų eliminavimas 389 atsiuikti tik tada, kai arba abiejų polinomų vyriausiųjų narių koefi- cientai yra nuliai, arba kai polinomai f(a, y) ir g(e, y) turi bendrą šaknį. Pirmuoju atveju J.(4) =0 ir g„(a)=0, (65) o antruoju, jei polinomų f(a, …
In:
Excerpt
390 Polinomai su keliais nežinomaisiais Ž [VIII sk. Eliminavę nežinomąjį x, gauname sistemos rezultantą a AB F(3)—|. 2y—3 51 0 |=26+17+0y—-3*5+1)+ 0 Dre4 X +(2y—3) Gy +206 +1)=( +-1)(12y*— 15y +3)=36+1)G6— I) (4y— I). 1 Nė viena jo šaknis, nei 1, nei — 1, …
In:
Excerpt
IX SKYRIUS POLINOMAI SU KOMPLEKSINIAIS KOEFICIENTAIS S 41. Algebrinis lygčių sprendimas Iki šiol kalbėjome apie polinomų (lygčių) šaknis, bet nenagrinėjome būdų, kaip tas šaknis rasti. Šiame ir sekančiuose skyriuose parodysi- me, kaip tas šaknis rasti. …
In:
Excerpt
Ž 392 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Tegu turime x-to laipsnio lygtį aga A S ar E (1) kur c„70. Parodysime, kad nežinomąjį > galima pakeisti taip, kad lygtis (1) bus pakeista to paties laipsnio kita lygtimi, kurios vyriau- sias …
In:
Excerpt
$ 42) š “| Antro laipsnio lygtys 393 = 4= a Pagal lygybę (3) padarę pakeitimą X=Z— L, turėsime antro laipsnio redukuotą lygtį 2 =—--4=0. (5b) Šią lygtį išsprendžiame, traukdami kvadratinę šaknį iš kompleksinio 2 skaičiaus 2 li Kadangi kvadratinė šaknis …
In:
Excerpt
394 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [1X sk. Pavyzdžiai. 1) Išspręsime kvadratinę lygtį su kompleksiniais koeficientais: x2—(2—41) x—(3 161) =0. Taikydami formulę (6), kai p= —24-4i ir 4= —(3+-6/), turime, kad x=1—A1+VŪU—U 7376 =1—-2i 1 V A …
In:
Excerpt
$ 43] Trečio laipsnio lygtys 2 395 Į antro laipsnio lygtį su tikraisiais koeficientais galime žiūrėti kaip į atskirą lygčių (5) ar (5a) atvejį, kai visų kompleksinių skaičių menamosios koordinatės yra nuliai. Pastebėsime, kad iš (6), (6a) ir (7) matyti, …
In:
Excerpt
396 . Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Šios lygties šaknys g S ą Ža a as »--4+V/5+b re IroĖ Kadangi u3 ir 23 įeina į lygtis (10) ir (11) simetriškai, tai galime, pavyzdžiui, paimti, kad Iš šių lygybių ištraukę kubines šaknis, gauname …
In:
Excerpt
422 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Iš šios teoremos galima padaryti labai daug išvadų apie komplek- sinių skaičių kūną, apie jo polinomų žiedą 8 [x], o taip pat ir apie tikrųjų skaičių kūną S ir jo polinomų žiedą S [x]. Išvada. …
In:
Excerpt
$ 45] Pagrindinė kompleksinių skaičių algebros teorema 423 „Žinoma, kelios šaknys, o dažnai ir visos, gali būti tikrieji skaičiai, t. y. tų šaknų menamosios koordinatės gali būti nuliai. Kyla klausimas, gal kiekvienas žiedo S [x] polinomas turi tik …
In:
Excerpt
424 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Palyginę f(a) ir f(a) išraiškas (pagal II skyrių) turėsime, kad f(a) =c— di. Sakykime, kad «a yra f(x) šaknis, atseit, f(0)=cL-di=0. Kadangi kompleksinis skaičius yra lygus O tik tada, kai jo koordina- …
In:
Excerpt
$:46] Dvinarės ir simetrinės lygtys 425 kur c4 C55 2-5 C; YIa visos jo tikrosios šaknys, o x24- ėx+a, (7=!/-:-1, /+-2, ..., s) visi pirminiai antro laipsnio polinomai ir n=k k + AS 2411-24, ai ZA Žinoma, antro laipsnio pirminiai polinomai yra gauti, …
In:
Excerpt
k i , 426 Polinomai su kompleksiniais koeficientais "IX sk. Paėmę bet kurią n-to laispsnio vieneto šaknį e, gauname (e4)Y"=e"a"=1-a=3. Taigi, =—1. Teorema įrodyta. Pritaikysime $ 8 apibrėžtų primityvių vieneto šaknų savybes lyg- čiai (63) spręsti. …
In:
Excerpt
$ 46] Dvinarės ir simetrinės lygtys 427 tyvios vieneto šaknies e, keliant ją laipsniu nuo 1 iki x. Taigi, lygties (64) visos šaknys yra EE el as anos eli …
In:
Excerpt
428 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Parinkime du tos sandaugos narius ež0' ir e“, kur /557, arba t> Zt,, arba abu indeksai skirtingi. Jeigu ss 0!= e, tai ei = WS, Bet e/-* yra lygties x+—1=—0 šaknis, o w::—: — lygties x— 1 =0 šaknis, o …
In:
Excerpt
5 46] Dvinarės ir simetrinės lygtys 429 nėra, nes tada visos vieneto šaknys, išskyrus vienetą, nėra tikros (turi pavidalą a 4-6i, kur 60). Kai » yra lyginis, tai, be tikrosios LM LTA A šaknies V a, yra dar ir kita tikroji šaknis — V a, nes —1 yra tada …
In:
Excerpt
430 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Sprendžiant įvairius klausimus, dažnai tenka spręsti 1-to laipsnio lygtis, kurių koeficientai yra tarp savęs surišti. Vienos iš charakterin- giausių tokių lygčių yra simetrinės, kurių kairės pusės …
In:
Excerpt
$ 46] Dvinarės ir simetrinės lygtys 431 J š p 1 ė Kadangi a; ir — yra polinomo f(x) šaknys, o L ir 4; — polinomo i ą g(x) šaknys, tai m-to laipsnio polinomai f(x) ir g(x) turi tas pa- čias šaknis, atseit, yra ekvivalentūs, todėl jie gali skirtis tik dau- …
In:
Excerpt
432 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. + x—1jx? . Jis turės šaknį 1 ir dalysis iš x—1. Padaliję f. (x) iš x—1, vėl gausime f; (x) ūpo simetrinį (2— 1) laipsnio polinomą. Dabar ištirsime polinomą f; (x), kai n nelyginis. Šiuo atveju po- …
In:
Excerpt
$ 46] Doinarės ir simetrinės lygtys 433 Įstatę šias binomų reikšmes į lygtį (72), gausime m-to laipsnio lygtį 6„3--b.AZ 11-66, =0. (75) Pakeitimais (74) galime visų simetrinių lygčių sprendimą suvesti ma- žiausia į dukart žemesnio laipsnio lygčių …
In: