Excerpt
$ 28] Polinomų žiedas 9271 Jeigu žiedas G turi vienetinį elementą, tai ir polinomų žiedas G [x] yra žiedas su vienetinių elementu. Žiedą (kūną) G dažnai vadinsime pagrindiniu žiedu (kūnu). Kol nagrinėjame skaičių žiedų (kūnų) polinomus, tol į nežinomąjį …
In:
Excerpt
234 Matricos ir vektoriai [V sk: Matricos B kairini ir dešininį dalmenis iš matricos A: 9 —4 3 8 16--—8 A“!'B=| —37 4 9L, BA1=| —5 19 — 4 39 5 —11 690. —38 Matome, kad B“ !A+ AB 1ir A !B +BA 1. Jeigu matrica B yra išsigimusi, tai nei kairinė, nei dešininė …
In:
Excerpt
$ 24] Kvadratinių matricų algebra 235 Kaip matėme, »-tos eilės matricų algebrą, kurią norėdami atskirti nuo jos poalgebrių, vadiname pilnąja »-tos eilės matricų algebra, nėra algebra su dalyba. Tačiau kai kurie jos poalgebriai gali sudaryti algebrą su …
In:
Excerpt
236 Matricos ir vektoriai [V sk. kur tu = Andis = An Bt Aps Cap = lp Bars 5 Cją = Ojų Dys 3 ri Ppžik T Taj Pigs 5 > — 12712 (> R). Iš pastarųjų lygybių matyti, kad trikampių matricų daugyba nėra komutatyvi. Trikampės matricos, kurių bent vienas …
In:
Excerpt
| L Aniauiindia Ai $ 24] Kuadratinių matricų algebra 237 Pilnosios matricų algebros vienetinis elementas E ir nulinis ele- mentas O yra taip pat diagonalinės matricos. Iš diagonalinių matricų daugybos formulės matyti, kad 4, B,= B, A;, Ž t. y. …
In:
Excerpt
238 Matricos ir vektoriai [V sk. Iš nustatyto izomorfizmo ir kilo skaliarinių matricų pavadinimas. Skaliarinių matricų analogija su skaliarais pasidarys dar ryškesnė, jei mes paimsime bet kokių matricų A ir B sandaugas iš skaliarinės matricos / E: …
In:
Excerpt
. į $ 24] Kvadratinių matricų algebra 239 3 Kitą algebrą su dalyba galime nurodyti ketvirtos eilės matricų “tarpe. | 'Imame ketvirtos eilės matricas | a) ai 05 a3 ž 404) Ša = (2 4 = 43 a; i K 3 — 65 23 G — 4 UN TC, 4 89 kurių elementai a45, -- aą;, Sie …
In:
Excerpt
240 Matricos ir vektoriai [V sk. aibių elementus. Kadangi kvaternionai, kurių koordinatės yra tikrieji skaičiai, sudaro nekomutatyvinę algebrą su dalyba, tai ir ketvirtos eilės matricų aibė M „ sudaro nekomutatyvinę algebrą su dalyba. Ši aibė yra …
In:
Excerpt
or A“: VI SKYRIUS TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS S 25. Tiesinių lygčių sistemos Matricų ir vektorių teorija taikoma tiesinių lygčių sistemoms spręsti. Jau determinantų skyriuje sprendėme tiesinių lygčių sistemų atskirą atvejį, kai lygčių skaičius buvo lygus …
In:
Excerpt
242 Tiesinių lygčių sistenios [VI sk. vadinti sistemos matrica. Be matricos A, sistemoms nagrinėti naudo- sime dar kitą matricą gautą iš A, praplčius ją kolona, sudaryta iš sistemos (1) laisvųjų narių. Ta matrica yra Gi Cr Lip Cą np 653 Un Cą k d (3) Lai …
In:
Excerpt
£ 25] Tiesinių lygčių sistemos į 243 kur [Ė'] yra matricos-eilutės [g] transponuota matrica (matrica-kolo- na). Išplėstoj formoj ši matricinė lygtis turės pavidalą N a r Gia MAP ST r sie Gi Gia Gin Ei Ci C> ) Gpp > Ūns Xa C5 - 1 2 = . > Ani aa in X [2 " …
In:
Excerpt
244 Tiesinių lygčių sistemos V [VI sk. Antroji dalis. Leiskime, kad matricų A ir A, rangai sutampa ir yra lygūs 7. Tada matricoje A yra 7 tiesiniai nepriklausomų kolo- nos vektorių, kuriais visi kiti kolonų vektoriai tiesiniai išsireiškia. Aišku, kad tie …
In:
Excerpt
: š 25] Tiesinių lygčių sistemos 245 į Pertvarkę (jei reikia) sistemą (1) taip, kaip aukščiau nurodyta, | sistemos matricos š š E „2 ž i E 2 Tin As, Ū55 Ga, (8 Ake i A A Gp o Gr 1 4 Ari Am mr mn viršutiniame kairiame kampe esantis 7-tos eilės minoras, …
In:
Excerpt
| 246 Tiesinių lygčių sistemos | [VI sk. kur 4=1,2, ---, r. Skaitiklio determinantas gaunamas iš determi- nanto A, pakeitus jo k-tą koloną aj;;> 255, > > > , G, Sistemos (7) deši- nėje pusėje stovinčiais, „laisvaisiais“ nariais. Toliau skirsime du …
In:
Excerpt
$ 31] . Polinomų kanoninis išskaidymas 297 Ilia. Jei polinomas f(x) dalijasi iš polinomų g, (x), E2 (4); > gp (2), e poromis šie polinomai yra reliatyviai pirminiai, tai J(x) dalijasi iš jų sandaugos Šiuos apibendrinimus siūlome atlikti skaitytojui. S 31. …
In:
Excerpt
298 Polinomai bet kokio kūno atžvilgiu [VII sk. domas, tai egzistuotų du žemesnio nenulinio laipsnio polinomai, kurių sandauga būtų lygi x27—5. Tokiais polinomais galėtų būti tik tiesiniai (pirmojo laipsnio) polinomai. Taigi, turėtume 2 …
In:
Excerpt
$ 31] Polinomų kanoninis išskaidymas 299 kur nei g(x), nei A(x) laipsniai nėra nuliai. Tada D(x4)=g (x) (-- h (5)) ir D(x), priešingai mūsų prielaidai, išsiskaidytų į du nenulinio laips- nio polinomus. Teorema įrodyta. III teorema. Jeigu f(x) yra bet koks …
In:
Excerpt
300 Polinomai bet kokio kūno atžvilgiu [VII sk. Tegu polinomai p(x) ir g(x) patenkina teoremos sąlygas. Tada P(x) =1(59 (5). Kadangi g(x), būdamas pirminis, negali būti nulinio laipsnio poli- nomas, tai 2(x) yra nulinio laipsnio polinomas, t. y. o(5=—c- …
In:
Excerpt
$ 31] Polinomų kanoninis išskaidymas 301 Įstatinėdami f;(x) reikšmes į aukščiau stovinčias lygybės, iš pirmosios gausime ; J) = 21 (5) B2(2) Pama (3) D (2), (32) kur p;(x+) (=1, 2, ..., m) yra pirminiai polinomai. Sakykime, kad f(x) žiede B [x] dviem …
In:
Excerpt
302 Polinomai bet kokio kūno atžvilgiu [VII sk. arba sutampa, arba skiriasi tik nulinio laipsnio daugikliais (kūno T elementais). "Taigi, išskaidymus (32) ir (33) galime laikyti vienodais, vadinasi, teorema įrodyta. Kai kurie polinomo f(x) išskaidymo (32) …
In:
Excerpt
$ 32] Išvestinės. Polinomo kartotiniai daugikliai 303 Polinomo f(x) vyriausio nario koeficientą 5 iškeliame už skliaustų : $(x) = 5 (x?9 — 648 12158 — 5957 4 190x5— 17945 3 1-206x14— 136x3 — 16x2 1 80x— 92) Išskaidę polinomą pirminiais daugikliais žiede X …
In:
Excerpt
304 Polinomai bet kokio kūno atžvilgiu [VII sk. Sutvarkę polinomą pagal A laipsnius, turėsime fe h=23,14, 5... Ldk iaų xa) L hna„*711+(1— Ia, ,*"24--..1224,x1-4,]1- sel(5)a (5 Ja +. 3410) (a (p aa ka ią, | 1-1 1 na,x+-a,.,]4+ "a, (38) Polinomo f(xĄ4-h) …
In:
Excerpt
"LLNHrNHNrMmwrYoĖ Š 32] tsvestinės. Polinomo kartotiniai daugikliai 305 Ja vadinsime antrąja polinomo f (x) išvestine. Panašiu būdu gau- sime trečią, ketvirtą, ir t. t., K-tą išvestinę ir t. t. ir pagaliau n-tą išvestinę. Išvestines, ml A antrąja, …
In:
Excerpt
306 Polinomai bet kokio kūno atžvilgiu [VII sk. ir kitos polinomų išvestinių formulės algebroje yra tos pačios kaip ir matematinėje analizėje. Jos remiasi šiomis teoremomis: 2 teorema. Dviejų polinomų sumos išvestinė yra lygi tų polinomų išvestinių sunai. …
In:
Excerpt
$ 32) Išvestinės. Polinomo kartotiniai daugikliai 307 tai, sudauginę f(x4- 4) ir g(x4 A) išraiškas ir sulyginę koeficientus prie *, gauname V = f 6) B) 1-7) a (6), arba įstatę D(x) reikšmę, L) 801 =) 80-75) g (4). (44) Pastaba. 3 teoremą galėjome įrodyti …
In:
Excerpt
“808 Polinomai bet kokio kūno atžvilgiu [VII sk. noniniame išskaidyme to paties kūno B atžvilgiu D(x) bus k—1 karto- tinumo. Įrodymas. Tegu p(x) yra pirminis žiedo B[x] polinomas ir fO=P 6 90: (47) kur (6 »6))=1 Tada pagal formules (45) ir (46) turėsime: …
In:
Excerpt
$ 32] Išvestinės. Polinomo kartotiniai daugikliai 309 o iš šios formulės matome, kad (7 eo: (= l. (49) Įrodėme tokią teoremą: Jeigu polinomo f(x) kanoniniame išskaidyme žiede [x] pirminis po- linomas p(x) yra k-to laipsnio, tai polinomo f (x) j-tos …
In:
Excerpt
310 Polinomai bet kokio kūno atžvilgiu [VII sk. Jo kanoniniame išskaidyme yra visi f(x) išskaidymo, kartotiniai pir- miniai daugikliai ir jokių kitų daugiklių nėra. Mes mokame rasti dviejų polinomų bendrą didžiausią daliklį, nežinodami polinomų ka- …
In:
Excerpt
$ 32] Išvestinės. Polinomo kartotiniai daugikliai 311 Mes gavome polinomą, kurio visi kanoninio išskaidymo pirminiai polinomai sutampa su f(x) išskaidymo pirminiais polinomais. fi (x) neturi kartotinių pirminių daugiklių ir todėl yra žemesnio laipsnio …
In:
Excerpt
312 Polinomai bet kokio kūno atžvilgiu [VII sk. Panašiai galėsime parašyti ir kitus polinomus: d; (x) =g5 (x) 8403) --- g; 77); dę 2(*) = g5—1 (2) 8,5 (3); d. 1 (4) =85 (3); a. Rasime išraiškas polinomų, kurie lieka, padalijus f(x) iš d, (x), d, (x) 15 d> …
In: