Excerpt
Autorius nuoširdžiai dėkoja recenzentams doc. R. Uždaviniui, doc. P. Sur- vilai, Kauno Antano Sniečkaus politechnikos instituto Aukštosios matemati- kos katedros dėstytojams N. Janušauskaitei, R. Sliesoraitienei ir S. Buožiui bei Vilniaus V. Kapsuko …
Excerpt
i "ĮVADAS Algebros pradmenų mokoma vidurinėje mokykloje. Mokiniai sužino, kad algebra nagrinėja raidinius reiškinius ir jų veiksmus. Mokyklinėje algeb- roje raidėmis žymimi skaičiai, todėl raidinių reiškinių veiksmų savybės išplau- kia iš skaičių veiksmų …
Excerpt
lų teorija. Paminėtini vokiečių matematikų E. Kumerio! ir L. Kronekerio* darbai. XIX a. susiformavo labai svarbi algebros šaka — tiesinė algebra. Jos pagrindinius teiginius įrodė anglų matematikai Dž. Silvestras? ir A. Keilisi bei vokiečių matematikas H. …
Excerpt
I SKYRIUS TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS Lygtys sprendžiamos beveik visose matematikos šakose. Vidurinėse mo- kyklose mokiniai sprendžia tiesines, kvadratines, trigonometrines ir kai ku- rias kitas lygtis bei jų sistemas. Aukštojoje matematikoje dominuoja …
Excerpt
“nuliui. Š. Eau Aa Lali R A i A S Ž aa mų 7 r. * Tiesinių lygčių sistema vadinama homogenine, kai jos laisvieji nariai lygūs Kintamųjų realiųjų reikšmių rinkinys x,=c,, X3=C5, --, Xp=l,, kurį įrašius į (I) sistemos lygtis gaunamos teisingos lygybės, …
Excerpt
' Pavyzdžiui, sukeiskime vietomis (1) tiesinių lygčių sistemos i-ąją lygtt | su jąja (i 1 o |(- 1) ()+0), 1 | (j), | L 12 a > i a Aa A is (i) | 0) - (i) -() (=) V). Teorema. /š tiesinių lygčių sistemos elementariuoju pertvarkiu gaunama jai ekvivalenti …
Excerpt
Vadinasi, tos kintamųjų reikšmės tenkina visas (5) sistemos lygtis, pradedant antrąja. Jos taip pat tenkina ir pirmąją (5) sistemos lygtį, nes lygybė Ž (a,; + ka;;)c;=b, + kb, yra dviejų pirmųjų (6) formulės lygybių išvada. j> 1 Taigi kiekvienas (2) …
Excerpt
daugintos iš —a;1/a4, (i=2, ...„ m), suma, gausime tai sistemai ekvivalenčią tiesinių lygčių sistemą 2 n 2 ajXj= by, J=1 > (3) Na xr=b (= 25 m) j=2 čia ai;=0;—UnAyj/a, b;=by—anb; Jūs (i=2, --, m; j=2, ..., n). Tiesinių lygčių sistemą ; Į > au — DC —= 2 m) …
Excerpt
— 7 Magd „k a a. SI, LAA 4 as B realiosios kintamųjų reikšmės, tai (I) sistemos sprendinių aibė: sutampa: su tiesinių lygčių sistemos £ 2 r 2 ss n ( > Gia (7) j=i “sprendinių aibe. Vadinasi, pakanka įrodyti, jog pastaroji sistema yra suderin- ta, ir …
Excerpt
reikšmių rinkinys x;=/;(j=1, 2, ..., n) tenkina (7) sistemą, o tai rodo, jog ji yra suderinta. Suteikę laisviesiems kintamiesiems kitokias reikšmes, gausime kitą (7) sistemos sprendinį. Kadangi realiųjų skaičių aibė yra begalinė, tai kiekvieno laisvojo …
Excerpt
a Sprendimas. Elementariųjų pertvarkių seka sistemą pakeičiame trapecine sistema: 2x1—3x5+ X1— X1=3, MGB 2ai—3M1x51— X,=3, 3x;—4154-2x51 x,=4, į > A- mit, P 2x,— 2151 x,+3x,=9 = +4x,=6 | Xi—X-+X)12x,=1, | X1—X-x51-2x,=1, = —Xs—X5—5x,=1, 1 — 2 +4x,=6, | X …
Excerpt
x,—2x51-3x542x41=0, x; —2x113x5 = — 243, = Xa—2x4—3X41=0, — T, Da S x++ x,=0 Na X | 2 | x,— 2x,+3x3= — 244, 1 1 J Xi = 3445 2 5 2 as A = | Xx = 20 | Xs= — Ma 3) Xa= Aa. Vadinasi, x,=3/, X+=!, X1=—1, X,=! (1 € R) yra ieškomasis homogeninės tiesinių lygčių …
Excerpt
5. Su kokia k reikšme lygčių sistema / Ix, 2 A 2x1— Xa—-3x5= 2, 3x1— X-+kx,=12 yra apibrėžia? Ats. kž—5. 6. Su kokia K reikšme lygčių sistema Sk, —4x;4+3x;=0, 2x1—6x> +kx;=0, 3x,— 2x54+2x5=0 turi nenulinį sprendinį? Ats. k=—-1. 7. Ištirkite, su kokia a …
Excerpt
A 4 4 a T . . - : Spręsime tiesinių lygčių sistemą su realiaisiais koeficientais ir realiaisiais . laisvaisiais nariais: (1) AX, PA5X2= bi. a X +055X2=b5. Tarkime, kad bent vienas iš jos koeficientų, pavyzdžiui a,,, nelygus nuliur (priešingu atveju, kai …
Excerpt
Pažymėkime I Dil agdis E, | m |I=4: a 0 Ė b,a,,— aj; b; = b 2 O2p | 1 Tada (2) formules galėsime užrašyti šitaip: 1 didi 5— Ga|d- (6) Gautosios kintamųjų išraiškos vadinamos Kramerio! formulėmis. Pabrėšime, kad jos tinka tik tokiai dviejų tiesinių lygčių …
Excerpt
=4(1)t, x;=d(2)r, x4=d(3)t. Vadinasi, (8) kintamųjų reikšmės yra (7) sistemos sprendinys. Dabar įrodysime, kad bet kurį (7) sistemos sprendinį X;=c; (j=1, 2, 3) (9) galima gauti iš (8) formulės. Kai /=0, iš tos formulės randame x,=xX;=x5=0. Todėl (9) …
Excerpt
a a T „e gs is Pavyzdys. Rasime homogeninės tiesinių lygčių sistemos 2x,— Sxą + 3x4=0, 3x,1+4x;— 2x,—0 sprendinius. Sprendimas. Apskaičiuojame determinantus: | —5 F> A-22 | 4 d (1)=| =—2, d(2)=| 14 203) = ii A BA 0-|; 4 Kadangi determinantas d (3) nelygus …
Excerpt
TTT „e MT r S 4 1 1 „BLT J £ is š *- eis 31 d,= 2 bi t; = bj Asp Az —D3 Ars Azs + As bp A55— i= 1 — Oyx 5 As3 + Ay Asa b3 — Oj5 Asp by, (15) (12) formulę galime užrašyti šitaip: dis (16) Kad išryškėtų skaičių d ir d, sudarymo taisyklė, koeficientus prie …
Excerpt
Kra 2 - : = Pavyzdys. Apskaičiuosime determinantą 1-4 2 g 8 Eu 3 al Sprendimas. Pagal Sariuso taisyklę| d=1-1-(-4)+2-2-34+(—1)-0- (—1)—2-1- (—1)—(—1)-2-(—4)—1-0-3=—-44 +124+04+2-8-0=2, Palyginę (15) formulę su (14), pastebime, jog skaičių d, galima gauti …
Excerpt
1 -1 S 1 |=5 —8-14+5+2—-4=-1, 1 1 k Kišo Ara Sara Peso B aa is S S S Lino DV aDA | todėl x;= —2/(—1)=2, x4=—1/(—1)=1, x> = —1/(—1)=1. 2-osios ir 3-osios eilės deierminantus apibrėžėme spręsdami tiesinių lyg- čių sistemas. 4-osios eilės determinantus taip …
Excerpt
Aš a a as AA Jei aibės B visi elementai priklauso aibei A, tai aibė B vadinama aibės A | poaibiu ir rašoma Bc A. Pavyzdžiui, N < Z, (-1; 1; 33) xeA. (1) Aibių A ir B sankirta vadinama aibė AnB=(x |xeAir xeB!, (2) o tų aibių sąjunga — aibė AuB=(x|xe A arba …
Excerpt
"TRS " Jei A,=A;=...= A,=A, tai iš (6) formulės gauname aibės A Dekarto k-ąjį laipsnį: AK+=Ax Ax... X A. k aibių Dviejų aibių Dekarto sandaugos bet kuris poaibis vadinamas tų aibių bi- nariuoju sąryšiu. Jei pora (a; b) priklauso aibių Dekarto sandaugos …
Excerpt
$ 5. Kėliniai 2, Sprendžiant kai kuriuos uždavinius, reikia atsižvelgti į aibės elementų tarpusavio padėtį. Aptarsime tą klausimą išsamiau. Bet kuris aibės (a,: a;; ..; a,| elementų dėstinys Akis Ūko G (1) . vadinamas n elementų kėliniu. Aišku, jo …
Excerpt
p Jei a, bi, tai až as (4) Bi b (5) yra n—1 elemento kėliniai. Pagal indukcijos prielaidą galima sudaryti transpo- zicijų seką, kuria (4) kėlinys keičiamas (5). Todėl, pritaikę tą transpozicijų seką (2) kėliniui, gausime (3). Kai a,b, (2) kėlinyje …
Excerpt
* čia raide C pažymėti kėlinio elementai, esantys prieš k, o raide D — kėlini elementai, esantys po /. Po transpozicijos (k, /) gausime kėlinį KS mn Mia aaa i S ka D (9) Akivaizdu, kad transpoziciją (K, /) sudaro šitokia (8) kėlinio gretimų elemen- tų …
Excerpt
+ Jei atvaizdžio f: X Y vaizdas lygus aibei Y, tai tas atvaizdis vadinamas "surjekcija, arba aibės X atvaizdžiu į aibę Y. Pavyzdžiui, aibės X=(—1; O; 1) atvaizdis aibėje Y= (1; 2), apibrėžtas funkcija x -Ž— x2+1 (Vx e X), yra surjekcija, nes Im/= (1; 2)= …
Excerpt
+ * 1 teorema. Atvaizdžių kompozicijos dėsnis yra asociatyvus: iš prielaidos f: X-Y, g: Y-Z ir h: Z—V išplaukia lygybė (feg)oh=f-(geh). (3) Įrodymas. Pažymėkime k=fog, I=goh. Kadangi k: X—Z, I: Y—V, tai koh : X—V ir fol: X—V. Tada su bet kuriuo x < X yra …
Excerpt
1 išvada. Bijekcijai f: X-—> Y atvirkštinis atvaizdis f! yra bijekcija, kurios savybė (-9-1f. Įrodymas. Remiantis (4) formule, atvaizdis f! tenkina lygybes Jof=eyx, $70f=ė6y. (5) Vadinasi, f yra atvaizdžiui f-! atvirkštinis atvaizdis. Pagal 4 teoremą …
Excerpt
$ 7. Keifiniai Smulkiau panagrinėsime baigtinių aibių bijekcijas. n elementų aibės bijekcija į save vadinama n-ojo' laipsnio keitiniu (arba tos ai- bės keitiniu). Baigtinės aibės (a;; a> ; ...: a„) bijekciją į save (a;) g=a;, (i=1, 2, -.., n) galima …
Excerpt
Keitinių kompozicijos dėsnį vadinsime keitinių daugyba ir žymėsime daugybos ženklu. džiui, keitinių /=(1 1 4 4) (1 i Pavyzdžiui, keitinių /= Š Gnaava S | 7 > 3/ Sandau- 2509 Iš atvaizdžių kompozicijos dėsnio asociatyvumo išplaukia keitinių daugybos …