Excerpt
14 I. Įžanga 2pavyzdys. yy/+x=0 (y+0). Izoklinos yra tiesės Cy+x=0, arba = --> „kurių krypties koeficientas 13— — Lygybė Cm=—1 rodo, kad lauko kryptys yra statmenos izoklinų — tiesių, einančių per koordinačių pra- džią, — krypčiai (2 brėž.). Integralinės …
Excerpt
Šš 3. Funkcijų šeimų diferencialinės lygtys 17 2 pavyzdys. Rasti visų erdvės tiesių m —— 1 —— (15) diferencialines lygtis. Sistemą (15) parašome == S naG m = (16) m 7 i n Į pavidalo. Ieškomąją diferencialinių lygčių sistemą gauname, dukart išdiferencijavę …
Excerpt
M SKYRIUS DIFERENCIALINĖS LYGTIES y'=(f(x, y) SPRENDIMAS KVADRATŪROMIS Išnagrinėsime paprasčiausius atvejus, kada 2 — (25 y) pavidalo diferencialinę lygtį galima išspręsti kvadratūromis, tai yra išreikšti jos sprendinius ar integralus, atlikus baigtinį …
Excerpt
20 II. Lygties y'=f(x, y) sprendimas kvadratūromis Lygties (1) krypčių lauko izoklinos yra tiesės x=const, o inte- gralinės kreivės yra gaunamos viena iš kitos, jas lygiagrečiai pa- stumiant y ašies kryptimi. 2. Imkime diferencialinę lygtį =J (y); (2) kur …
Excerpt
SU Kintamųjų atskyrimo metodas 21 turi vienintelį sprendinį y(x) tokioje taško x= x) aplinkoje, kurioje v(x)Z1. Kitaip tariant, per bet kurį juostos …
Excerpt
4 Kintamųjų atskyrimo metodas 23 Pakeitę kairioje šios lygybės pusėje integravimo kintamąjį 1 = ę(E); dąy=9'(E)dĘ ir atsižvelgę i lygybę y=9(x) bei sąlygą (7), gau- name 1-5 —- -J +6)46, (10) tai yra lygybę (6). Taigi kiekvienas patenkinąs pradinę sąlygą …
Excerpt
24 II. Lygties y'=i(x, y) sprendimas kvadratūromis Tiesė y=y yra lygties (5) integralinė linija, dalijanti sriti g į du stačiakampius, kuriuose per kiekvieną vidaus tašką (x2, Yo) eina tiksliai viena integralinė kreivė. Įrodysime teiginį: Jei abu …
Excerpt
$4. Kintamųjų atskyrimo metodas 25 Parodysime, jog tiesės (14) yra integralinės linijos. Išdiferen- cijavę tiesės lygtį, gauname 2- — 2. Iš lygybių (14) turime f(ax +6y) = — = . Įstatę šias reikšmes į duotąją lygtį (13), gau- name tapatybę. Raskime …
Excerpt
$ 4. Kintamųjų atskyrimo metodas 27 atitinkamos stulpelio dalies oro svoriui (2 — vidutinis šio stulpelio dalyje oro tan- kis): Ap= —gPAz. Padaliję abi šios lygybės puses iš Az, riboje, kai Az —0, turime ap A Žr 78 (17 Iš Boilio—Marioto ir Gei—Liusako …
Excerpt
Šš 5. Homogeninės lygtys 29 Kai t be galo auga, x artėja dydžiui a, ir pirmosios medžiagos koncentracija ar- tėja nuliui. 2atvejis: b=a (abiejų medžiagų koncentracijos vienodos ir reakcija gali vykti iki galo). Diferencialinė lygtis (21) virsta tokia: dx …
Excerpt
30 II. Lygties y/=i(x, y) sprendimas kvadratūromis Duotąją lygtį galime ir taip parašyti: > =9 (2) : (1) Pakeitę, kai x < 0, y=ux, i (2) gauname lygtį su atskiriamais kintamaisiais: * a +u=9(u), arba A (4-4. 6) Kada ę(u)=u, lygtis (3) virsta Ž4-=0, iš kur …
Excerpt
š 6. . Pirmos eilės tiesinės lygtys 33 $ 6. Pirmos eilės tiesinės lygtys. Rikačio lygtys. Pirmos eilės tiesine diferencialine lygtimi vadiname lygtį A(X)y'+-B()y=C(x) …
Excerpt
$ 6. Pirmos eilės tiesinės lygtys 35 Įstatę funkcijos C(x) išraišką į lygybę (5), gauname tiesinės ne- homogeninės lygties bendrąjį sprendinį: 6 ą()e “ di +- Ce * L (6) x £ x — f vi)ds | f ota> — f pisjas Spręsdami tą pačią tiesinę nehomogeninę lygtį …
Excerpt
36 II. Lygties y“=f(x, y) sprendimas kvadratūromis ir iš abiejų lygybių eliminuojant konstantą C: £6)Y— 8 G)y=f (8 (x) —1()E' (A). (9) Lygtis (9) virsta homogenine, kai funkcijos f(x) ir g(x) yra tie- siškai surištos ir jakobianas dešinėje lygties …
Excerpt
$ 6. Pirmos eilės tiesinės lygtys , 37 Įstatę į lygties (4) bendrąjį sprendinį (6) x=Xxo ir y=Yo, randa- me C=yo ir parašome Koši uždavinio sprendinį: £ x A tipas | I vcoa= — f ptoas WE ą(t)e“ d: -yge Ė 4. Bernulio (Jak. Bernoulli vyr.) diferencialinę …
Excerpt
38 II. Lygties y'=i(x, y) sprendimas kvadratūromis virstanti tiesine lygtimi, kai p(x)—0, ir Bernulio lygtimi, kai r (x) =0. Lygtis (15) turi savybių, analogiškų tiesinės lygties savy- bėms, tačiau bendruoju atveju ji nėra suvedama į tiesinę lygtį ir net …
Excerpt
$6. Pirmos eilės tiesinės lygtys 39 ir iš formulės (11) išvedame lygties (18) bendrąjį sprendinį, iš ku- rio, vėl panaudoję pakeitimą (20), gauname lygties (15) bendrąjį sprendinį š , 1 1 — [ter x. + 1 61d> — Ce a Vu J. —Yi Kada žinome tris skirtingus …
Excerpt
40 Ii. Lygties y/=f(x, y) sprendimas kvadratūromis patenkina Rikačio lygtį. Įrodymui sudarome funkcijų šeimos (23) diferencialinę lygtį: padauginę iš trupmenos vardiklio abi lygybės puses, jas diferencijuojame ir eliminuojame konstantą C: (Ny'+> Ny-L)C= — …
Excerpt
$ 6. Pirmos eilės tiesinės lygtys 41 jais šie sprendiniai yra išreiškiami Beselio funkcijomis, kurias kiek panagrinėsime $ 32. 1 pavyzdys. xy'—3y=0. Atskyrę kintamuosius, integruojame duotąja lygtį: dy 3 dx Iš 1 737. Inly|=šln|*|+1|G]. Gauname bendrąjį …
Excerpt
$7. ; Lygtys pilnais diferencialais 43 $ 7. Lygtys pilnais diferencialais. Integruojamasis daugiklis 1. Iki šiol nagrinėjome diferencialinę lygtį e) (I) srityje, kurioje funkcija f(x, y) buvo tolydinė. Tokios lygties kryp- čių lauke negalėjo būti krypčių, …