Excerpt
я ее НН С ке и ть. аи ры в Е т Е 5 2 Е 5 у а х Р р зле ЕС МАРЕ И т! о Еа 7 е а расти Н а а й ЗЕ Р, Не ны …
In:
Excerpt
A Tiesialinijiniai paviršiai 197 || [ Kūgių šeimos lygtis (—xsin8 1 y cos 8)* cosža 4 22 cos 24 — z (x cos B + y cos B) sin2a=0, kur 8 yra šeimos parametras. Gaubiamasis paviršius =*cos 22 —2 V x213* sin24—=0 susideda iš plokštumos == ir kūgio x*4+y*— 72 …
Excerpt
198 Paviršių teorija [II d. Šią kreivę vadiname vedamąja kreice. Tegu kiekviename jos taške tu- rime duotą vienetinį vektorių 72, kuris taip pat yra 4 funkcija, taigi m= m(u). Per kiekvieną iš šių vektorių vedame tiesę, kurią vadiname sudaromą- ja. …
Excerpt
$ 12] Tiesialinijiniai paviršiai 199 arba (dr, m, dm)= 0. (134) Šiai sąlygai galima taip geometriškai aiškinti: tiesialinijinis paviršius yra išklojamas, jeigu jo dvi be galo artimos sudaromosios susikerta. Iš tiesų, pažmę ant vedamosios kreivės du taškus …
Excerpt
200 Paviršių teorija [I d. Tiesę 14- Au tegu nustato vektorius 72-- Am, išvestas vedamosios kreivės taške 74- AT, o taškas A" gaunamas reikšmei 7-1 Av. Taško A' radiusas-vektorius tegu yra 74-A7T, kur —> AT — AA. Tuomet ' T+-AT=T71A7+(v91+A29)(m + Am). …
Excerpt
$ 12] “| Tiesialinijiniai paviršiai. 201 Ant kiekvienos tiesialinijinio paviršiaus sudaromosios, išskyrus ci- lindrinius paviršius, yra po vieną centrinį tašką. Šių taškų geometrinę vietą vadiname strikcine kreive, arba žiočių kreive, arba tiesiog …
Excerpt
202 Paviršių teorija š [II d, malės vektorius m, o tuo pačiu ir 7/ yra statmeni kreivės liečiamajai 7' ir todėl iš (136) lygties seka (137) lygtis. : Ties:alinijinio paviršiaus sudaromoji u, davus w pokytį Au, perei- na į tiesę 4-- Au, kuri su pirmąja …
Excerpt
$ 12] Tiesialinijiniai paviršiai 203 Surasime, kaip keičiasi kampas tarp tiesialinijinio paviršiaus liečia- mųjų plokštumų, jei lietimosi taškas juda sudaromąja w. Aišku, jeigu tiesialinijinis paviršius yra išklojamas, tai liečiamoji plokštuma išilgai …
Excerpt
AS A kana + = arai 204 - Paviršių teorija [II d. (83) asimptotinių linijų diferencialinę lygtį, atsižvelgus į koeficientų L, M, N reikšmes, duotas (44), galima parašyti pavidalu (r, du? +-2T,„dudo--T,„dv*, T, T)=0. Todėl mūsų atveju (G“ + 0m') du? 4-2! …
Excerpt
$ 12] Tiesialinijiniai paviršiai 205 2. (1/ m m')=0, paviršius yra išklojamas. Šiuo atveju ir antroji asimptotinių linijų diferencialinė lygtis pavirsta du= 0. Vadinasi, iš- klojamieji paviršiai turi tik vieną asimptotinių linijų šeimą, kuri yra sudaryta …
Excerpt
206 Paviršių teorija [II d. o tai yra (90) lygtis. Vadinasi, kryptys du: dv ir 3u:0v yra sujungti- nės. Kryptis du:dv yra paimtos ant paviršiaus kreivės liečiamos'os kryptis; tuo tarpu 01:67 yra kryptys per paviršiaus kreivės taškus iš- vestų paviršiaus …
Excerpt
$ 12] Uždaviniai 207 94. Įrodyti, kad helikoidas yra konoidas. 95. Rasti konoido lygtį, jei jo vedamosios kreivės yra tiesė = 5 ir elipsė x g 2 Era L 20 ir suŽaromosios lygiagretės plokštumai x= 0. 2-5 96. Rasti konoido lygtį, kurio vedamosios kreivės yra …
Excerpt
208 Paviršių teorija [IT d. 103. Įrodyti, kad helikoido žiočių kreivė sutampa su jo ašimi ir kad pa- skirstymo parametras yra pastovus. 104. Rasti sukimosi vienašakio hiperboloido x + y 2 A S-1 a c bet kurios sudaromųjų šeimos žiočių kreivę. [Abiejų …
Excerpt
$ 13] b Derivacinės formulės 209 kiek prie jo yra ženklų: ženklas 1 rodo, kad diferencijuota pagal ul, o 2 rodo, kad diferencijuota pagal už. Kvadratinių formų koeficientus atitinkamai žymėsime: E=g F=ap=8 G= Bas L=by, M=bu5=Pns N= Pas (145) Um ==, S …
Excerpt
210 Paviršių teorija i [TI d. mis, o dydžiui 2; — antros grupės derivacinėmis formulėmis. Pirmos grupės derivacinės formulės vadinamos dar Gauso (Gauss) formulėmis, antrosios — Veingarteno (Weingarten) formulėmis. Išvesime Gauso formules. Vektorius 7;;, …
Excerpt
$ 13] Derivacinės formulės i Sudėję paskutiniąsias dvi lygtis ir atėmę pirmają, gauname; Ūžki E Ūkį | Ūžij L ATA Taigi 1 / Oki Ožkj | Ūgij T, => | as E L (153) Dabar iš (151) lygčių (4 imame 1, 2) surasime iki Atsižvelgę i (152), parašome jas i pavidalų …
Excerpt
212 Paviršių teorija [II d, Padauginę šią lygų iš m ir priėmę dėmesin, kad nl. mi — 0 mre) gauname, kad a; = 0; todėl n, = 5 T Dabar dauginame iš 7, ir priėmę dėmesin, kad pagal (44) T.N,—- —- Po gauname: Pri pr Ep arba, imdami += 1, 2, turime: Pi = Pigių …
Excerpt
$ 13] Derivacinės formulės 213 Veingarteno formules senoje simbolikoje galima parašyti pavi- dalu 2 (FM- GL)T,-(FL-— EM)T, iš G Ake 158 O (EN— GM) T, +(FM— ENYT., (158) LE EGO : Jeigu ESMSNS0 tai iš (158) turime 2,= 2,=0. Vadinasi, 2 = const, o kaip …
Excerpt
214 > Paviršių teorija [II d. Pasiremiant derivacinėmis formulėmis, galima įrodyti, kad pirmoji ir antroji kvadratinės formos pilnai nustato paviršių, t. y. du pavir- šiai P ir P*, turintieji tas pačias pirmąsias dvi kvadratines formas, gali būti judėjimu …
Excerpt
$ 13] Derivacinės iormulės 215 Įstatę į šias lygtis vektorių 74; ir m; reikšmes, duotas (157) lygtimis, ir sutvarkę pagal 7;, 7'3, 72; šalys Ž =(Tž, Ss an d; ai AS dį LE S gr T Pas - LA dr; du! du! a duž 1 = (T air +15 di RAKS ap T Už gp jr duųž + (12 ar …
Excerpt
216 2 Paviršių teorija [II AE) antram, be to, vieną galima gauti iš kito kaip atspindį veidrodyje, nes iš paviršiaus normalės ženklo pakeitimo seka ir antrosios kvadra- tinės formos ženklo pakeitimas. S 14. Gauso teorema. Petersono — Kodacio formulės Du …
Excerpt
$ 14] Gauso teorema. Petersono — Kodacio formulės 217 koeficientais ir jų išvestinėmis. "Tai labai svarbi paviršių teorijos teore- ma, kuri dažnai vadinama Gauso ypatingoji teorema (theorema egre- gium). Į Gauso kreivumo formulę Ik“ Pubo—Pi, | LN— Mi 3 T …
Excerpt
218 Paviršių teorija [II d. Įstatę gautas reikšmes į kreivumo K lygtį, galutinai zauname: UA J | 0 Ta Dip 1 Ouž Oy 171121 | K=— AS El 83 "T fu 612 T Su £12 | p„U60 T: > Si 822 D15 812 822 | ; arba, išreiškus dydžiais E, F, G, 1 UA= (EG F33 F,- G, E F = 1 …
Excerpt
$ 14] Gauso teorema. Petersono — Kodacio formulės 219 ir Frobenijaus (Erobenius) — | 1 0 E,„—F, 0 Fy— Gy K-- ay. | BE -2r15 24 1 MA L 163 GG G kur . W=V EG-F*. Formulės (160)—(163), išreiškiančios paviršiaus kreivumą pirmosios kvadratinės formos …
Excerpt
220 1 Paviršių teorija [II d. arba i p (16) a — TaPia S du Iš šios lygties, imdami iš eilės +—1, 2, gauname dvi lygtis, kurios riša antrosios kvadratinės formos koeficientus ir jų išvestines su pir- mosios kvadratinės formos koeficientais ir jų …
Excerpt
„*6 15] Paviršių lenkimas ir jų vidaus geometrija 221 kreivių ilgiai nepasikeičia. Nepasikeis ir daugelis kitų paviršiaus savy- bių. Nagrinėjimas tokių paviršiaus savybių, kurios nesikeičia paviršių lenkiant, sudaro taip vadinamą paviršiaus vidaus …
Excerpt
222 į i Paviršių teorija [II d. Įrodysime atvirkščią dėsnį: jeigu du paviršiai yra izometriniai, tai, atitinkamai parinkus ant jų koordinatinius tinklus, jie turi tas pačias pirmąsias kvadratinės formas. Parinkus ant paviršiaus P, bet kokią kreivalinijinę …