Excerpt
$ 20] Pusiau geodezinės koordinatės ant paviršiaus 253 tai [oe I (0 vo=(57) +> (5)- Už Ob 1 Oy 0 V na ie AaGi o koordinatėse ul, už — aB 0p 04 A. gap9m Oma žo V(ę)=£ V S A Ouž OuB * ę ir ( gali būti bet kokios skaliarinės funkcijos. Priimame p(u, 0)=u, …
Excerpt
254 Paviršių teorija [II d. be to, tegu A ir B taškų koordinatės u,, 24 ir u,, 2, šią lygtį paten- kina. Tuomet kreivės atkarpos tarp taškų A ir B ilgis yra Ua dv 2 s= J Vi+o(2) du. L Kadangi G > 0, tai L [lažas B] | alsiu—ui Ur Ui | tuo mūsų tvirtinimas …
Excerpt
$ 21] Nepastovaus kreivumo paviršių lenkimas 255 P' — koordinatėse uY, u2', tai izometrinių paviršių atitinkamuose taš- kuose turi galioti pareinamybės KRaluSa)—K(2L Euže (230) kur K yra paviršius P Gauso kreivumas, o K' paviršiaus P' Gauso kreivumas. Ši …
Excerpt
256 Paviršių teorija sd už, už ir iš kintamųjų 1“, už' reikšmės ul, už, kad tapatingai būtų patenkintos lygtys K(ul, už) = K' (ul, už'), v(Kt, u)=vV (K 04, 429). Šios lygtys geometriškai nusako, kad turi būti ant kiekvieno pavir- šiaus po tašką, kuriuose …
Excerpt
: $ 21] Nepastovaus kreivumo paviršių lenkimas 957 koordinatėse sutampa. Tam tikslui reiktų (230), (231) lygtis išspręsti, pavyzdžiui, išreikšti J UV =uV (ul, už), ut =u? (ul, už), įstatyti šias uY ir u?' reikšmes į paviršiaus P! pirmąją kvadratinę for- …
Excerpt
258 . Paviršių teorija [I d. Tokiu būdu, paviršiaus pirmoji kvadratinė forma įgauna pavidalą: V (už) (du!)*—2y (ul, už) du! du* 4-7 (u?) (du?) V (u?) V (už) — y (ul, 2) 2 (235) dsž= Įvedę ant paviršių P ir P' koordinates K, VK ir K", y'K', jų pir- mąsias …
Excerpt
$ 21] Nepastovaus kreivumo paviršių lenkimas 259 Sutraukę matome, kad du paviršiai P ir P' yra izometriniai, jei: 1. Yra patenkinta (230) lygtis, t. y. jei atitinkamuose taškuose Gauso kreivumai yra tie patys; jei paviršiai neturi tokių taškų, ku- riuose …
Excerpt
260 Paviršių teorija [II d. arba, atsižvelgę į (238), ; Vu) = 1 Kaip matome, ši lygtis sutampa su (227) lygčių pirmąja. Parenkame » kaip ul, už funkciją, kuri būtų (227) lygčių antrosios sprendinys, ir, be to, tokią, kad taške A O0(u, v 0 (ul, 2 T0. Tai …
Excerpt
262 Paviršių teorija [Had Skirsime du atvejus: 1. Funkcijos c, (2) ir c,(v) nėra tiesiškai suriš- tos. 2. Funkcijos c;(2) ir c4 (2) yra tiesiškai surištos. 1. Kadangi c, ir c, nėra tiesiškai surištos, tai (246) lygties dešinioji pusė nėra pastovi ir tokia …
Excerpt
$ 29] ' Paviršių lenkimas į sukimosi paviršius s 263 parašę v, pirmąją kvadratinę formą parašome pavidalu dsž = duž —- 4 (u)* dvž. (249) Aišku, kad šiuo pakeitimu geodezinės' lygiagretės nepasikeičia. $ 19 turėjome, jei plokščią kreivę x=u, Zz=9(u) …
Excerpt
264 Paviršių teorija [II d. kur a yra bet kokia teigiama konstanta, 4 yra ta pati funkcija, kuri figūruoja (249) lygtyje, o u' yra kreivės lanko ilgis. Reikia dar rasti z kaip u' funkciją. Plokščios kreivės lanko diferencialas yra ds* — dx? - dz, bet jis …
Excerpt
$ 22] Paviršių lenkimas į sukimosi paviršius 265 delius gabalus, galima gauti abipus vienareikšmį izometrinį atvaizda- vimą. Kadangi konstantą a jos apribojimo srityje galima laisvai pasirinkti, tai turime visą šeimą sukimosi paviršių, į kuriuos galima …
Excerpt
266 Paviršių teorija [II ad. Bet atitinkamų lygiagrečių apskritimų spinduliai yra skirtingi. Jeigu a V — Ii. Be to, kaip matome iš (257), kai u=—u", galioja 235 vadinasi, pirmojo paviršiaus meridianų projekcijos į = ašį yra dides- nės už antrojo …
Excerpt
< $ 23] Pastovaus kreivumo paviršiai 267 Ant bet kurio pastovaus kreivumo paviršiaus sudarysime pu- siau geodezinę koordinačių sistemą (žr. $ 20) šiuo būdu. Per pavir- . šiaus tašką A vedame bet kurią geodezinę kreivę C ir ją laikome v kreive; išvedame …
Excerpt
268 Paviršių teorija i [II d. Išdiferencijavę (261) lygtis pagal u, įstatę u—=0 ir reikalaudami, kad 0G sk Ž 2 — = 0, visais trim atvejais gauname: [71 c;(20)=0. Tokiu būdu, V G=cos(/ Ku), IR 0: VG = 1, K-0, VG=ch(V Ku, " K 0, ds* = duž L dv?; | KO (262) …
Excerpt
s 23 Pastovaus kreivumo paviršiai 269 Ant pastovaus kreivumo paviršiaus galima paimti tašką ir aplink jį išpiauti paviršiaus gabalą. Šį gabalą galima išlenkti ant to paties paviršiaus taip, kad taškas A ir jame duota kryptis sutaptų su bet kuriuo kitu …
Excerpt
270 Paviršių teorija Id arba USE ds* = du? + (cos VK uždo?. (264) Palyginus šią kvadratinę formą su (262) pirmąja, matome, kad bet kurį pastovaus kreivumo K paviršių galima išlenkti į sferą spindulio R, kur R su K yra surišti (263) lygtimi. (262) antrąja …
Excerpt
S 23] Pastovaus krėivumo paviršiai 271 Kadangi visus to paties pastovaus kreivumo paviršius galima iš- lenkti vienas į kitą, tai visus neigiamo „pastovaus kreivumo paviršius galima išlenkti į pseudosferą. i Susipažinome su trimis pastovaus kreivumo …
Excerpt
272 Paviršių teorija [II d. Dar kartą suintegravę, galutinai randame: KSS JS z=+ J D i (268) kur x; yra meridiano to a abscisė, kuriai z4;=0. Tokiu būdu, visų pastovaus kreivumo sukimosi paviršių meridianai xz plokštumo- je išreiškiami (268) lygtimi. …
Excerpt
$ 23] Pastovaus kreivumo paviršiai ; 273 tiktai, kai virsta begalybe arba nuliu, taigi jei x= V ca ir x= Wt= Ta "Todėliš viso,kas pasakyta, matome, kad kreivė susidedaiš kongruentinių dalių (80 brėž.). Taškai, kuriuose x= Į/ c— La yra kreivės ypatingi …
Excerpt
274 . Paviršių teorija 2 HI d Jei x=V ca, meridianas labiausiai nutolęs nuo sukimosi ašies. Šio meridiano taškas, besisukdamas aplink sukimosi ašį, duoda lygiagretę, ž > Ž r SAS Ž Ž = dz vadinamą sukimosi paviršiaus ekvatoriumi. Kadangi, kai x = V 12 …
Excerpt
$ 23] Pastovaus kreivumo paviršiai 275 vadinasi, kreivė savo iškilumu nukreipta į sukimosi ašį. Skirsime taip pat 3 atvejus: c> 0, c=0, c < 0. a. c > 0. (271) dešinės pusės po radikalo ženklu esantis skaitiklis turi būti teigiamas, tai c < l, ir …
Excerpt
276 Paviršių teorija [II d. Ši lygtis drauge su (273) lygtimi yra traktrisės parametrinės lygtys. Tuo būdu, šiuo atveju pastovaus kreivumo sukimosi paviršius yra pseudosfera (79 brėž.). c. …
Excerpt
$ 24] Vektoriaus ant paviršiaus lygiagretus perkėlimas 277 Jeigu vektorius d; ir a; vėl lygiagrečiai ant paviršiaus kreive C, per- kelsime į tašką A,, tai, aišku, kad vektorius 4, užims vaktoriaus a padėtį, o vektorius (i, tegu užims vektoriaus 45 padėtį. …
Excerpt
278 : Paviršių teorija [II d. Kadangi vektorius g ant paviršiaus perkeliamas lygiagrečiai, tai dd yra kolinearinis vektoriui 72 ir tuo pačiu yra statmenas paviršiaus vektoriui D, todėl s adb= —sinodą. (275) Paviršiaus vektorius lygiagrečiai perkeliant, …
Excerpt
$ 24] Vektoriaus ant paviršiaus lygiagretus perkėlimas 279 timi. Mūsų atveju vietoje x galima imti ul ir vietoj y — u2. Todėl turime: = - | |[Ž-0000- k Žž (no 0.)| du! duž, arba Ap = J ji [0 b.)— (n,b b.)) dt du?, nes nb,b,= — (nb,b,)=0, kadangi vektoriai …
Excerpt
280 Paviršių teorija | [II d, kur K yra paviršiaus Gauso kreivumas, o 4S yra ploto elementas. Dešinėje pusėje stovintis dvilypis integralas imamas srityje, apriboto- je uždaru kontūru; jis vadinamas paviršiaus srities pilnu kreivumu. arba integralinių …
Excerpt
$ 25] Gauso—Bone formulė 281 S 25. Gauso—Bone formulė Tegu ant paviršiaus turime duotą uždarą kontūrą, sudarytą iš n kreivių lankų (85 brėž.). Bet kuriame kontūro taške imame vekto- rius D, a, t. Visi vektoriai yra paviršiaus vienetiniai vektoriai. Be to, …
Excerpt
282 Paviršių teorija [II d. Be to, iš (279) lygties turime: < (t, d)= —4. Pritaikę dabar pereito paragrafo nagrinėjimus, tik vietoje D vektori- nio lauko imdami £ vektorinį lauką ir vietoj p imdami — J, pagal (276) turime; —db= —(ntdt), arba dė dt Bet dt …