Excerpt
Rymano-—Styltjeso integralas 947 Funkcijos 2 (x) yra nemažėjančios, be to, Ū …
Excerpt
248 Lebego integralas Kai pointegralinė funkcija yra aprėžta tolydinė, o integruojanti funkcija turi baigtinę variaciją, ir integralams su begalinėmis integravimo sritimis tinka 4—15 teoremos. 17 Helio teorema aplamai nėra teisinga. Ji teisinga, kai funk- …
Excerpt
Lebego integralas abstrakčiose aibėse 249 funkcijos f(x) integralą aibėje A apibrėžiame lygybe ! 10 SL fi 2 f (a)dų, jei bent vienas iš pastarųjų integralų yra baigtinis. Jei abu integralai yra baig- tiniai, tai funkcija f(x) vadinama integruojama mato į. …
Excerpt
250 Lebego integralas Tada Lebego — Styltjeso integralą galime apibrėžti lygybe [ fodu= | fo)du- | Fo)dus. Ia, 5] Iz, 5] [a, 5] Galima būtų parodyti, kad pastarųjų dviejų integralų skirtumas nepasikeis, jei vietoj funkcijų v (x) ir u (x) paimsime kitas …
Excerpt
Uždaviniai 251 5. Jei integruojamų Rymano prasme funkcijų seka (/7 (x)) tolygiai konverguoja segmente [ a, ] į funkciją f (> ), tai f (x) taip pat integruojama Rymano prasme ir Ib b (R) | Ao)dx=> (R) | Fo)as, a a kai n—00. 6. Funkcija f (x) yra apibrėžta …
Excerpt
252 Lebego integralas 11. Išmatuojama neneigiama baigtinio mato aibėje A funkcija f (x) yra integruojama tada ir tik tada, kai bŽ nmix:f(x)zn) < X. n=l Įrodykite. 12. Sakykime, f (x) yra integruojama aibėje A, mA> O. Funkcijos f (x) aritmetiniu vidurkiu …
Excerpt
Uždaviniai . 953 18. Sakykime, f (x)> 0, g ()> 0 yra integruojamos aibėje A. Tarkime, kad 6 (y)= i J(x)dx. (x : xeA, g (x)Zy) Įrodykite, kad 0 [rosoa= | 04: A 0 19. Sakykime, f (x) yra integruojama segmente [a, 6 ] ir lygi O visuose kituose skai- čių …
Excerpt
Vitalio teorema 257 Ms Oa a segmentų Į, + > T, ilgių viršutinį rėžį, parenkame tarp likusių S* segmentų segmentą Z.41, kuris neturi bendrų taškų nė su vienu iš segmentų I, k E aa 2 i al S Ss s aps «> Z, ir kurio ilgis yra didesnis už 5 ln Jei po baigtinio …
Excerpt
258 Diferencijavimas ir integravimas Iš čia gauname, kad IcJ,,„,ir, tuo labiau, a“ Taigi Iš čia išplaukia (1) priklausomybė. Pagaliau, turime, kad 'm(A-B) < 3 mJg;=D > mp. k=r Ic E Iš (2) eilutės konvergavimo išplaukia, jog 21 (A—B)=0. Išvada. Jei …
Excerpt
Monotoniškų funkcijų diferencijavimas 261 AcCla, b] taške x egzistuoja bent vienas išvestinis skaičius Df (x) zu, tai aibės A vaizdo f (A) išorinis matas mf(A)> žum A. Įrodymas. Jei u=0, tai lema triviali. Todėl tirsime atvejį > 0. Imkime bet kokį …
Excerpt
Monotoniškų iunkcijų diferencijavimas 263 2 išvada. Absoliučiai tolydinė funkcija segmente [a, b] beveik visur turi - baigtinę išvestinę. : Įrodymas išplaukia iš 1 išvados ir IV sk. 8.4 teoremos. Kaip pastebėjome, nemažėjančios funkcijos išvestiniai …
Excerpt
9264 Diferencijavimas ir integravimas 2 teorema. Jei funkcija f(x) yra segmente |[a, b] baigtinė, jos išvestiniai skaičiai nė viename taške nėra lygūs — oo ir beveik visur yra neneigiami, tai f() yra nemažėjanti funkcija. Įrodymas. Pažymėkime A aibę tų …
Excerpt
PPAR Monotoniškų funkcijų diferencijavimas 265 to negali būti, nes pagal O (x) apibrėžimą visi jos išvestiniai skaičiai yra > 5> 0). Vadinasi, prielaida O (2) < O (u) yra neteisinga. Taigi visada O (u) < O (2). Iš čia F (u)+3u < F (2) 180. Kadangi d yra …
Excerpt
266 Diierencijavimas ir integravimas Lieka įrodyti, kad beveik visur s' (x) —s,(x)—O0, kai n—o. Tai pakanka įrodyti bet kuriam indeksų posekiui (n,). Parinksime indeksus n, taip, kad s(b)— 5, (b) k6) < X a(b) < J; 2-1. k=l k=l k=l Todėl jos tenkina …
Excerpt
Neapibrėžtinis Lebego integralas 267 kur f* (+) ir f (+) yra neneigiamos funkcijos, abu integralai dešinėje lygybės pusėje yra nemažėjančios funkcijos. Todėl (1) integralas yra baigtinės varia- cijos funkcija, vadinasi, beveik visur turi baigtinę …
Excerpt
268 Diferencijavimas ir integravimas ma ir aibėje E. Funkcija F' (x) kaip išmatuojamų funkcijų riba, remiantis VIESk:3:2; 1 ir 4.2 teoremomis, yra išmatuojama aibėje E, o taip pat ir segmente [a, b], remiantis VI sk. 2.2 ir 4 teoremomis ir mūsų susitarimu …
Excerpt
17 ww" Neapibrėžtinis Lebego integralas 269 Šios funkcijos išvestinė beveik visur egzistuoja ir savo egzistavimo taškuose lygi nuliui. Todėl b | …
Excerpt
272 Diierencijavimas ir integravimas Tačiau [A0a= | fida+ | fidar. A u,U Usv Iš (3) turime, kad [| fo0a> | Alda-:> 0mA,„-e. A B u,v Antra vertus, kadangi aibėje A,„ galioja nelygybė …
Excerpt
MRT PPAMNH/MMMMMMMAIYPVI Neapibrėžtinis Lebego integralas | 273 1 lema. Jei absoliučiai tolydinės funkcijos F(x) segmente [a, b] išvestinė F' (x) yra beveik visur lygi nuliui, tai F(x) yra konstanta. Įrodymas. Sakykime, xe (a, 5]. Kadangi F(x) yra …
Excerpt
274 Diterencijavimas ir integravimas 2 lema. Jei dviejų absoliučiai tolydinių segmente [a, b] funkcijų F (x) ir G (x) išvestinės F' (x) ir G' (x) yra beveik visur lygios, tai tų funkcijų skirtu- mas F(x)—-G(x) yra konstanta. Įrodymas. Pakanka pritaikyti 1 …
Excerpt
Neapibrėžtinis Lebego integralas 275 Antra vertus, kadangi o, (x) „ Flx+h-F(a) h == Todėl nė vienas O, (x) išvestinis skaičius nėra — oo. Pagal 3.2 teoremą funk- cija O„(x) yra nemažėjanti. Vadinasi, O, (a) a, arba | os ()dr < F(x)-F (a). a Kadangi seka …