Excerpt
152 Kreivės Kadangi šią eilutę mažoruoja neaprėžtai mažėjanti progresija = 1 "2 2.4k > k=0 tai eilutė konverguoja tolygiai, jos suma f (x) yra tolydinė funkcija. Jos apytikrį vaizdą galima susidaryti iš 16 brėžinio, kur nubrėžti grafikai funkcijų . …
Excerpt
Kreivės sąvoka. Žordano kreivės 153 Jei k> n, tai < 4kx, > = < 46 > , nes 4—7-1 yra periodo 4-* kartotinis. Panagri- nėsime atvejį k yra tiesės atkarpa segmente /, ir jos kam- pinis koeficientas yra lygus + 1. Tokia ji yra ir segmente I„ 00, šis reiškinys …
Excerpt
154 Kreivės kraštinės ilgis 2—". Tuo būdu, didėjant rango numeriui, segmentų ir kvadratų kraštinės neaprėžtai mažėja. Kiekvienam n-jo rango segmentui priskirkime n-jo rango kvadratą su tuo pačiu numeriu. Remiantis šia atitinkamybe, galime kiekvienam …
Excerpt
156 Kreivės riboje vadinamąjį Sierpinskio „kilimą“. Ši aibė yra Kantoro linija. Iš tikrų- jų, Sierpinskio „kilimas“ yra monotoniškai mažėjančios kontinumų sekos piūvis, todėl pagal II sk. 13.7 teoremą jis yra kontinumas. Antra vertus, ši aibė neturi …
Excerpt
Kantoro ir Urisono kreivės 157 Abipus vienareikšmis ir abipus tolydinis aibės A atvaizdavimas į aibę Y yra vadinamas topologišku, jei atvirkštinis atvaizdavimas f“! yra tolydinis. Dvi aibės vadinamos Komeomorfinėmis, jei vieną iš jų galima topologiškai …
Excerpt
Ištiesinamos kreivės 159 S. Todėl laužčių ilgis LZ negalėtų konverguoti į S. Vadinasi, visoms įbrėžtoms laužtėms L 0) egzistuoja tokia laužtė, jog jos ilgis yra didesnis už S— 0 egzistuoja toks segmento [a,b] suskaidymas taškais al 10 0 02 (2) kad tą …
Excerpt
160 Kreivės 2 teorema. (1) kreivė yra ištiesinama tada ir tik tada, kai funkcijos x (t) ir y(t) turi baigtine variaciją segmente [a, bl. Įrodymas. Jei (1) kreivė yra ištiesinama, tai kiekvieną suskaidymą Hilis S atitinkančios laužtės ilgis L- 3 V(xtd-x …
Excerpt
Uždaviniai 161 dara aibė erdvėje RK. Įrodykite taip pat, kad kiekvienos atviros aibės G < R! pirmavaiz- dis f! (G) yra atvira aibė erdvėje R“. 4. Sakykime, turime erdvės R“ atvaizdavimą į plokštumą R*. Jei visų atvirų skritulių pirmavaizdžiai yra atviros …
Excerpt
VI skyrius IŠMATUOJAMOS FUNKCIJOS 1. Netiesioginiai skaičiai Klasikinėje matematinėje analizėje funkcijų reikšmės paprastai būna tik baigtiniai skaičiai. Dabar teks nagrinėti klasę funkcijų, kurios galės įgy- ti ir be galo dideles reikšmes: + co (žymėsime …
Excerpt
Išmatuojamų funkcijų sąvoka ir paprasčiausios savybės 163 0 p Ša a kad simboliai o0— 00, (—0)-(—- 0), 04+(-0), —0+00, Ža io - t g. Neturi prasmės. 2. Išmatuojamų funkcijų sąvoka ir paprasčiausios savybės Klasikinėje matematinėje analizėje paprastai …
Excerpt
164 Išmatuojamos iunkcijos 22 brėžinys iliustruoja aibę (x: f(x) …
Excerpt
Išmatuojamų funkcijų sąvoka ir paprasčiausios savybės 165 2 teorema. Kiekviena funkcija, apibrėžta nulinio mato aibėje, yra išma- tuojama. Įrodymas. Kiekvienas tokios aibės poaibis yra išmatuojamas. 3 teorema. Jei funkcija f(x) yra išmatuojama aibėje A, …
Excerpt
166 Išmatuojamos funkcijos 6 teorema. Jei išmatuojamoje aibėje funkcija įgyja tik vieną reikšmę (ku- ri gali būti ir + 00), tai ji yra išmatuojama toje aibėje. Įrodymas. Tarkime, kad f(x)=c aibėje A. Turime: Jei d 6 utosą-|+ Iš čia išplaukia teorema. Iš …
Excerpt
Išmatuojamų funkcijų algebriniai veiksmai 167 4. Kadangi 86, jei a I kai 20) Į Ls …
Excerpt
i Išmatuojamų iunkcijų riba. Paprastosios funkcijos 171 "teisingų pagal 1 lemą, arba betarpiškai iš lygybių (x: lim 7, (x) …
Excerpt
š *" Konvergavimas beveik visur ir pagal matą 173 9. Sakykime, f(x) — bet kokia išmatuojama funkcija. Įveskime dvi funkcijas E | [1 ji f(x)> 0, IBO E 0 0, jei f(x)> 0, m (6) ŠA IS Gr B O Šios funkcijos yra išmatuojamos ir neneigiamos, be. to, J0)=f* 6)-f“ …
Excerpt
I 7442 Išmatuojamos funkcijos Jei f(x) ir g (x) kuriame nors taške turi vienodo ženklo be galo dideles reikš- mes, tai f(x)—g (x) neturi prasmės. Todėl šie taškai, griežtai- kalbant, ne- priklausytų nė vienai iš tų aibių. Patogumo sumetimais susitarsime …
Excerpt
Konvergavimas beveik visur ir pagal matą 175 Aibė As yra, aišku, išmatuojama. Iš lygybės A-A;=A- IE Am Ž (4— A) 7 n=! gauname a m(A-A;) < 3. m(A- A? p). (2) n=l Pastebėsime, kad m (A— A")=0. Iš tikrųjų, jei x;€4— A", t. y. xgĖA", tai X„£4z visiems …
Excerpt
178 Išmatuojamos funkcijos Kadangi seka (/, (x); konverguoja į f(x) pagal matą, tai mūsų nelygybės dešinė pusė konverguoja į 0, kai 17—00. Iš čia gauname, kad mix : |, ()-8 6) |> -)—0, taigi (/, (x)) konverguoja pagal matą į g (x). „ Tarkime dabar, kad …
Excerpt
* Išmatuojamų funkcijų struktūra 181 skirtingų tik vienos iš aibių P, nes jei būtų kelių aibių be galo daug elementų, tai x, būtų visų tų aibių ribinis taškas ir dėl jų uždarumo turėtų visoms joms priklausyti. To būti negali, nes aibės F, kas dvi neturi …