Excerpt
212 Lebego integralas - 9 teoremoje teigiama, kad kiekviena integruojama funkcija yra beveik visur baigtinė. Vadinasi, prireikus galime integruojamas funkcijas, įgyjančias begalines reikšmes, pakeisti baigtinėmis, nepakeisdami atitinkamų integralų. …
Excerpt
Paprasčiausios integralo savybės 213 Kadangi f; (x), f (6) ir —A(0) yra aibėje 4; neneigiamos funkcijos, tai pagal 4.1 teoremą | Addx= | fo) dr+ | (-A (3) dx. 4, 45 4; Remiantis 6 teorema, iš čia | fo)dx= | A) dx+ | A) dx. 4, 4, A, 12 teorema. Jei f (x) …
Excerpt
214 Lebego integralas Sakykime E — bet kuris išmatuojamas aibės A poaibis, kurio matas E mE …
Excerpt
216 Lebego integralas Antrasis integralas pagal 5.12 teoremos išvadą ir (3) …
Excerpt
Perėjimas prie ribos po integralo ženklu 217 konverguojančią į /, (2). Paprastųjų funkcijų Sn (x) == AS 2 (x) seka yra taip pat nemažėjanti, be to, IN (x) < Sn (x) 00, gauname as gn …
Excerpt
E » Ė Pilnasis adityvumas - 219 2 teorema. Jei aibė A yra suskaičiuojamos sistemos išmatuojamų aibių A, suma: ir aibės A, kas dvi neturi bendrų elementų, tai kiekvienai neneigiamai išma- tuojamai aibėje A funkcijai f(x) 2 [fd k=! Ap Įrodymas. Pažymėkime E …
Excerpt
1f Funkcija f(x) yra integruojama kiekviename intervale 5 š | jos integralas ESS 2n—1 f f(x)dx= —(2n+ |) (-577)+ 2n;1 220 Lebego i . 1 + Ei S Kadangi ao 2n-l 00 s [vole=X [| VOld=Y Ž=o, 0 nt 21 n=l 2n+1 tai funkcija f(x) nėra integruojama intervale (0, …
Excerpt
Lebego ir Rymano integralų palyginimas 291 Jei funkcija f(x) yra integruojama kiekvienoje iš aibių A, ir eilutė S [ Uf6)|dx k=l Ap konverguoja, tai f(x) yra integruojama aibėje A ir ! flas Y | r) ax. k =1 Ar Įrodymas. Pagal 2 teoremą | | dx S fule A k=l …
Excerpt
Lebego integralo geometrinė prasmė 293 9. Lebego integralo geometrinė prasmė Tarkime, kad 4 yra bet kuri aibė erdvėje RS, f(x)=f (4, < . mMs+1 O (Ip, c)=c 52 m,I;=c m, A. k …
Excerpt
224 Lebego integralas Specialiu atveju, kai A yra atvira aibė erdvėje RS, tai O (A, c) yra iš- matuojama ir jos matas m,+10 (A, c)=cm,A. 3. Tarkime, kad A yra aprėžta uždara aibė erdvėje R“. Galima rasti at- virą erdvės RS intervalą I, padengiantį aibę A. …
Excerpt
Fubinio teorema 225 Teorema. Jei A yra išmatuojama aibė erdvėje RS, f(x) — neneigiama iš- matuojama funkcija aibėje A, tai O(A, f) yra išmatuojama erdvėje RS*! aibė ir ms41 O(A.f)= [/ods Įrodymas. Tarkime, kad f(x) paprastoji funkcija ir jos reikšmės yra …
Excerpt
228 Lebego integralas Pagal įrodymo 2 ir 3 dalis aibės F, (x) ir G, (x) yra išmatuojamos, o funkci- jos m, „F,(x), m, „G,(x) išmatuojamos erdvėje R! ir m,F,= | žm I2 Gojidia m.G,= [ m; į G, (x) dx. (2) R Ri į Iš čia ir iš (1) | (ma G.6)—m, E.(x) ) …
Excerpt
230 į Lebego integralas beveik visiems (x;...., x, )€A (x). Kadangi 0,(x, x> , --., x) yra tolydinės kintamųjų x> , ..., x, funkcijos, tai pagal VI sk. 5.1 teoremą f(x, X, ..., X.) yra išmatuojama kintamųjų x> , ..., x, funkcija, kai xeC ir A (x) S. Lema …
Excerpt
Fubinio teorema 231 ku Ora: 2 a) kuniEmish (Oe a EAG) 0 KTS AG 2650) Todėl pagal 9 paragrafo teoremą visiems x , ..., x, funkcijos aibėje A(x), arba A(x)= 182 DE. (05 A (a > lied B da A | (f J Ada dx, ) dx,, RU A(x) Užtai d s A = | (| Aki nl las dės | Ha …
Excerpt
232 Lebego integralas arba f(xą, --- Xx Xki > > XS) Yra integruojama kintamųjų Xz+4 …
Excerpt
“ Fubinio teorema 233 9. Apibrėšime funkciją f(x, y) kvadrate ((x, y) :0 2, yra išmatuojama aibėje Ac RS ir egzis- tuoja integralas …
Excerpt
234 Lebego integralas 11. Rymano— Styltjeso integralas Matėme, kad Lebego integralas yra Rymano integralo apibendrinimas. Kitoks Rymano integralo apibendrinimas yra integralas, įvestas Styltjeso 1894 m. ryšium su grandininių trupmenų teorija. Tarkime, kad …
Excerpt
Rymano-—Stylijeso integralas 235 yra vadinamos atitinkamai apatine ir viršutine Darbu—Stylijeso sumo- mis. Kai funkcija g (x) yra nemažėjanti, tai Darbu—-Styltjeso sumos turi ana- logiškas savybes, kaip ir Darbu— Rymano sumos (190—191 psl.). 1. Tam pačiam …
Excerpt
236 Lebego integralas Įrodymas yra analogiškas VII sk. 1.2 teoremos įrodymui. 3 teorema. Jei segmente [a, b] funkcija f(x) yra tolydinė, o g (x) turi baig- tine variaciją, tai funkcija f(x) yra integruojama g (x) atžvilgiu tame seg- mente. Įrodymas. …
Excerpt
Rymano—Styltjeso integralas 237 8 teorema. Jei f(x) yra integruojama funkcijų gi (X) ir gs (x) atžvilgiu seg- mente [a, b], tai f(x) yra integruojama ir g; (x) +-8> (X) atžvilgiu tame segmen- te ir [7604 (si )+86))= | Ada (+ | Fa) dgs 6) 9 teorema. Jei …
Excerpt
Rymano—-Styltjeso integralas 9239 kur Č Dre (PER) E a Aa Tačiau 6 yra integralo b [s60476) a integralinė Styltjęso suma, kai segmentas [a ,b] suskaidomas taškais u=t, …
Excerpt
240 Lebego integralas 12 teorema. Jei f(x) yra tolydinė segmente [a, b] funkcija, o g (x)-— baig- tinės variacijos funkcija, nelygi nuliui tik baigtinėje arba suskaičiuojamoje taš- kų aibėje, tai b [fd 6)=0. Įrodymas. Tarkime, kad g (x) nelygi nuliui tik …
Excerpt
Rymano-—Styltjeso integralas 241 Todėl b b š b [Adas (x) | …