Excerpt
730 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk, Šis poerdvis yra invariantinis tiesinės transformacijos 8 atžvilgiu. Tuo įsitikiname, paėmę bet kokį to poerdvio vektorių a ir transformavę jį transformacija J: (498) s!= + (BS) = a …
In:
Excerpt
| * $ 82] Normalinės transformacijos 731 mėms J» I, ..., I, atitinka tiesiniai nepriklausomi nuosavi vektoriai, tai transformacija “B turi tokių vektorių m. Tai reikėjo įrodyti. Pastaba. Šioje teoremoje netvirtiname, kad visi His As ska ių yra skirtingi. …
In:
Excerpt
i + 732 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. atseit, transformacijos )= (g hs)=h(g- g). Kadangi (4-7) 0. tai I=h. Todėl normalinei transformacijai ir jos sujungtinei turime tokį bendrą nuosavą vektorių g, kuris patenkina …
In:
Excerpt
$ 82] į Normalinės transformacijos 733 Jeigu ji neturėtų nuosavo vektoriaus, tai turėtų dvimatį invariantinį poerdvį, apibrėžiamą lygybėmis ($ 65, formulė (53)): 210 = ap, — 2 g50C = ap, 1 bgs. Kadangi g,, ga€ 82, tai jie būtų transformacijos 9C nuosavi …
In:
Excerpt
684 Polinominės matricos [XV sk. Matricos T determinantas |T|=30, todėl ji yra neišsigimusi. Jos atvirkštinė matrica Es 7-1i|1> —5 3 | 64 01-46 Nesunku patikrinti, kad šios T ir T“! reikšmės tikrai patenkina lygybę TAT'1=L. "Taigi, zE-L=T(zE-A)T"! arba …
In:
Excerpt
$ 76) Transformacijų matricos normalinis pavidalas 685 Norint rasti panašių matricų paprasčiausią pavidalą, natūralu jo ieškoti, pasinaudojant ekvivalenčių charakteringųjų matricų kanoniniu pavidalu. Nustatę, kad matricos =Z£— A ir > E— B yra …
In:
Excerpt
636 Palinominės matricos š [XV sk. Tie polinomai sutampa, todėl ieškome tokios matricos t t J 11 12 Ė In Inn kuriai B AF Šią lygybę užrašome taip: IA BE Iš jos gauname skaliarinių homogeninių lygčių sistemą 2hi—Žha= hs —in IŠ = hr 2t1.—2ip=—2i 4 ys — In …
In:
Excerpt
$ 76] Transformacijų matricos normalinis pavidalas 687 Elementariniais perdirbimais matricos A charakteringąją matricą zE—A pertvarkysime į z £— B. (ža2 9 z+3 —5 5 z2+3 0 5 zE-A=| —4 z43 —4[-1 —4 7-1 —4 —4 5 z-6 A 2126 | z13 0 5 [z+3 0 5 P —-4 Z-1 —4į|-| …
In:
Excerpt
683 Ę Polinominės matricos [XV sk. Padauginame matricą A iš kairės iš T, o iš dešinės iš T-!: LA —3 5 —5 1 0 —I TAT2=| 1 01 4 —3 41] —1 1 0 = Toliau ieškosime …
In:
Excerpt
2-2 $ 76] Transformacijų matricos normalinis pavidalas 689 Tegu transformacijos E— L, turi tik vieną elementarinį daliklį (= — IY". 44. Aukštoji algebra …
In:
Excerpt
690 Polinominės matricos [XV sk. Vadinasi, žordaninis langelis negali būti panašus į vienintelę dia- gonalinę matricą /E, kurios charakteringasis polinomas |> E— /E| sutampa su |=ZE— L,|, atseit, transformacijos +! matrica negali būti diagonalinė. Ta …
In:
Excerpt
$ 76] Transformacijų matricos normalinis pavidalas 691 žordaninis langelis jokioje bazėje išsiskaidyti paprastesniais langeliais negali. Keičiant bazę, gali pasikeisti tik jo pavidalas, pavyzdžiui, vie- netai, esantieji virš vyriausios įstrižainės, gali …
In:
Excerpt
692 Polinominės matricos š [XV sk. Kadangi kiekvieną charakteringosios matricos pirmo laipsnio dau- giklį > — I atitinka pirmos eilės žordaninis langelis (vienas elementas) ir, atvirkščiai, kiekvieną vieno elemento langelį atitinka tik pirmo laipsnio …
In:
Excerpt
$ 761 Transformacijų matricos normalinis pavidalas 693 2) Transformacijai “)J, kurios matrica bazėje (6) yra | 5 G JI B=| —2 1 1Į, A aa rasime bazę, kurioje ta forma turės žordaninio pavidalo matricą. Matricos B charakteringoji matrica : B — R E B= 22110 …
In:
Excerpt
694 Polinominės matricos [XV sk. Transformavę tą vektorių transformacija 3, turėsime [5 21 „=[e1 „B=B 221226 —1]=2lzs 15 Toliau ieškosime antro bazės vektoriaus e3. Jo koordinatės pagal matricos B; pavidalą turi patenkinti matricinę lygų [e,] B (2 E— B)= …
In:
Excerpt
$ 76] Transformacijų matricos normalinis pavidalas 695 tam tikroje bazėje, kurią pažymėsime įsi, bus sudėta iš dviejų žordaninių angelių; vieno pirmos eilės, o kito antros, atseit, ji bus „tokia: 210 A=[|0 i 1|. 001 Tą pačią išvadą galima gauti ir iš …
In:
Excerpt
696 Polinominės matricos [XV sk. Įstatę 4) —=2, /1— —15 /5—= 1 į aukščiau parašytą sistemą, gauname jos bendrąjį sprendinį »1= —1—75 1-9: Parinkę y;= — I, y, = 1, gauname y, =1. Todėl E) —= B, — 65 T 003. Dabar galime parinkti jr pirmąjį vektorių e,. …
In:
Excerpt
$ 83] "Sau sujungtinės transformacijos ; 747 Vadinasi, sau sujungtinės transformacijos Keičia vektorių ilgius — „,iš- tempia“ ar „suspaudžia“ pačią erdvę įvairiomis kryptimis. Jei kurios nors nuosavos reikšmės J, ar s; yra nuliai, tai ta kryptimi vektorių …
In:
Excerpt
+ r 748 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. 3 teorema. Unirarinės ar euklidinės erdvės įstrižai simetrinės transformacijos charakteringosios šaknys yra nuliai arba grynai menamieji dydžiai. Įrodymas. Jei / yra įstrižai …
In:
Excerpt
> 13 841 Unitarinės ir ortogonalinės transformacijos 749 5 teorema. Euklidinėje erdvėje yra tokia ortonormalinė bazė, kurioje įstrižai simetrinės transformacijos matrica yra pseudodiagonalinė. Visi pirmos eilės langeliai yra nuliai, o antros eilės …
In:
Excerpt
750 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir, euklidinėje erdvėje (XVII sk. . Daugindami lygybes (37) ir (38) iš abiejų pusių atitinkamai iš ir O, gausime, kad *U=UU*=€, OO0=00'=C. (39) Šios lygybės gal apibrėžti unitarines arba ortogonalines transfor- …
In:
Excerpt
$ 841 i Unitarinės ir ortogonalinės transformacijos, į KTS į "Iš šios lygybės matome, kad vektorius (01 -04* — €) turi oūti nuli- nis, nes E yra bet koks vektorius. Kadangi 1 taip pat bet koks vek- torius, tai transformacija WWų1*—€=0 ir uu: — G. …
In:
Excerpt
A MMS T uo aa ės 752 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Suprastinę ją iš 2, gausime lygybę (40), vadinasi, transformacija 94 yra unitarinė. Euklidinėje erdvėje paėmę tiesinę transformaciją O ir vektorius E ir 1, pagal …
In:
Excerpt
$ 84] Unitarinės ir ortogonalinės transformacijos P ižiė" 753 Tada (E -101) = *1V1 T X2V2L- AV = (E). Vadinasi, 9; bus unitarinė arba ortogonalinė transformacija. Bet šios transformacijos kiekvieną ortonormalinę sistemą palieka ortonormaline, todėl ir …
In:
Excerpt
754 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Antra vertus, kai tiesinės transformacijos matrica turi pavidalą (42), ta transformacija pagal tą pačią $ 82 teoremą turi būti norma- linė, o jos sujungtinės transformacijos matrica …
In:
Excerpt
$ 84 Unitarinės ir ortogonalinės transformacijos 755 4 teorema. Euklidinėje erdvėje galima parinkti tokią ortonorma- linę bazę, kurioje ortogonalinė transformacija turės pseudodiagonalinį pavidalą —1 a 1 1 —1 D — ( - 7 +. (43) —1 0, 0, I 022 kur O, yra …
In:
Excerpt
756 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Unitarinė ir ortogonalinė transformacija nekeičia vektorių ilgių ir kitų erdvės metrinių dydžių. Kadangi jos kiekvieną ortonormalinę bazę keičia ortonormaline, atseit, pasuka visą …
In:
Excerpt
> $ 84] Unitarinės ir ortogonalinės. transformacijos. «751 Tą patį galime pasakyti ir apie formulės (36) įstrižai simetrinę met- ricą I. Vietoj jos gausime sl ON 0 =P k (364) O 0 Mi kur V yra unitarinė matrica. Pavyzdys. Ištirsime dvimačių ir trimačių …
In:
Excerpt
758 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. kuri atitinka nuosavą reikšmę, lygią 1. 3) Transformacijos O viena nuosava reikšmė yra 1, o kitos dvi — —1. Ši transformacija yra tiesiogiai ortogonalinė, nes jos matrica turi vieną …
In:
Excerpt
Ms p TS 770 "Kvadratinės formos [XVIII sk. Paimame vektorių Ę ir 1 išraišką bazėje [w - E=x,0,2-43051---- TX, 0, = 01 V 021 > > TI A ir laikome dvitiesinę formą p(E, 7) I rūšies tiesine funkcija abiejų vektorių atžvilgiu. Tada pagal $ 59 turėsime ę(Es 1)= …
In: