Excerpt
OST (WJ 41 brėž. Jei taškai w, ir w, būtų vienoje kreivės I" pusėje, tai juos galėtume sujungti apskritimo lanku A, nekertančiu kreivės V (41 brėž.). Krei- vės A originalas būtų z plokštumos apskritimo lankas (arba tiesės atkar- pa) 9, jungiantis taškus …
Excerpt
| | | B 4ža (4) S | | Pastaba. Norėdami nustatyti, kuri iš dviejų sričių, apribotų kreive T, yra srities g, vaizdas, 1mame bet kurį srities g; tašką z,. Sritis, kuriai pri- klauso taško z, vaizdas w,, yra srities g, vaizdas. 2z =5S netinį apskritimą |z|=1 …
Excerpt
44 brėž. Imame srities g kontūro (realiosios ašies) tris taškus, sakysime, z,= —1, Z4=0, Zs=1. Einant z,z9z5 kryptimi, sritis g lieka kairėje pusėje. Analogiškai imame tris vie- netinio apskritimo taškus, sakysime, w;=1, w;=i, Ww;=—l. az+b si Ę Ža SS …
Excerpt
Jei OA < R, tai OB> R, t. y. simetriškieji taškai yra skirtingose apskriti- mo Cc pusėse. Įsitikinsime, kad per simeriškus taškus A ir B nubrėžtas apskritimas y“ yra ortogonalus pagrindiniam apskritimui c. Tuo tikslu iš taško O nubrėžkime apskritimo y“ …
Excerpt
Kadangi apskritimai y“ ir y“ yra ortogonalūs pagrindiniam apskri- timui c, tai dėl atvaizdavimo konformiškumo T“ ir V“ yra ortogonalūs apskritimui C. Vadinasi, I“ ir V“ susikirtimo taškai w, ir w5 yra simetriš- ki apskritimo (arba tiesės) C atžvilgiu. …
Excerpt
Dabar turime A Z-Zo a Zi Z—Zą Nė Up ES RASĖ RE A, 4 Žo Norėdami rasti skaičių = —22,, pastebėsime, kad apskritimo |z|= R taškas z= R atvaizduojamas į kurį nors apskritimo | w |=1 tašką. Todėl, imdami z= R, turime R-z,; |w|=1ų1- T RS =l; iš čia 1 R Za …
Excerpt
Kai taškas z apeina apskritimą |z|=r vieną kartą teigiamąja krypti- mi, t. y. parametras t didėja nuo O iki 2, jo vaizdas w apskritimą | w | = =r" apeina 1 kartų, nes tokiu atveju n/ didėja nuo O iki 2nr. Įsitikinsime, kad n-ji apskritimo y dalis — lankas …
Excerpt
išeinanti iš taško w=0 ir su realiąja ašimi sudaranti kampą nx4. Kai |z|=/ didėja nuo O iki 400, taškas z pustiese /, iš taško z=0 juda į begalybę. Jo vaizdas w, taip pat išėjęs iš taško w=0, pustiese L, juda į begalybę, nes |w|=77 didėja nuo 0 iki + 00. …
Excerpt
(w) fl 49 brėž. w=((-+-ic)?=12—c2?4+-2eti. Jei w=u-i0, tai iš pastarosios lygybės turime 4=/2—cž, v=2ct. Eliminuodami para- metrą /, gauname 72 = 2 u= 4e2' 7 C-2 arba 22=4c* (u4+-c?). Gautoji lygtis reiškia parabolę, kurios ašis sutampa su w plokštumos …
Excerpt
tai šią sritį galima suskaidyti į baigtinę arba suskaičiuojamą aibę sričių g; taip, kad kiekvienoje iš jų funkcija f(z) būtų vienalapė. Sritys g, tokiu atveju vadinamos funkcijos f(z) vienalapiškumo sritimis. Suformuluotąjį teiginį atitinka aukščiau gauti …
Excerpt
mes: F(w,)=F(w5). Jei sritis G funkcijos z=F (w) atvaizduojama į Z plokštumos sritį d, tai funkcija w=/(z), atvirkštinė funkcijai z= F (w), srityje d yra daugiareikšmė. Kaip minėjome praeito paragrafo pabaigoje, sritį G galima suskai- dyti į baigtinę arba …
Excerpt
Zo 2 50 brėž. | | | | | | | | Dabar kiekvienai z reikšmei, imamai iš srities g, priskirkime tik vieną n Ww= Vz reikšmę, būtent, tą, kuri priklauso sričiai G,. Tokiu būdu sudary- sime vienareikšmę funkciją, kuri sritį g abipus ieiaroE EEG atvaiz- duoja į …
Excerpt
Kadangi E k = 2(k-1)T 42] i 2k =— 1 -1-— “ apt, «+ > EO n tai šitaip gautos w= |/z reikšmės priklauso sričiai Gp, t. y. jos yra funk- n cijos W = (yz | reikšmės. Savaime aišku, kad pustiesė /, einanti iš taško z=0, gali būti nubrėž- ta laisvai. Jei vietoj …
Excerpt
Ši išvada tinka bet kuriam srities g taškui z. Vadinasi, jei bet kuris taš- kas apskritimu apeina centrą z=0, tai funkcijos w=|/z reikšmė, toly- diškai kisdama, nuo šakos (yz j pereina prie šakos (Vz J Dabar tarkime, kad taškas z apskritimu apeina centrą …
Excerpt
n Jei iš funkcijos w= VZ reikšmių, atitinkančių srities g“ tašką z, imsi- n me tik tą, kuris priklauso sričiai Gį, tai gausime funkcijos |/z vienareikš- mę šaką Į/ z. Tokiu būdu srityje g“ išskirsime n vienareikšmių (ir anali- k > "== Nt Ri zinių) šakų: …
Excerpt
apibrėžtą išplėstinėje z plokštumoje (jei z=0 arba z= 00, tai w= 0). J i vadinama Žukovskio funkcija, nes akademikas N. Žukovskis ją pri- taikė aerodinamikai. Pastebėsime, kad funkcija w=2A(z) išplėstinėje z plokštumoje yra daugialapė: taškuose zį ir = …
Excerpt
| bi | 0 a | 7' PE) | 148 | w „di 51 brėž. Lengva išsiaiškinti, kad apskritimo taškai, esantys ašyse, atvaizduoja- mi į elipsės viršūnes: taškas z=7 (/=0) atvaizduojamas į tašką w=a, taš- kas z=ir ( S 3) — į tašką w= —ib ir t. t. Vadinasi, apskritimo |z …
Excerpt
iš išplėstinės w plokštumos taškų, išskyrus atkarpą [—1, 1]. Srities G taš- kas w= oo, kaip nesunku matyti, yra taško z=0 vaizdas. Įsitikinkime, kad srities g kontūras — vienetinis apskritimas |z|=1 atvaizduojamas į dvigubą atkarpą [—1, 1] — srities G …
Excerpt
Vadinasi, viena iš ieškomųjų funkcijų yra , 1 1 z+1 sa i w= |/ 115 (-+> ) = V3 (===?) Kitos funkcijos sudaromos, viršutinę pusplokštumę tiesine funkcija atvaizduojant pa- čią į save. ž $ 23. Rodiklinė funkcija Išnagrinėsime funkciją w=/(z)=u (x, y)+-iv …
Excerpt
Pagaliau, imdami realias z =x +iy reikšmes (y=0), iš (1) matome, kad JO)=€,, t. y. nagrinėjamoji funkcija realiojoje ašyje sutampa su rodikline funkcija e“. Dėl minėtųjų priežasčių funkciją, apibrėžtą (1) formule, vadiname rodikline ir žymime e*: w=ež=e* …
Excerpt
= 54 brėž. Vadinasi, jei e> =w,, tai ir e» +ž Ti = Wy, t.y. taškai zą, z) + 27i, Z;+-4Ti, . atvaizduojami į tą patį tašką w4. Taigi, atvaizdavimas rodikline snkoja nėra abipus vienareikšmiškas: taškas w, turi be galo daug originalų. Norėdami smulkiau …
Excerpt
Zz=t-ic' 55 brėž. “ nioji pusplokštumė (Re z> 0) atvaizduojama į vienetinio apskritimo iš- orę (1 …
Excerpt
5 Anraži: liąja ašimi sudaro kampus 94 ir 64427, sutampa. Vadinasi, čia sritis G susideda iš visų w plokštumos taškų, išskyrus pustiesę — srities G kontūrą. Pavyzdžiai. 4. Imkime sritį g, kurios taškai z tenkina sąlygą …
Excerpt
Iš čia matyti, kad e“=| z |; todėl u=1n | z |. Nežinomojo 2 reikšmių, ten- kinančių (1) lygtį, yra be galo daug. Visas šias reikšmes galima išreikšti formule 2= Arg z. Todėl w=u+is=ln|z|+i Argz. Jeigu e“ =z, tai skaičių w vadiname skaičiaus z (z> +0) …
Excerpt
kurią iki šiol laikėme galiojančia, kai a ir b — realūs skaičiai (a > 0). Da- bar, imdami kompleksinius skaičius z ir € (z0), laipsnį z6 apibrėšime lygybe z— e (4) Kai €=m sveikas skaičius, šiuo apibrėžimu gaunamas skaičius z"" sutampa su $ 4 apibrėžtu …
Excerpt
Sandaugos ir dalmens logaritmavimo taisyklės, žinomos iš vidurinės mokyklos, pritaikomos ir daugiareikšmiams kompleksinių skaičių loga- ritmams. Pavyzdžiui, imdami du nelygius nuliui kompleksinius skai- čius z, Ir Z,, gauname Ln(z,-z;)=1In |z,-25| + …
Excerpt
g //] / MU J | V, S Ž o io / 4 MMA M | 58 brėž. miškai ir konformiškai atvaizduoja į z plokštumos sritį g, kurios kontū- ras yra pustiesė, išeinanti iš taško z=0 ir su realiąja ašimi sudaranti kam- Pa ?o- Bet kuriam srities g taškui z priskirkime tik …
Excerpt
Taškui judant visą laiką viena (pavyzdžiui, teigiamąja) kryptimi, gausime vis naujas ir naujas šakas (Ln 2);41, (Ln 2)44> , (Ln 2)p45, …
Excerpt
Pavyzdžiai. 1. Apskaičiuokime cos i ir sin i. žie Šiba 1 86 Kage aliBastal Ųų cosi = ——-— —=—5 =5E 1,54, e2-] mMuU==—T = DP ESS“ 2. Panašiai gauname eln (V 5 +2)+2i —e-In (V 5 +2)-x2i sin (2-i In (V5+2) ) = DH = eln (V 5 +2) (cos x1i sinz)—e-1In (V 5 +2) …
Excerpt
Panašiai įsitikiname, kad sin z pagrindinis periodas yra 2z. Viena iš tapatybių, kurios sieja cos x ir sin x, kai x realus, yra cos? x + +sinž x=1. Iš jos, turėdami mintyje, kad cosž x ir sinž x nėra neigiami, gauname …