Excerpt
50 Kompleksiniai skaičiai [Ii sk. Bet kurio laipsnio šaknies traukimui panaudosime kompleksinio skaičiaus trigonometrinį pavidalą. Sakysime, kad m-:0 Jaipsnio šaknis iš kompleksinio skaičiaus, jei ji yra kompleksinis skaičius, raib pat yra tO paties …
In:
Excerpt
$ 6] Aompieksinių skaičių trig. pavidalas 51 0, 1, 2, ..,n—l, t. ys šaknis 805 815 Ba> > B, 7 Jos visos yra skirtingos, nes jų argumentai skiriasi mažiau negu 22, kuris yra si- nuso ir kosinuso periodas. 2 Taigi, turime Va= V r(cosą +-7sinę) = B, = Vr …
In:
Excerpt
22 Kompleksiniai skaičiai (II sk. Tik ką apibrėžti skaičiai e, yra n-to laipsnio šaknys iš vieneto, nes kompleksiniame skaičių kūne pagal formulę (28) turime / n = 01 2k7 1 025 2 S V1= 1 (000 L isia T) =cos EE sin 8, n (L—=0,; 45 2,47 0—1) , sa šaknų …
In:
Excerpt
Ss 7 Geometrinė interpretacija 53 Kompleksiniai skaičiai vaizduojami plokštumoje ne tik taškais. Algebroje jie dažnai vaizduojami vektoriais. Norėdami kompleksinį skaičių atvaizduoti vektoriumi, imame jo trigonometrinį pavidalą. Nuo koordinačių pradžios …
In:
Excerpt
54 Kompleksiniai skaičiai [I1 sk. Sudedame atitinkamus vektorius pagal lygiagretainio taisyklę. Paro- dysime, kad gauto vektoriaus y projekcijos OC ir Cy į ašis T ir M yra atitinkamai lygios a, +, ir a,4-6,. Ber nes AaDy = A OBB; dėl tos pačios …
In:
Excerpt
sa Geometrinė interpretacija 55 lygiagretainio kraštinė, prasidedanti taške O. Kadangi kompleksiniai skaičiai sudedami kaip vektoriai, tai atimčiai galime taikyti abu tuos' būdus. 6 brėžinyje pavaizduoti abu šie atimties būdai. Lygiagretainio O3ay …
In:
Excerpt
56 Kompleksiniai skaičiai [II sk. Pirmuoju atveju, pasinaudoję 3 brėžiniu, matome, kad lygiagre- tainio Oay3 kraštinė ay yra lygi vektoriaus B ilgiui |B|. Trikampio Oay kraštinės yra |a|, |8| ir |a4-8|. Kadangi kiekvieno trikampio dviejų kraštinių suma …
In:
Excerpt
ša Geometrinė interpretacija ua GYi Dabar pereisime prie kompleksinių skaičių geometriškos daugybos ir dalybos. ( Paprastai plokštumos vektorių daugyba ir dalyba neapibrėžiama, todėl kompleksinės plokštumos vektoriams tuos veiksmus turėsime apibrėžti, …
In:
Excerpt
58 "Kompleksiniai skaičiai [II sk. Kompleksinius skaičius geometriškai dalysime pagal formulę T=r(eosg+ising)=4:2,— T (cos(g, — g) + isin(g) — 94). Geometriškai dalyti galime taip pat dvejopai. Dalydami abiem būdais, pirmiausia atidedame argumentą += 9, — …
In:
Excerpt
634 Matricų perdirbimai [XIV sk. Dešinėje lygybės (65) pusėje yra matricos A s-tos eilės minorų tiesi- nė kombinacija. Taigi, matome, kad matricos B s-tos eilės minorai arba sutampa su matricos A s-tos eilės minorais, arba skiriasi tik ženklu, arba yra jų …
In:
Excerpt
$ 70) Ekvioalenčių matricų kanoninis pavidalas 635 Analogiškai kiekvienam | s 7) bus nuliai. Taip suradę D,, D, ..., D, ir suvienodinę jų vieneto daliklius (laikydami juos dažniausiai lygius 1), galėsime rasti ir d,, d, ..., d,, o tuo pačiu ir vienintelę …
In:
Excerpt
635 | Matricų perdirbiniai [XIV sk. Jų bendras didžiausias daliklis D,=— 12, todėl = a AT D; "Taigi, duotos matricos kanoninis pavidalas yra 2. 502700 o 6 7021 2z —z 0 0 22—37 z3— 32 22 — 32 | z4— 923 - 97 kanoninį pavidalą polinomų žiedo TN [=] …
In:
Excerpt
$s 70] Ekvivalenčių matricų „kanoninis pavidalas 637 nes kūne bet kuris elementas dalijasi iš kito ir kiekvienas elementas yra vieneto daliklis, Iš to turime, kad visos vienarūšės to paties ran- go matricos yra ekvivalenčios. Jei ir m= m, tai matrica (69) …
In:
Excerpt
638 Matricų perdirbimai [XIV sk kur 3 T L — LŽ Ta A T (L— IE DE yra atitinkamai m-tos ir m-tos eilės $ 69 įvestos I, II arba III tipo perdirbimo matricos. Kadangi, bet kurią turimą matricą padauginę iš vienetinės mairicos, gauname turėtą matricą, tai, …
In:
Excerpt
$ 701 Ekvivalenčių matricų kanoninis pavidalas 639 me turi būti visi pirminiai dalikliai, kurie įeina į bet kurio daugiklio išskaidymą, ir atitinkamo elementarinio daliklio laipsnis daugiklyje d, turi būti didžiausias. Dabar galėsime įrodyti tokį dė snį. …
In:
Excerpt
AAA AA Mi 540 Maitricų perdirbimai | [XIV sk, nagrinėsime kito žiedo (viršžiedžio ar požiedžio) atžvilgiu, bet tai visai neturi įtakos į kanoninės matricos gavimą, nes sudauginti ele- mentariniai dalikliai duos tuos pačius invariantinius daugiklius. …
In:
Excerpt
rr $ 70] Ekvivalenčių matricų kanoninis pavidalas 641 Skaičiuodami d;, turime imti iš likusių daugiklių tuos, kurių laipsniai yra aukščiausi. d nebeturės pirminio daliklio 2 ir 11, o daugiklį 3 turės tik antra- me laipsnyje, todėl d. —33-5—45, Toliau …
In:
Excerpt
642 Matricų perdirbimai [XIV sk. Surasti kanoninį ekvivalenčių matricų pavidalą elementariniais da- likliais dažnai yra patogu tuo, kad, tiriant pseudodiagonalines matri- cas, nereikia ieškoti visos matricos daliklių iš karto, o galima pasiten- kinti …
In:
Excerpt
s 71] . Matricų panašumas 643 nės elementą. Taigi, Dj nepateks į D. |. Tokiu pačiu būdu, brau- kiant po du elementus, į bendrą Niani daliklį D. , nepateks "Jš ir į: ir t. t. Bet tada į invariantinį matricos D, o Tuo pačiu ir i daliklį įeis p, laipsnyje 5, …
In:
Excerpt
644 Matricų perdirbimai [XIV sk. Iš tiesų, prisiminę, kad unimodulinės matricos atvirkštinė yra unimo- dulinė matrica, turime B=TAT! —- A=T 1B(T 371 3. Tranzityvumas: CoB, Br A—> Cn A. Tikrai, iš C= T,BIT!, B EAT? gauname G= T(TAT YIT 1= (T, T)A(T- 71775 …
In:
Excerpt
$ 71] Matricų panašumas 645 2) Paimkime 1 pavyzdžio matricą 3 ir transformuokime ją unimoduline matrica 2 —1 0 = l 0 —2 —2 0 3 Gzusime jai panašią matricą 2-—l 0 — 25 20 —17 0 —3 —2 „C=T,BT;1= l 0 —2 —l1ll 87 —72 —l —6 —4į= —2 0 5) — 91 71 —58 0 —2 —I …
In:
Excerpt
„m A "A 646 Matricų perdirbimai [XIV sk. arba "([14.)ro =[ [74 75, AL) s=1: Zi! iš kur matome, kad, norėdami transformuoti matricų sandaugą, turi- me transformuoti kiekvieną dauginamąjį ir iransformuotas matricas sudauginti. Šioje formulėje paėmę A,=A;= …
In:
Excerpt
572 Tiesinės transformacijos alininėje erdvėje [XIII sk. Įrodysime, kad skirtingoms oms reikšmė atitinka tiesiniai nepriklausomi nuosavi vektoriai. Tegu L2Bl5 G, s=1, 2, ..., m, JS) (35) ir I; atitinka nuosavas vektorius a;, t. y. a; = jap. (36! Kadangi …
In:
Excerpt
$ 65] Nuosavi vektoriai 573 n skirtingų šaknų, taigi, tiesinė transformacija gali turėti daugiausia m skirtingų nuosavų reikšmių ir pagal tik ką įrodytą tvirtinimą dau- giausia 2 tiesiniai nesurištų nuosavų vektorių. Pastarasis tvirtinimas aiškus ir iš …
In:
Excerpt
574 Tiesinės transformacijos ajininėje erdvėje SIT sk Kadangi tos pačios transformacijos matricos, pereinant iš vienos bazės į kitą, yra panašios, tai ir, esant duotoms sąlygoms, matrica A bus panaši į matricą L, t. y. HE JaIS kur T yra neišsigimusi …
In:
Excerpt
$ 65] | Nuosavi vektoriai š e 575 vietoje = atitinkamai 1, 3 ir —2. Parinkę sistemos a, Sur 0) 14x, 1 12x4 +3x,=0, —Xi— Aa =0 nenulinį sprendinį [3, —3, — 2], sistemos 9x, — 9x, —3x4—0, 14x, +14x, +-3x4—=0, —X1—x*;5 1 2x5=0 sprendinį [1; — 1; 0] ir …
In:
Excerpt
576 “ Tiesinės transformacijos ajininėje erdvėje [XIII sk. Imame transformacijos 73 charakteringąją lygtį z—2—3 —11+2 || — 2 Li Sutvarkę ją, gauname 2—(1+/)z—(41 7) =0. Šios lygties šaknys )=342i ir /;— —2—7 yra transformacijos J nuosavos | reikšmės. Šias …
In:
Excerpt
$ 65] : Nuosavi vektoriai 577 paprasčiausio pavidalo transformacijos matrica gali būti skaliarinė E E) (44) arba žordaninis (Jordan) langelis i. Ši , (45) EOS 005015 102 bet gali būti ir pseudodiagonalinė matrica, kurios įstrižainę sudaro įvairūs, …
In:
Excerpt
578 Tiesinės transformacijos afininėje erdvėje [XIII sk. Kadangi kompleksinių skaičių kūnas yra algebriškai uždaras, tai jam galioja anksčiau parašytas dėsnis. Todėl kiekviena kompleksinės erdvės tiesinė transformacija turi bent vieną nuosavą reikšmė ir …
In:
Excerpt
$ 65] Nuosavi vektoriai 579 Iš sujungtinių skaičių savybių seka, kad, kai lygybė (49) yra tei- singa, galioja ir lygybė [2] 4 =/[2], (51) arba š IZ5 5.55 dA = [d d 5 (52) Paskutinėje lygybėje vietoje A parašėme A, nes visi matricos A. ele- mentai yra …
In: